山西省NT20名校联合体2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山西省NT20名校联合体2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴，
∵，∴.
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“”的否定是“”.
故选：A.
3. 已知实数，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】由题意得，，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为6.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，解得，
则.
故选：D.
5. 某企业在2024年12月对产品的生产线进行了技术改造，采用新技术后力争每个月的产量比上个月增长，要使月产量提高到原来的2倍，至少需要个月，那么（ ）
（结果精确到整数，参考数据：）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】可得由题意：由题意可得：.即，
两边取对数，，即，
因为，故得，
因，故.
即至少要经过8个月，才能使月产量提高到原来的2倍.
故选：C.
6. 若函数在处取得最大值，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为时函数取得最大值，则，解得.
所以，
将函数的图象向左平移个单位长度后得到，
，函数为奇函数，则，
所以，当时，有最小值.
故选：D.
7. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD.
又当时，，故排除A.
故选：C.
8. 已知函数，设，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对任意的，，所以，函数的定义域为，
，
所以，函数的图象关于直线对称，
当时，，
函数在上为增函数，
因为内层函数在上为增函数，外层函数为减函数，
所以，函数在上为减函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
，且，
因为，，则，
所以，，同理可得，
故，
所以，，即，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确；
对于B，等价于，
∵，∴，故，故B正确；
对于C，当时满足，但，故C不正确；
对于D，
，故D正确.
故选：BD.
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 的最大值为D.
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，，
∴，故A正确；
对于B，若，则，
由得，，故，解得，
∴，，故，故B正确；
对于C，，
当且仅当时等号成立，故C错误；
对于D，由得，即.
∴，故D正确.
故选：ABD.
11. 函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ）
A. 在R上单调递增，且图象关于原点对称
B. 函数的值域为
C. 函数在上单调递增
D. 函数与函数的图象没有交点
【答案】BCD
【解析】对于A，当时， ，
且当时，，故在R上不是增函数，且图象也不关于原点对称，故A错误；
对于B，如图，由于，所以，所以函数的值域是，故B正确；
对于C，，满足函数单调递增的条件，故C正确；
对于D，当时，，则，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，，作出函数图象如图所示，
由图可知，函数在上的值域为,
故其与函数的图象没有交点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 化简求值：______.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
13. 若，则______.
【答案】或
【解析】，
故由，得.
又，
又，
则
，
又，所以.
故答案为：.
14. 高中数学必修一教材第87页中提到：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数t的值为______，若，则实数m的取值范围是______.
【答案】 1
【解析】由函数的图象关于点成中心对称，
得为奇函数，，
，
则，
所以，
所以，那么，又，所以.
故函数，
因为在上都是递增函数，
所以在上是递增函数，
又因为是奇函数，且是连续函数，
所以函数在上单调递增，要使，
只需，解得或，
故m的取值范围是.
故答案为：1；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，不等式的解集是或，集合，若不等式的解集为A.
（1）求集合A；
（2）若，求实数m的取值范围.
解：（1）的解集是或，
那么的两个根分别为和，
那么，所以，
不等式，即，即，
所以解集为.
（2）对于集合B，
①当时，，因为，
那么，所以；
②当时，，满足题意；
③当时，，
因为，那么，所以,
综上可得m的取值范围是.
16. 已知函数的图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，求函数的值域.
解：（1）由题意，函数的最大值为，最小值为，
那么，
所以，所以
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，可得，
是函数的对称轴，且取得最小值，
那么，所以，又，
所以，那么；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，可得的图象，
再向右平移个单位长度，的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
17. 2024年8月25日，商务部等四部门发布《关于进一步做好家电以旧换新工作的通知》，提出各地要统筹使用中央与地方资金，对个人消费者购买2级及以上能效或水效标准的空调等8类家电产品给予以旧换新补贴，国补政策的出台极大地激发了消费者的购买热情.为应对产品的消费需求，某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本500万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元；当年产量不足50千台时，，当年产量不小于50千台时，.已知每台空调售价4000元，且生产的空调能全部销售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式；
（2）年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大?并求出最大利润.
解：（1）当时，
当时，
，
所以
（2）当时，
，
当时，取得最大值3550万元；
当时，
，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，取得最大值3582万元.
因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为58千台时，
获利最大，最大利润为3582万元.
18. 已知函数是偶函数，其中k为实数，函数.
（1）求k的值；
（2）若，使得，求实数a的取值范围.
解：（1）因为函数是偶函数，所以，
即，
所以，
所以
（2）由（1）知，
设函数，设任意，
则，
因为，所以，
那么恒成立，所以在上单调递增，
那么在上是单调递增函数，
又因为是偶函数，在上是单调递减函数，
所以时，，
所以，若，使得等价于在上有解，
即在上有解，即有解，
而在上的值域为，
则，即a的取值范围是.
19. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔.对于满足一定条件的连续函数，若存在实数使得，则称为函数不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点.
（1）求函数的不动点；
（2）如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，求m的取值范围；
（3）定义在R上函数满足，且在上单调递减，不等式的解集为A，若函数在A中存在两个不动点，求a的取值范围.
解：（1）令，得，
整理得，解得或，
经检验知均满足要求，故函数的不动点为和.
（2）令，即，即，
解得
令，得，
即，得，
所以有，
此方程的解只能为1或m.
①当时，方程化为，
仅有一个实数解，满足题意；
②当时，要么方程无实数解，
要么方程仅有一个实数解为1或者m.
故或或，
解得.
综上，实数m的取值范围为.
（3）由得
设，那么，
即是奇函数且在R上单调递减.
，
即，
即，所以，解得，
令，那么，
所以，
设又因为在上单调递增，故，
即在上有两个不相等的实数根
结合在的图象可知
所以a的取值范围是.