2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题26相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题26相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
塞瓦（G·Gev1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
使用梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc4051" PAGEREF _Tc4051 \h 1
\l "_Tc5675" 模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理 PAGEREF _Tc5675 \h 1
\l "_Tc12987" 模型2.塞瓦（定理）模型 PAGEREF _Tc12987 \h 7
\l "_Tc31360" PAGEREF _Tc31360 \h 12
模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。
注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
1）梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。
图1 图2
证明：证明：如图2，过点A作，交的延长线于点，易证：，
∴，；．
2）梅涅劳斯定理的逆定理模型：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．
证明：先假设F、D、E三点不共线，直线DF与AC交于P，由梅涅劳斯定理的定理得。
∵，∴，∴ ，∴。
∴ CP=CE；即P与E重合，∴ D、E、F三点共线。
例1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ．
例2.（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：．
例3.如图，在中，D为BC的中点，．求．
例4.（24-25 重庆九年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 ．
例5.如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线．
例6．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，
∴，．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：


（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．
模型2.塞瓦（定理）模型
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，
如图3，则。
注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，
如图3，则。
塞瓦（定理）证明：法1：可利用梅涅劳斯定理证明：在△中，割线 ∴①
在△中，割线，∴②，由②÷①：即得：。
法2：∵；∴①；同理：②；③；
由①×②×③得：。
塞瓦定理的逆定理：如果有三点分别在△的三边上，且满足，那么三线交于一点。
塞瓦定理的逆定理证明：设、交于点，联结并延长交于；
根据塞瓦定理：。∴， ∴，
∴，∴与重合，即证。
注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条中线交于一点；三角形三条角平分线必交于一点；三角形三条高线交于一点等。
例1. 如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。
例2. 如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDH=∠FDH。

例3.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.
例4.已知：内角平分线、、与对边分别交于点、、。
求证：三角形三条内角平分线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）
例5．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．
1．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24上·上海闵行·九年级校考期中）如图，、、内分正的三边、、均为两部分，、、相交成的的面积是的面积的（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（ ）

A．B．C．D．
4．（2024广东校考一模）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，交的延长线于点F．若，，则的长为 ．
5．（24-25·江苏·九年级期中）如图，的面积为，、分别是，上的点，且,
．连接,交于点,连接并延长交于点．则四边形的面积为 ．
6.（24-25·成都·九年级校考期中）如图，中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC=m：1，CE：EA=n：1，AD与BE交于F，求的值。
7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．
8.如图，在△中，分别在边上，且,设与交于点，求证：通过的中点.
9.已知：锐角三边上的高线、、与对边分别交于点、、。求证：三角形三条高线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）
10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点D，可截得六条线段，则这六条线段满足，下面是该定理的一部分证明过程：证明：如图2，过点作，交延长线于点，则有（依据），…
(1)上述过程中的“依据”指的是 ；(2)请将该定理的证明过程补充完整．
11．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在中，，，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则________．
12．（2024·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
塞瓦（GivanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则．下面是该定理的部分证明过程：
如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．
∴△NAF∽△CBF．∴①． 同理可得△NOA∽△COD．∴②．
任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；
任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．
13．（2024·江苏镇江·校考一模）如图1，在中，D是边上的一点，过点D的直线分别与、的延长线交于点M、N．
问题引入：若点D是的中点，，求的值；如图2，可以过点C作，交于点P；如图3，也可以过点A作，交延长线于点Q．
探索研究：（1）如图4，若点D为上任意一点，求证：．
拓展应用：（2）如图5，P是内任意一点，，则_______，____．
14．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】（1）如图1，在中，点D在上，．若，，，则 ， ；（2）已知，如图1，在中，且．求证：．
证明：过点E作的平行线交于点F．………………
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程；
【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与的三边或其延长线交于D、F、E点，那是否为定值？若是；若不是，请说明理由；
（4）如图3，在中，D为的中点，，则 ．
15．（23-24九年级上·山西运城·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交延长线于点
则有（依据），…
(1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整．
(3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________；
(4)在图1中，若，，则的值为________．
16．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究：如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12．
（1）__________；__________；（2）_____；
如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段；
深入探究：（3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究；
根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论；
通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点．
方法应用：（4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值．
专题26 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型
梅涅劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。
塞瓦（G·Gev1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
使用梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc4051" PAGEREF _Tc4051 \h 1
\l "_Tc5675" 模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理 PAGEREF _Tc5675 \h 1
\l "_Tc12987" 模型2.塞瓦（定理）模型 PAGEREF _Tc12987 \h 7
\l "_Tc31360" PAGEREF _Tc31360 \h 12
模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。
注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
1）梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。
图1 图2
证明：证明：如图2，过点A作，交的延长线于点，易证：，
∴，；．
2）梅涅劳斯定理的逆定理模型：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．
证明：先假设F、D、E三点不共线，直线DF与AC交于P，由梅涅劳斯定理的定理得。
∵，∴，∴ ，∴。
∴ CP=CE；即P与E重合，∴ D、E、F三点共线。
例1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ．
【答案】
【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线FEB。
法2：过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】法1：∵直线EBF是的梅氏线，∴．∵是的中线，∴，
∵是的中点，∴，∴，．故答案为：．
法2：过点作交于，则，是的中线，是的中点，
，，，．故答案为：．
例2.（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：．
【答案】见解析
【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线FEB。
法2：本题考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出．
【详解】法1：∵直线EBF是的梅氏线，∴．∵D为中点，，∴，
∵是的中点，∴，∴，．．
法2：作的中点G，连接，则，
∵，∴，∴，∵，∴，∴．
例3.如图，在中，D为BC的中点，．求．
【解析】∵HFC是的梅氏线，∴，
∵D为BC的中点，，∴，．∴，∴．
∵GEC是的梅氏线，∴，
∴，∴．∴．∴．
【点睛】这道题主要考查多个梅氏定理的应用，考查相对综合．
例4.（24-25 重庆九年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 ．
【解析】∵DEF是△ABC的梅氏线，∴由梅涅劳斯定理得，，
即，则， 连FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，
于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案为．
例5.如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线．
【解析】过C作BE的平行线，则，所以是等腰三角形．则．
则有：．同理；．所以．
所以D、E、F共线．
【点睛】这道题主要是考查梅氏定理逆定理判定三点共线．
例6．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，
∴，．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：


