江苏省南通市五校联考2024-2025学年九年级上学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省南通市五校联考2024-2025学年九年级上学期第一次月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．某班有7个学习小组，每组的人数分别为3，4，5，6，6，7，7这组数据的中位数是（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
5．在平行四边形中，，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，， 于点D．则CD的长为（ ）

A．8B．7C．6D．5
7．把直线向上平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
8．甲、乙、丙三个人进行跳绳测试，他们的平均成绩都相同，方差分别是，，，三人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．三个都一样
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ）
A．4B．8C．D．
10．如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1B．2C．4D．6
二、填空题
11．化简： ．
12．如图，是边长为的等边三角形，将沿直线平移至的位置，连接，则的长是 ．
13．一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．

14．如图，菱形的对角线，相交于点O，H为边上一点，，连接，若，，则菱形的面积为 ．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
16．如图，四边形，，，，，，求四边形的面积．

17．已知：如图，在中，点F是上一点，点E是上一点，且．连接，与对角线相交于点O．求证：．

18．已知y与成正比例，且当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)点在该函数的图象上，求m的值．
19．我县某校响应教体局号召，开展了向贫困学校捐书的活动，为了解学生的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名学生作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本，5本，6本，7本，8本五类，分别用A，B，C，D，E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)这30名学生捐书本数的众数为______；
(3)计算这30名学生捐书本数的平均数，并估计该校八年级300名学生共捐书多少本？
20．某商场同时购进甲、乙两种商品共件，其进价和售价如右表，设其中甲种商品购进件．
（1）直接写出购进乙种商品的件数；（用含的代数式表示）
（2）若设该商场售完这件商品的总利润为元．
①求与的函数关系式；
②该商品计划最多投入元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？

21．（1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD；
请你完成问题情境中（2）的证明
（2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想．
1．C
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边分别为且，那么这个三角形是直角三角形即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，
故项不符合题意；
∵，，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，
故项不符合题意；
∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
故符合题意；
∵，，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，
故不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定—勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．B
【分析】根据二次根式的被开方数x+1是非负数列不等式求解即可．
【详解】要使有意义，
∴，
解得，，
故选：B
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．C
【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法与除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：不能合并，故选项A错误；
不能合并，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．D
【分析】先将数据排序，然后找出最中间的两个数据求出平均数即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：3，4，5，6，6，7，7，
第4个人的数据为6，
∴这组数据的中位数为：6，
故选：D．
【点睛】题目主要考查中位数的求法，熟练掌握中位数的求法是解题关键．
5．A
【分析】根据平行四边形的性质即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
6．D
【分析】根据含的直角三角形性质得到，再根据等腰三角形三线合一的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
7．D
【分析】设向上平移d个单位，则平移后的直线的解析式为，根据题意直线经过点，得出，结合已知条件，即可求解．
【详解】解：设向上平移d个单位，则平移后的直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，即，
又，
∴，
∴直线的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
8．B
【分析】根据方差越小，成绩越稳定即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴成绩最稳定的是乙，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
9．B
【分析】根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形，属于基础题．
10．B
【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y= 2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y= 2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
【详解】∵点P (m， 2)是△ABC内部(包括边上)的点．
∴点P在直线y= 2上，如图所示，，
当P为直线y= 2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y= 2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2 =-x+ 3中令y=2，则x= 1，
∵y1 =x+ 3中令y=2，则x= -1，
∴m的最大值为1， m的最小值为- 1．
则m的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质， 要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y= 2有助于判断P的位置．
11．##
【分析】根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质，准确进行计算，是解此题的关键．
12．
【分析】是边长为的等边三角形，沿直线平移到的位置，得出平移的距离，再根据平移的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据平移的性质，得出也是边长为的等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，再利用三角形的外角性质，得出的度数，再利用等腰三角形的性质，得出，再利用角的关系，得出，再利用勾股定理，即可得出的长．
【详解】解：∵沿直线平移到的位置，
∴点平移后的对应点为点，
∴平移距离为，
∵是边长为的等边三角形，
∴平移的距离为：，
∴，
∴，
又∵是由平移得到，
∴也是边长为4的等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
又∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平移的性质、勾股定理，熟练掌握平移的性质是解本题的关键．
13．##
【分析】图象法求不等式的解集即可．
【详解】解：由图可知：直线与轴的交点为，当时，直线在轴的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．熟练掌握图象法解不等式，是解题的关键．
14．48
【分析】由菱形的性质得OA=OC=6，OB=OD，ACBD，则AC=12，再由直角三角形斜边上的中线的性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=6，OB=OD，ACBD，
∴AC=12．
∵DHAB，
∴90°，
∴BD=2OH=24=8，
∴菱形ABCD的面积=，
故答案为：48．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、菱形的性质、菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
15．(1)
(2)7
【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
16．
【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形的面积．
【详解】如图，连接BD．

在中．，．
根据勾股定理得，，
在中，，，．
∴，
∴为直角三角形，
【点睛】此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出是直角三角形．
17．见解析
【分析】方法一：根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，，，证明可得结论；方法二：连接、，证明四边形是平行四边形可得结论．
【详解】方法一：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵，
∴，
即
∴
∴．
方法二：连接、

∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴
即
∵，，
∴四边形是平行四边形
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键，还可以利用方法（2）中证明四边形是平行四边形解决问题．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据y与成正比例列关系式，将时，，代入求解即可；
（2）将代入（1）中所求函数关系式，求解即可．
【详解】（1）解：y与成正比例，
设，
将时，，代入得：，
解得，
，
故y与x的函数关系式为：；
（2）点在该函数图象上，
，
解得，
故m的值是．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数关系式、函数上点的坐标，属于基础题．题目难度不大，细心计算是关键．
19．(1)见解析
(2)6
(3)平均数是6，共捐书1800本
【分析】（1）求出D组人数画出条形图即可．
（2）根据众数的定义即可判断．
（3）根据平均数的定义，求出平均数，再用样本估计总体即可解决问题．
【详解】（1）解： D组人数=30-4-6-9-3=8．
补全的条形统计图如图所示：
（2）解：捐6本书的人数最多，所以众数是6本，
故答案为：6；
（3）解：（本）
（本）
答：这30名学生捐书本数的平均数是6，估计该校八年级300名学生共捐书1800本．
【点睛】本题考查条形统计图，样本估计总体，平均数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（1）购进乙种商品的件数是件；
（2）①；②该商场获得的最大利润为22000元．
【分析】(1)同时购进甲、乙两种商品共件，甲种商品购进件, 购进乙种商品的件数是件；
(2)①根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×购进甲的数量+（乙的售价-乙的进价）×购进乙的数量代入列关系式，并化简；
②根据总成本不高于18000列不等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；
【详解】(1)购进乙种商品的件数是件；
(2) ①根据题意得：
则y与x的函数关系式为：；
②
解得：
∴至少要购进100件甲商品，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，
∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，属于中档题，难度不大.
21．（1）见解析；（2）PD＝EF．证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质证明△APB≌△APD，故可求解；
（2）连接PB，证明四边形PEBF是矩形，根据矩形对角线相等即可求解．
【详解】解：（1）证明：在△APB和△APD中，
∵AB＝AD，AP＝AP，∠BAP＝∠DAP＝45°，
∴△APB≌△APD，
∴PB＝PD．
（2）猜想：PD＝EF．
证明：连接PB．
由（1）可知：PB＝PD．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PB＝EF，
∴PD＝EF．
【点睛】此题主要考查正方形的性质综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、矩形的性质．