2025高考数学一轮复习5.2平面向量基本定理及坐标表示【课件】

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1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.平面向量的基本定理
2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量作正交分解.
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是_______________.
x1y2－x2y1＝0
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
2.(必修二P31例7改编)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.
解析　因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y＝3.
3.(必修二P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为__________.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　平面向量基本定理的应用
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
解析　对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；
解析　因为在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，
考点二　平面向量的坐标运算
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
解析　设P(x，y)，
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　　)A.c＝2a－3bB.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2bD.c＝3a－2b
解析　如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
所以c＝3a－2b.故选D.
考点三　平面向量共线的坐标表示
解析　由题意得ma＋c＝(3m－1，m＋2)，a＋nb＝(3＋2n，1＋3n).由(ma＋c)∥(a＋nb)可得(3＋2n)(m＋2)－(1＋3n)(3m－1)＝0，整理得mn＝n＋1.A中，2×1＝1＋1，满足；B中，0×(－1)＝－1＋1，满足；C中，3×2≠2＋1，不满足；
解析　因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
假设A，B，C三点共线，则1·(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以若连接AB，BC，AC能构成三角形，则m≠1.故选ABD.
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)A.(－23，－12)B.(23，12)C.(7，0)D.(－7，0)
解析　由题意可得3a－2b＋c＝3(5，2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0，0)，
解析　已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，得a＋2b＝(－1，2)＋2(m，1)＝(2m－1，4)，2a－b＝2(－1，2)－(m，1)＝(－m－2，3).由a＋2b与2a－b平行，
3.(2024·西安质检)设k∈R，下列向量中可与向量q＝(1，－1)构成一个基底的是(　　)A.b＝(k，k)B.c＝(－k，－k)C.d＝(k2＋1，k2＋1)D.e＝(k2－1，k2－1)
解析　对于选项A，B，若k＝0，则b＝(0，0)，c＝(0，0)，均不满足构成基底的条件，所以A，B不符合题意；对于选项C，因为∀k∈R，k2＋1≠0，且(k2＋1)×(－1)－(k2＋1)×1＝－2(k2＋1)≠0恒成立，所以d与q不共线，满足构成基底的条件，所以C符合题意；对于选项D，若k＝±1，则e＝(0，0)，不满足构成基底的条件，所以D不符合题意.故选C.
解析　设网格中小正方形的边长为1，在网格线上取互相垂直的单位向量i，j，如图所示，则有a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j.由c＝xa＋yb，得－i－3j＝x(－i＋j)＋y(6i＋2j)，
解析　如图，因为点M是BC的中点，
8. 若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为________.
解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2)法一　∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
法二　∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又a＝mb＋nc，b和c不共线，∴mb＋nc＝－b－c，
13.(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　)A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋cB.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μcC.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μcD.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
解析　∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误.故选AB.
解析　如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，
直线BD的方程为BD：y＝－2x＋2，⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，