（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】(1) 过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可．
(2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．(3) 根据定理，计算比值，后解答即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，
则．故：．

（2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：．
又，∴，．在等边中，，点为的中点，
．由勾股定理知： ．
（3）解：线段是的梅氏线，
由梅涅劳斯定理得，，即，则．如图，连接，
，于是．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握定理是解题的关键．
模型2.塞瓦（定理）模型
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，
如图3，则。
注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，
如图3，则。
塞瓦（定理）证明：法1：可利用梅涅劳斯定理证明：在△中，割线 ∴①
在△中，割线，∴②，由②÷①：即得：。
法2：∵；∴①；同理：②；③；
由①×②×③得：。
塞瓦定理的逆定理：如果有三点分别在△的三边上，且满足，那么三线交于一点。
塞瓦定理的逆定理证明：设、交于点，联结并延长交于；
根据塞瓦定理：。∴， ∴，
∴，∴与重合，即证。
注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条中线交于一点；三角形三条角平分线必交于一点；三角形三条高线交于一点等。
例1. 如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。
【详解】证明：在中，∵点D为边BC的中点，∴．
对△ABC和点M应用赛瓦定理可得：．
∴，∴． 即EF//BC；
点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．
例2. 如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDH=∠FDH。

【详解】证明：过点A作PQ//BC，与DF，DE的延长线分别交于点P、Q，则DA⊥PQ。
对△ABC和点H应用赛瓦定理可得：．
∵PQ//BC，∴,∴,∴AP=AQ
根据垂直平分线，∴PD=QD，∴△PQD是等腰三角形，∴∠EDH=∠FDH。
点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．
例3.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.
对△DKL和点B应用赛瓦定理可得：．①
对和截线，由梅氏定理得：②
由①②得：
点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．
例4.已知：内角平分线、、与对边分别交于点、、。
求证：三角形三条内角平分线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）
证明：由角平分线定理知
因此由塞瓦定理逆定理得交于一点。
例5．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)；的面积为
【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解；
（2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出BF，然后过点F作FG⊥BC于G，证明，可求出OD，从而求出△BOC的面积，然后根据可求△BCF的面积，从而得解．
【详解】（1）证明：在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，．
由赛瓦定理可得：．∴，∴．即点F为AB的中点；
（2）解：∵为等边三角形，，∴
∵点D是BC边的中点，∴，
∵，∴．由赛瓦定理可得：；过点F作FG⊥BC于G，
∴，，∴CG=BC-BG=8，
∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，
∴，即，∴，∴，
∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴
又，∴，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞瓦定理是解题的关键．
1．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线EFB。
法2：本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解．
【详解】法1：∵直线EFB是的梅氏线，∴。
∵是的中线，∴，∵，∴，，∴，故选：B．
法2：过点作交于点，如图，
∵是的中线，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，故选：B．
2．（23-24上·上海闵行·九年级校考期中）如图，、、内分正的三边、、均为两部分，、、相交成的的面积是的面积的（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法1：利用梅氏定理和等积模型求解即可。
法2：如图，过作 交于 设等边三角形的边长为： 结合题意可得： 证明 证明 设等边三角形的面积为： 可得 从而可得答案.
【解析】法1：∵，∴，对和截线，由梅氏定理得：，
即，∴，∴，∴.
∵，∴,同理：，，
故.
法2：如图，过作 交于 设等边三角形的边长为：
结合题意可得：

