湖南省天壹名校2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省天壹名校2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时量：120分钟满分150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线：的倾斜角为（ ）
A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系即可求解.
【详解】因为直线的斜率为-1，所以的倾斜角为135°.
故选：D
2. 等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ）
A. 50B. 100C. 400D. 500
【答案】D
【解析】
分析】根据等差求和公式即可代入求解.
【详解】，
故选：D
3. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方直线向向量和平面法向量的定义及线面垂直的性质，可知，得，求出的值即可作出判断．
【详解】∵，∴，∴，解得，所以C正确.
故选：C.
4. 如图，已知三棱锥，点为的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解即可.
【详解】因为点为的中点，
所以.
故选：C.
5. 曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程．
【详解】导数为，
可得在处的切线斜率为，切点为，
即有在处的切线方程为，
即为．
故选：D．
6. 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由焦点在轴上的椭圆特征列出关于的不等式，求解可得答案.
【详解】，解得.
故选：A.
7. 若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解.
【详解】抛物线的准线方程为，
所以点P到焦点的距离为，
所以，抛物线的方程为.
故选：B.
8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用单调性建立不等式并求解，再分离参数求出范围.
【详解】函数，求导得，
由函数在上单调递减，得，，
则，，而恒成立，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列双曲线中，以直线为渐近线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】以为渐近线的双曲线方程为：，据此求解验证即可作出判断.
【详解】由得，
因此以为渐近线的双曲线方程为，即
当时，方程为，即；
当时，方程为，即；
故选：AD.
10. 设圆，直线，则下列结论正确的为（ ）
A. 的半径为5B. 恒过定点
C. 可能与相切D. 当时，被截得的弦长最短
【答案】ABD
【解析】
【分析】化简成圆的标准方程即可判断A；令，代入直线方程即可判断B，将代入圆方程即可判断C，当直线与定点与圆心连线所在直线互相垂直时，弦长最短，即可判断D.
【详解】对于A，，即，∴的半径为5，故A正确；
对于B，当时，，所以恒过定点，故B正确；
对于C，因为，故点在圆C的内部，所以一定与圆相交，故C不正确；
对于D，圆心，设直线恒过定点，则当直线与直线相互垂直时，被截得的弦长最短，故，即，则，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知数列的首项为1，且满足，则（ ）
A. B. 是等比数列
C. 是等比数列D. 是等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，结合等比数列定义逐项公板判断得解.
【详解】对于A，由，得，又，则，A正确；
对于B，由选项A知，，，不成等比数列，B错误；
对于C，由，得，是等比数列，C正确；
对于D，由，得，，是等比数列，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列中，，则________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据等差数列通项即可求出，则得到.
【详解】由题意可得，
解得，故.
故答案为：6.
13. 已知，两点到直线的距离相等，则_____.
【答案】0或
【解析】
【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解.
【详解】依题意，，所以或.
故答案为：0或
14. 在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解.
【详解】
根据已知条件，建立如图所示：
以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系，
，，，，，
，，
，
，
设平面的一个法向量，
，，则，
令，有，，所以，
平面，则，即，
解得.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，．
（1）求线段的垂直平分线的直线方程；
（2）若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用点斜式方程即可求得；、
（2）分别求出圆心和半径，进而求出标准方程.
【小问1详解】
因为，，
所以的中点为，斜率，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
即的直线方程为，化简得.
【小问2详解】
联立解得，，即圆心为，
所以圆的半径，
所以所求圆的标准方程为.
16. 已知函数，当时取得极大值.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
【答案】（1）
（2）最大值是，最小值是.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，求出的值，再代入检验即可；
（2）结合（1）可得函数的单调性，从而求出极值与区间端点函数值，即可求出最值.
【小问1详解】
因为，所以，
因为时取得极大值；
所以，，.
①当时，，
由解得或；由解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
时取得极小值，不符合题意，所以舍去.
②当时，
由解得或；由解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
时取得极大值，符合题意.
综上可得：
【小问2详解】
由（1）可知，，，
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在上极大值为，极小值为；
又由于，
函数在上的最大值是，最小值是.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
（1）求与底面所成角的正弦值；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用线面角的定义，找到直线与底面所成角，在中即可求得与底面所成角的正弦值；
（2）根据线面垂直得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直;
（3）通过建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，进而求得两平面的夹角.
【小问1详解】
因为底面，所以在底面上的射影是，
所以为与底面所成角，
在中，，
设底面正方形边长为2，则，则，，
所以；
【小问2详解】
因为底面，底面，所以，
又，，且平面，平面，
平面；又因为平面；
由已知，，且面, 面，
面；
【小问3详解】
以坐标原点、为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系；
设底面的边长为2,则A2,0,0，，，，
所以，，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，即，令，则；
，即，令，所以；
则平面与平面的夹角的余弦值为
，
所以平面与平面的夹角为.
18. 点与定点的距离和它到定直线的距离之比是.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若直线与轴的交点为，过点作直线与点的轨迹交于，两点（A，不重合），设直线，的斜率分别是、，证明：为定值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设点Mx,y，代入，整理可得答案；
（2）当的斜率为0时，得；当的斜率不为0时，设的方程为：，设Ax1,y1，Bx2,y2，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入可得.
【小问1详解】
设点Mx,y，依题意，，
即.
整理得点的轨迹方程：；
【小问2详解】
证明：由题，
当的斜率为0时，，.
当的斜率不为0时，则可设的方程为：，设Ax1,y1，Bx2,y2.
联立：，整理得：；
所以即，且，，
又，
.
.
综上所述，为定值.
19. 若项数为的数列满足：，我们称其为阶的“对称数列”.例如：数列1，3，3，1为4阶的“对称数列”；数列8，4，3，4，8为5阶的“对称数列”.
（1）若数列为7阶的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，请求出数列的每一项；
（2）若数列为阶的“对称数列”，其中，，，是首项为1、公比为2的等比数列.
①求数列的前项和；
②若，求数列的前项和.
【答案】（1）2，4，6，8，6，4，2.
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由阶的“对称数列”的定义可知，故先由，，，成等差及，求出，问题即可得解；
（2）①由题设知，，再利用等比数列的前项和公式即可求解；
②经分析知，若，数列中，，，，是首项为1，公比为2的等比数列；，，，是首项为，公比为的等比数列；故在；
两种情形下求即可.
【小问1详解】
由题知，，，是等差数列，且，，
所以，解得；
所以，.
由阶的“对称数列”的定义可知：
，，.
所以数列的每一项依次为2，4，6，8，6，4，2.
【小问2详解】
①由题知：，，，是首项为1、公比为2、项数为的等比数列，
所以；
所以
②若，则为，，，，，，，
依题意，，，，是首项为1，公比为2的等比数列；
，
由“对称数列”的定义可知：；且，，，是首项为，
公比为的等比数列；
当时，；
由①可知：；
当时，有，
；
综上：即：.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，理解新定义的同时使用分类讨论的思想与方法是解题的关键.