2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题16导数与函数的单调性(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题16导数与函数的单调性(原卷版+解析)，共66页。
【知识梳理】2
【真题自测】2
【考点突破】3
【考点1】不含参函数的单调性3
【考点2】含参函数的单调性4
【考点3】根据函数的单调性求参数6
【考点4】函数单调性的应用7
【分层检测】8
【基础篇】8
【能力篇】10
【培优篇】10
考试要求：
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
考点突破
【考点1】不含参函数的单调性
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
三、填空题
3．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ．
四、解答题
4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点．
(1)求实数的值；
(2)求函数的单调区间与极值．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求在处的切线；
(2)比较与的大小并说明理由.
6．（2024·北京西城·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．
反思提升：
确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
3．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
5．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
6．
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
考点突破
【考点1】不含参函数的单调性
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
三、填空题
3．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ．
四、解答题
4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点．
(1)求实数的值；
(2)求函数的单调区间与极值．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求在处的切线；
(2)比较与的大小并说明理由.
6．（2024·北京西城·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】首先利用导数求出函数在上的单调性，再根据奇函数的性质得到函数在上的单调性，即可判断.
【详解】当时，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又函数是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，在上单调递减.
故选：D
2．BD
【分析】由，可判定A错误；当，利用导数求得的单调递增区间，可判定B正确；当，利用导数求得函数的的单调性，求得在上的最小值为，可判定C错误；根据题意，分和、，结合函数的单调性，以及，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为函数，可得，
则，所以，解得，所以A错误；
对于B中，若，则，
当时，可得，所以的单调递增区间为，所以B正确；
对于C中，若，则，
令，解得或（舍去），
当，即时，在上，可得，在上是增函数，
所以函数在上的最小值为；
当，即时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在上的最小值为，所以C错误；
对于D中，因为，当时，，所以函数在上是增函数，
则，所以成立；
当时，由C项知：当时，，则成立；
当时，，即在区间上存在使得，
则不成立，
综上，实数的取值范围为，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的极值、最值等问题的求解策略：
1、求函数在闭区间上的最值时，在得到函数的极值的基础上，结合区间端点的函数值与的各极值进行比较得到函数的最值；
2、若所给函数含有参数，则需通过对参数分离讨论，判断函数的单调性，从而的函数的最值；
3、若函数在区间上有唯一的极值点，这个极值点就是函数的最值点，此结论在导数的实际问题中经常使用.
3．
【分析】利用导数求当时的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果.
【详解】当时，,
由，解得，所以在区间上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数图象关于原点对称，
所以在区间上单调递增.
故答案为：.
4．(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线方程，由切线过点代入计算可得；
（2）由（1）可得的解析式，利用导数求出函数的单调性，即可求出极值.
【详解】（1）因为，则，
所以，，
故直线，
又直线在轴上的截距为，所以，解得．
（2）由（1）得，的定义域为，
又，
由，解得或；由，解得，
所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，
所以在处取得极大值，即，
在处取得极小值，即．
5．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）求得，得到在上单调递增，结合，得到即可得到.
【详解】（1）解：因为函数，可得，
可得，且，
所以在处的切线方程为，即.
（2）解：由，可得，所以在上单调递增，
又由，所以时，，即在上恒成立，
所以，即.
6．(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为
(3)
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；
（2）对函数求导得到，由函数定义域知，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；
（3）对函数求导得到，再分和两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.
【详解】（1）当时，，
所以,得到，
所以曲线在点处切线的斜率为．
（2）当时，，易知的定义域为，
又，
因为，所以，
所以时，，时，
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．
（3）因为，所以，
易知，当时，的定义域为，
所以恒成立，故在上单调递增，
又，所以不合题意，
当时，的定义域为，此时，
所以时，，时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以．
设，则，
当时，，时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为．
所以，
所以集合有且只有一个元素时．
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：
一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
反思提升：
确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)