同理：
设等边三角形的面积为：
，

的面积是的面积的 故选D
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积问题，掌握“作出适当的辅助线构建相似三角形”是解题的关键.
3．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，作交于点F，作交于点G，设，则，，设，则，根据平行线分线段成比例定理，推导出与之间的数量关系，即可求解．
【详解】解：作交于点F，作交于点G，
，设，则，，同理，设，则，
，∴，，，，
，则，，则，
，，，，
，，，，
，
，，故选D．
4．（2024广东校考一模）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，交的延长线于点F．若，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】法1：连接BC，先根据梅氏定理求出CD的长度，再射影定理求得的长度即可。
法2：连接OC，BC，根据为的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E为的中点，可得CE=BE=DE，从而得到∠BCE=∠CBE，然后根据切线的性质可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得∠OCF=90°，然后根据，可得△OBC是等边三角形，进而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】法1：∵CEF是的梅氏线，由CEF截可得，
∵E为的中点，∴BE=DE，∵，∴AF:FB=3:1，
∵AC=4，∴，即，∴，由射影定理：∴.
法2：如图，连接OC，BC，
∵为的直径，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E为的中点，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，
∵是的切线，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC=90°，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，
∵，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，
∵，∴，∴，故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．（24-25·江苏·九年级期中）如图，的面积为，、分别是，上的点，且,
．连接,交于点,连接并延长交于点．则四边形的面积为 ．
【答案】.
【分析】法1：对△ABC和点F应用赛瓦定理得到，再利用面积关系求解即可。
法2：先画出图形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由题推出EF:FC=1:3，BH:CH=1:2，求出△BEF,△BFH的面积即可．
【详解】证明：在中，∵,．对△ABC和点F应用赛瓦定理可得：．
∴，∴．∵， ∴，
∵；设，则，，故，，
∵的面积为；∴，∴，∴S四边形BEFH=，
法2：根据题意画出图形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，
∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，
设JK=m,则EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3，
∵AE= 2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH，
∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴△DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，
∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=GH，∴CH=2DG，∴BH=2CH，
∵BE=AB，∴S△BEC=S△ABC=，∵EG=EC，∴S△BEF=S△BEC=,S△BFC=，
∵BH=BC，∴S△BHF=×=，∴S四边形BEFH=+=．
【点睛】本题考查三角形的全等及辅助线的做法,关键在于通过辅助线将面积分成两个三角形面积求证．
6.（24-25·成都·九年级校考期中）如图，中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC=m：1，CE：EA=n：1，AD与BE交于F，求的值。
【解析】∵BD：DC=m：1，∴，
对和截线，由梅氏定理得：，
即，∴，∴.
∴.
另解：此题也可过点E或D作平行线，利用平行线分线段成比例或相似求解。
【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题．
7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．
证明：如图，由三角形面积的性质，
∵①；同理：②；③；
由①×②×③得：。
8.如图，在△中，分别在边上，且,设与交于点，求证：通过的中点.
证明：连结∵ ∴
∵∴∴三线共点，
∵与交于点 ∴通过的中点.
9.已知：锐角三边上的高线、、与对边分别交于点、、。求证：三角形三条高线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）
证明：在锐角三角形中，易证△∽△，即;同理可证
所以。即。
由于三角形的三条高线不可能平行，由塞瓦定理逆定理得交于一点。
10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点D，可截得六条线段，则这六条线段满足，下面是该定理的一部分证明过程：证明：如图2，过点作，交延长线于点，则有（依据），…
(1)上述过程中的“依据”指的是 ；(2)请将该定理的证明过程补充完整．
【答案】(1)平行线分线段成比例(2)见解析
【分析】本题考查了平行线分线段成比例质．（1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
（2）根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，得证．
【详解】（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例；
故答案为：平行线分线段成比例；
（2）解：该定理的证明过程补充完整如下：，，
，，即．
11．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在中，，，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则________．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）由题意可得，然后根据比例的性质可进行求证；（2）由（1）可得，进而由题意易得，，然后可得，则由勾股定理可得，最后问题可求解．
【详解】解：（1）补充的证明过程如下：
，，；
（2）根据梅涅劳斯定理得，
∵点D为BC的中点，，，，，
∵，，∴AD⊥BC，BD=5，
∴在中， ，．故答案为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（2024·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
塞瓦（GivanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则．下面是该定理的部分证明过程：
如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．
∴△NAF∽△CBF．∴①． 同理可得△NOA∽△COD．∴②．
任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；
任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．
【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)；．
任务二：证明见解析；任务三： ．
【分析】任务一：可直接通过“8”字型相似得出答案；任务二：通过相似之间的对应边比例转换得出结论；
任务三：由任务一和任务二得出1，可得出的值，再由△ECG和△EAG为同高，故面积比就等于底边CG和GA之比．
【详解】（1）解：任务一：∵MN//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；
（2）；
任务二：证明：如图所示：由任务一可得：；

