2025高考数学专项讲义第04讲等式与不等式性质(含糖水不等式)(原卷版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第04讲等式与不等式性质(含糖水不等式)(原卷版+解析)，共34页。

【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系
3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围
4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题
知识讲解
等式的性质
性质1 如果，那么________；
性质2 如果，，那么________；
性质3 如果，那么________；
性质4 如果，那么________；
性质5 如果，，那么________；
比较两个实数大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
；
；

另外，若，则有；；.
不等式的基本性质：
对称性： ．
传递性 ： ．
可加性： ．
可积性：① ；② ．
同向可加性： ；异向可减性： ．
同向正数可乘性 ；异向异号可乘性： ；异向正数可除性： ．
乘方法则： （，）．
开方法则： （，）．
倒数法则： ； ．
糖水不等式及其变形
若实数a，b，c，满足，，则_____，eq \f(b,a)_____eq \f(b－m,a－m)，(b－m＞0)；eq \f(a,b)_____eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)_____eq \f(a－m,b－m)，(b－m＞0)（用不等号填空）．
对数型糖水不等式及其变形
（1）设 , 且 , 则有
（2）设 , 则有
（3）上式的倒数形式：设 , 则有
考点一、由不等式性质判断式子大小关系
1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京丰台·二模）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
考点二、由不等式关系，求解不等式范围
1．（2023高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围为 .
2．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知，，则的最小值 .
3．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ．
考点三、作差法或作商法比较式子大小关系
1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：.
2．（上海浦东新·阶段练习）设，比较与的大小
1．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.
2．若，求证：．
考点四、由不等式性质证明不等式
1．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则”
1．（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
考点五、糖水不等式及其应用
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川凉山·一模）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则
A．B．
C．D．
1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三·福建龙岩·阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填””或”=”）
考点六、多选题综合
1．（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．（2024·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）“，是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·吉林长春·一模）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山东·模拟预测）对于实数，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·广东·二模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
8．（2023高三·全国·课后作业）已知，则的取值范围是 ．
9．（2023高三·全国·专题练习）若,,则的取值范围是 .
10．（23-24高三上·海南海口·开学考试）已知，，则的取值范围是 .
一、单选题
1．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．（2024·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（2024·北京·三模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024高三下·全国·专题练习）记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·辽宁·模拟预测）若，则使“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·安徽合肥·三模）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（四川·高考真题）若则一定有
A．B．C．D．
2．（浙江·高考真题）设，是实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（广东·高考真题）设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（上海·高考真题）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A．B．C．D．
5．（北京·高考真题）已知，，，均为实数，有下列命题：
（1）若，，则；
（2）若，，则；
（3）若，，则，
其中正确命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
6．（北京·高考真题）设，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（全国·高考真题）若，，则
A．B．C．D．
8．（重庆·高考真题）若，且，则的最小值是.
A．B．3C．2D．
二、多选题
9．（上海·高考真题）如果，那么下列不等式不正确的是( )
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（辽宁·高考真题）已知且，则 的取值范围是 （答案用区间表
第04讲 等式与不等式性质（含糖水不等式）
（6类核心考点精讲精练）
【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系
3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围
4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题
知识讲解
等式的性质
性质1 如果，那么________；
性质2 如果，，那么________；
性质3 如果，那么________；
性质4 如果，那么________；
性质5 如果，，那么________；
【答案】
比较两个实数大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
；
；

另外，若，则有；；.
【答案】
不等式的基本性质：
对称性： ．
传递性 ： ．
可加性： ．
可积性：① ；② ．
同向可加性： ；异向可减性： ．
同向正数可乘性 ；异向异号可乘性： ；异向正数可除性： ．
乘方法则： （，）．
开方法则： （，）．
倒数法则： ； ．
【答案】
糖水不等式及其变形
若实数a，b，c，满足，，则_____，eq \f(b,a)_____eq \f(b－m,a－m)，(b－m＞0)；eq \f(a,b)_____eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)_____eq \f(a－m,b－m)，(b－m＞0)（用不等号填空）．
【答案】 ＞ ＞ ＜
对数型糖水不等式及其变形
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
考点一、由不等式性质判断式子大小关系
1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【详解】对于ABD，取，满足，
显然，，，ABD错误；
对于C，，则，C正确.
故选：C
2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.
【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误.
对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确；
对于C：取，时，则，，，则，故C错误；
对于D：当，时，，，则，故D错误；
故选：B.
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.
【详解】，即，故选项A正确；
当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误；
当时，由可得，故选项D错误.
故选:A．
2．（2024·北京丰台·二模）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误，
取,则，无法得到，C错误，
由于，则，所以，
故选：D
考点二、由不等式关系，求解不等式范围
1．（2023高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围为 .
【答案】
【分析】先利用待定系数法得到，再利用不等式的性质即可得解.
【详解】设，
则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以．
则的取值范围为．
故答案为：.
2．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先得到，并根据得到，从而求出.
【详解】因为，故，
由得，解得，
故.
故答案为：
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】因为，所以.
又，
所以，
所以，
即的取值范围是.
因为所以，
即，
所以的取值范围是
答案：,
2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知，，则的最小值 .
【答案】4
【分析】利用不等式的性质求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
所以，
即，
所以的最小值为4，
当，即时取得最小值，
故答案为:4.
3．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【详解】
正数、、满足，，
，所以
同理：有得到，所以
两式相加：
即
又,即
即．
故答案为：
考点三、作差法或作商法比较式子大小关系
1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】利用作差法比较大小即可证明.
【详解】
，
因为，所以，
所以.
2．（上海浦东新·阶段练习）设，比较与的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】，
，
，
.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】证明：因为，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
2．若，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.
【详解】证明：∵a>b>0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
考点四、由不等式性质证明不等式
1．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则”
【答案】证明见解析
【分析】由作差法证明，再由证明.
【详解】证明：取，
因为，所以，即.
所以
又因为，故，
所以.
1．（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据作差法证明即可；
（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.
【详解】证明：（1）因为，，所以，。
所以，
故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.
所以.
考点五、糖水不等式及其应用
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了.
【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了，
所以.
故选：D
2．（2023·四川凉山·一模）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意当，时成立，得出，用作差法比较得出，即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以，，
根据题意当，时成立，
又，
所以，
即：，
又
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】对数运算的一般思路：
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有:
【法二】，故B正确；
因为，所以有，故A错误；
，故C正确；
，故D正确．
【答案】BCD
2．（23-24高三·福建龙岩·阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填””或”=”）
【答案】