安徽省黟县中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份安徽省黟县中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解一次不等式化简集合N，然后根据交集运算求解即可.
【详解】因为，又集合，
所以.
故选：B
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 是第二象限角的必要不充分条件是且
C. 函数的零点是
D. 的单调递增区间为，
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有一个量词否定，判断A；根据三角函数在各象限的正负，以及充分条件和必要条件的定义，判断B；根据零点的定义判断C；结合对勾函数的性质，判断D.
【详解】对于A，根据含有一个量词的否定，命题“，”的否定是“，”，故A错误；
对于B，当且时，能推出是第二象限角，
反过来当是第二象限角，也能推出且，
所以是第二象限角的充要条件是且，故B错误；
对于C，函数的零点满足，即，所以零点是1，不是，故C错误；
对于D，函数结合对勾函数的图象，可知单调递增区间为，，故D正确，
故选：D.
3. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ）
A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知类型函数式，代入条件，结合指数幂的运算，即可直接求解所求结果.
【详解】由题意得：，
两式相除得，
则．
即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时.
故选：C
4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 7B. 9C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
5. 已知是定义在上奇函数，且在上单调递减，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得在上为减函数，比较的大小，结合函数的单调性分析可得答案.
【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，
则在上也是减函数，则在上为减函数，
.
所以，
所以.
故选：C
6. 已知角满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可.
【详解】，
由积化和差得，
即，
故，解得.
故选：C
7. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；
当时，由图可得，解得．
综上可得.
故选：C．
8. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由于在R上单调递减，在单调递增，
当时，，故，
则在0,1上单调递减，在1,+∞单调递增，
故在0,+∞上的最小值为，即；
由，
令，则，则或，
作出函数fx,gx的图象如图：
由于，，使得成立，
即在上的值域为值域的子集，
故，解得，即，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是确定在上的值域为值域的子集，从而求出二者的值域后，列出不等式组，即可求解.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
A，取判断；B，取，判断； C，利用不等式的加法性质判断；D，根据为增函数判断.
【详解】A，当时不成立.故A错误.
B，当，时不成立.故B错误.
C，因为，两边同时减去有成立.故C正确.
D，因为，又为增函数.故成立.故D正确.
故选：CD
10. 关于函数的下述四个结论，正确的有（ ）
A. 若，则
B. 的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. ）的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用．
【详解】由知点，是图象的两个对称中心，则，A正确；
因为，所以点是的对称中心，B正确；
由，解得，
当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，C错误；
的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为
，是偶函数，所以图象关于y轴对称，D正确，
故选：ABD．
11. 已知函数则下列说法正确的是（ ）
A. 函数有3个零点
B. 关于x的方程有个不同的解
C. 对于实数，不等式恒成立
D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可.
【详解】当时，，当时，，
当时，则，，
当时，则，，
当时，则，，
当时，则，，
依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示，
对于A，由，得，
令，由图象可知与的图象只有3个交点，
所以函数有3个零点，所以A正确，
对于B，当时，，即，由图象可知与的图象只有3个交点，
所以关于x的方程有3个不同的解，而当时，，所以B错误，
对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，
由图可知函数的图象的每一个上顶点都在曲线上，所以恒成立，所以C正确，
对于D，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，
当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，
当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……，
当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设扇形的半径为，利用弧长公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积.
【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为，解得，扇形面积为，
取的中点，连接，如下图所示：

因为，则，
又因为，则，
所以，，，则，
所以，，
因此，弧田的面积为.
故答案为：.
13. 若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解.
【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去，
若，则不等式为，解得，符合题意，
若或，此时，为开口向上的二次函数，
此时不等式的解不为空集，符合题意，
若，此时，为开口向下的二次函数，
要使不等式的解不为空集，需要满足，所以，
综上可得或，
故答案为：
14. 已知函数，若方程的一个实根在区间上，则的所有可能取值形成的集合为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的根可得符合，利用函数的图象，结合零点存在性定理即可求解.
【详解】①由方程，解得：，因为，故；
②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图象，
由于，
结合图象上可得出：方程在区间内有一个实根.
故方程在区间内有且仅有一个实根.此时，
下面证明：方程在区间内有一个实根，
令函数，在区间内有一个零点，
因为时，，故函数在区间是增函数，
又，，即，
由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点，
即方程在区间内有且仅有一个实根，
此时，k的所有可能取值形成的集合为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，或x≥4．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再求；
（2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，.
因为或x≥4，
所以或；
（2）因为或x≥4，所以.
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以A.
当时，符合题意，此时有，解得：a