同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；
∴；∴；∴．
任务三：由任务一和任务二可得：在△ABC中，1；
∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB；
∴cs∠BAC；∴；∴AD；∴BD＝AB﹣AD；
∵1；∴1；解得；
过点E作EH⊥AC于H；∴
【点睛】本题主要是根据“8”字型的相似得出对应的边之比，任务二的重难点在于各边比例之间的转换，任务三中两个三角形同高，故面积比等于底边比；本题属于中等偏.上类题．
13．（2024·江苏镇江·校考一模）如图1，在中，D是边上的一点，过点D的直线分别与、的延长线交于点M、N．
问题引入：若点D是的中点，，求的值；如图2，可以过点C作，交于点P；如图3，也可以过点A作，交延长线于点Q．
探索研究：（1）如图4，若点D为上任意一点，求证：．
拓展应用：（2）如图5，P是内任意一点，，则_______，____．
【答案】（1）见详解；（2），
【分析】（1）过点C作CP∥AB交MN于点P，由题意易得，，则有，，然后问题可求证；（2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，由题意易得，，，，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：过点C作CP∥AB交MN于点P，如图所示：
∴，，∴，，∴；
（2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，如图所示：
∴，，∴，，
∵，∴，，∴，∴；
∵DH∥AC，∴，，∴，，
∴，∴；故答案为，．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】（1）如图1，在中，点D在上，．若，，，则 ， ；（2）已知，如图1，在中，且．求证：．
证明：过点E作的平行线交于点F．………………
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程；
【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与的三边或其延长线交于D、F、E点，那是否为定值？若是；若不是，请说明理由；
（4）如图3，在中，D为的中点，，则 ．
【答案】（1）3，；（2）见解析（3）是，定值为1；（4）
【分析】（1）根据平行线分线段成比例，直接代入即可；
（2）过点E作的平行线交于点F，利用平行线的性质得，，，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论；
（3）作，交于G，利用平行线分线段成比例定理得，，代入计算即可；
（4）过点D作，交于Q，交于P，首先得出，再根据点D为的中点，，得，，分别表示出，与的关系即可．本题是相似形综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，作平行线利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】(1)∵，，，，
∴，∴，∴，∴，故答案为：3，；
(2)过点E作的平行线交于点F，∵，∴，，
∵，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，∴，∴；
(3)为定值，作，交于G，
∴，，∴，∴为定值；
(4)过点D作，交于Q，交于点P，
∵，∴，∵，∴，
∵点D为的中点，， ∴，，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴，故答案为：．
15．（23-24九年级上·山西运城·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交延长线于点
则有（依据），…
(1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整．
(3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________；
(4)在图1中，若，，则的值为________．
【答案】(1)平行线分线段成比例(2)证明过程补充见解析(3)(4)
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．（1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，得证．（3）根据题意点是的中点，，再由图示三角形的各线段对应关系得到，再由，得到，由此得到答案．
（4）过点作交的延长线于点，由此得到，，由相似三角形的性质得到，，由此得到答案．
【详解】（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例
（2）该定理的证明过程补充完整如下：，，

即
（3）点是的中点，，，
，,即，
，，．
（4）如图，过点作交的延长线于点，
，，，，，，，
，，，
，，，，
，，，
．
16．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究：如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12．
（1）__________；__________；（2）_____；
如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段；
深入探究：（3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究；
根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论；
通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点．
方法应用：（4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值．
【答案】（1），；（2）；（3）见解析；（4）．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例；
（1）根据三角形中线的性质即可得出；设，根据三角形中线的性质得出，即可求解；（2）根据（1）的结论，即可求解；（3）根据平行线分线段成比例可得，，等量代换即可证明．（4）根据（3）的结论得出，，结合已知条件，即可求解．
【详解】解：（1）∵的面积为12，点是边的中点，
∴ 如图所示，连接

设，∵点、分别是边、的中点，
∴，
∴
∵是的中点∴，∴
∵是的中点∴∴
由∵∴∴∴即
（2）∵的面积为12．
由（1）可得∴即，故答案为：．
（3）由题意知，，，∴．
（4）如图所示，延长DE，交于点，
由（3）可得：，
∵，，∴，∴，
设，则，
∵点为的中点，∴
∴，∴∴