湘教版初中数学九年级上册知识梳理

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湘教版九年级上册数学知识点总结第 一 章 反 比 例 函 数( 一 )反比例函数1. (k≠0)可以写成y=kx⁻ ¹(k≠0)的形式，注意白变量x的指数为-1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0 这一限制条件；2. (k≠0) 也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k, 从而得到反比例函数的解析式；(二)反比例函数的图象与性质1. 函数解析式： (k≠0) 2. 自变量的取值范围： x≠03. 图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0, 且x 应对称取点(关于原点对称).(1)图象的形状：双曲线 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直. 越小，图象的弯曲度越大.(2)图象的位置和性质：自变量x≠0, 函数图象与 x 轴、y 轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线.当k>0 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， y 随 x 的增大而减小；当k0时，则方程有两个不等的实数根；当b2-4ac=0时，则方程有两个相等的实数根；当b²-4ac≥0时，则方程有两个实数根；当b³-4acBC), 并且使AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点值得关注的近似数：假设AB=1 则 AC≈0.618 BC=AD≈0.382) C B定义： 5(二)平行线分线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：如图，因为AD//BE//CF,所以AB:BC=DE:EF; AB:AC=DE:DF; BC: AC=EF: DF。也可以说AB:DE=BC:EF; AB:DE=AC:DF; BC:EF=AC:DF推论：(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。(2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。(三)相似图形1、对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相似图形。2、相似多边形：(1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数)(2)相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等，对应边成比例② 相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方(四)相似三角形的判定和性质。1、 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。 62、 相似三角形的基本定理(1)反身性：对于任一 △ABC, 都有△ABC∽△ABC;(2)对称性：若△ABC∽△A’B'C’, 则 △A’B’C'∽△ABC(3)传递性：若△ABC∽△A’B’C’, 并且△A’B’C′∽△A’’B''C’’, 则 △ABC △A''B''C''。3、三角形相似的判定(1)三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似(2)直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用② 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、 相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比(2)相似三角形周长的比等于相似比(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。(五)相似三角形的应用测量高度：如测量旗杆的高度：利用同一时刻下阳光的影子 A 物高： B 物高=A 影长： B 影长(六)位似图形 7sin A=cosBcos A=sin B1、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。2、性质：(1)位似图形对应线段的比等于位似比。(2)位似图形的对应角都相等。(3)位似图形对应点连线的交点是位似中心。(4)位似图形面积的比等于位似比的平方。(5)位似图形高、周长的比都等于位似比。(6)位似图形对应边互相平行或在同一直线上第四章 锐角三角函数(一)正弦、余弦、正切1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c的平方。 |a²+b²=c² 2、 如下图，在Rt△ABC 中，∠C为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)公众号：好学熊资料库超全学习资料库 8定 义表达式取值范围关 系正 弦0