广东省阳江市部分学校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份广东省阳江市部分学校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，结合交集的定义求结论.
详解】集合，
故.
故选：C.
2. 下列区间中，一定包含函数的零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在定理求解即可．
【详解】因为定义域为R，且连续，
，
所以函数的零点所在区间为
故选：C.
3. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形面积公式即可求解．
【详解】由已知可得扇形的圆心角，扇形半径，
则扇形面积为
故选：A.
4. 已知，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知根据不等式的乘法性质求出的范围，再同向相加即可得结论．
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：D.
5. “是第四象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合三角函数的定义检验充分必要性即可求解．
【详解】当是第四象限角时，，则一定成立，即充分性成立；
当时，与异号，此时为第三或第四象限，即必要性不成立，
所以“是第四象限角”是“”充分不必要条件.
故选：A
6. 已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由幂函数的定义与性质求解值，再由复合函数的单调性得答案．
【详解】由函数是幂函数，且在上单调递增，
得，解得：
函数，
由，解得或，
而函数在上单调递增，且函数是定义域内的增函数，
则函数的单调递增区间为
故选：B.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合指数函数，对数函数，正弦函数的单调性确定的范围，即可比较的大小．
【详解】因为函数为增函数，
又，所以，
所以，
函数为增函数，，
所以
，
因为函数在上单调递增，，
所以，
所以，
所以，即
故选：D.
8. 大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
【答案】B
【解析】
【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果．
【详解】设原来的游速为，则提速后的游速为，
原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，
则，
所以，
，故，
所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍．
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各角中，与终边相同的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知结合终边相同角的关系检验各选项即可判断．
【详解】，即与终边相同，A正确；
，即与终边相同，B正确；
，即与终边不相同，C错误；
，即与终边相同，D正确．
故选：ABD.
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】举出反例检验选项A；结合对数函数单调性检验选项B；结合函数单调性检验选项C；结合基本不等式检验选项D.
【详解】当，时，，A显然错误；
因为，所以，B正确；
因为函数在单调递增，
所以函数在上单调递增，
当时，，即，C错误；
若，则，
当且仅当时取等号，显然等号无法取得，D正确．
故选：BD .
11. 已知函数，则（ ）
A. 是的一个周期
B. 的最大值为
C. 是非奇非偶函数
D. 关于的方程有无数个实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，计算可得，可判断A；利用辅助角公式可得，计算可知可得与不能同时取得最大值，可判断B；计算可得，可判断C；令，可得有无数个零点，可判断D.
【详解】
，所以是的一个周期，故A正确；
，
由，可得，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，可得，
当时，，此时，
根据周期性可得与不能同时取得最大值，
所以最大值小于，故B错误；
，
所以，所以是非奇非偶函数，故C正确；
由，可得，
所以，令，
由
，
所以是以为周期的周期函数，
又，，所以有无数个零点，
从而可知关于的方程有无数个实数解，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______.
【答案】12
【解析】
【分析】将x的值代入函数解析式，即可求解.
【详解】函数，
则
故答案为：
13. 已知，则的值是__________
【答案】2
【解析】
【分析】利用两角和正切公式化简即得结果.
【详解】因为，
所以，
因此
【点睛】本题考查两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的当时，都有且，则不等式的解集为______.
【答案】或
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【详解】因为对任意的当时，都有，
所以在上单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，
根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，
因为，所以，
由可得或，
即或，
解得或
故答案为：或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：
（2）若角的终边经过点，求
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用有理数指数幂运算性质以及余弦函数的特殊值化简即可求解；
（2）利用任意角的三角函数的定义以及对数的运算性质化简即可求解．
【详解】（1）原式；
（2）由已知可得，则，
所以
16. 已知函数满足
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将原函数变形得出，然后即可得出的解析式；
（2）根据指数函数的单调性即可得解．
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
由得：，
，
，解得或，
原不等式的解集为：或
17. 已知函数
（1）证明：是偶函数.
（2）若，求在上的零点.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析、的关系，即可得答案；
（2）根据题意，由求出的值，即可得的解析式，进而求函数的零点，即可得答案．
【小问1详解】
函数，
其定义域为，有，
则为偶函数；
【小问2详解】
若，即，解可得，
故，
若，即，解可得或舍，
又由，则，
即在上的零点为.
18. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为.
（1）若，求在上的最大值；
（2）对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，可得，结合已知即可求解的值，从而可得解析式，由的取值范围，结合正弦型函数的性质即可求解最大值；
（2）根据和的取值范围可得在上先增后减，由已知恒成立可得关于的不等式组，求解即可．
【小问1详解】
令，解得，
由已知得，解得，
所以，
当时，，因为，所以，
又在上单调递增，所以
【小问2详解】
因为，所以
又，所以，
所以在上先增后减，
所以即
所以解得，故的取值范围为
19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数．
（1）已知函数．
①求的解析式；
②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论．
（2）讨论函数在定义域上的凹凸性.
【答案】（1）①；②是凹函数，证明见解析
（2）时，函数在定义域上为凸函数；时，函数在定义域上为凹函数
【解析】
【分析】（1）①利用配凑法，求函数解析式；
②采用作差法，比较与的大小，证明其为凹函数；
（2）利用作差法，分和得其凸凹性.
【小问1详解】
①根据题意，，
所以；
②是凹函数；
，且，
则
因为，所以，
所以，即，
故是凹函数.
【小问2详解】
，
则
，
因为，
所以，
所以当时，，
即，函数在定义域上为凸函数，
当时，，
即，函数在定义域上为凹函数.
【点睛】关键点点睛：利用作差法比较与的大小，从而得其凸凹性.