湘教版初中数学八年级上册知识梳理

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湘教版八年级数学上册知识大全六、分式的四则运算与分式的乘方1、分式的乘除法法则：第一章 分 式一、分式的定义：一般地，如果A,B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式， A 为分子，B 为分母。二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0 (B≠0) ②分式无意义：分母为0 (B=0)③分式值为0:分子为0且分母不为0 三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示： ,其中A、B、C 是整式，C≠0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即： 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C≠0 这个限制条件和隐含条件B≠0.四、分式的约分1. 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2. 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。3.注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分 子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。4. 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。◆约分时。分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式，然后判断公因式.五、分式的通分1. 定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 (依据：分式的基本性质!)2. 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。◆通分时，最简公分母的确定方法：1. 系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3. 如果分母是多项式，则应先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母，分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为： 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： 3、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为： 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为： 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式， 再通分。4、分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提 高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查 对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。七、整数指数幂①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指 数幂一样适用。即；a" ·a"=a"+ (a")=a"" (ab)=a"b" a"÷a"=a"-* (a≠0) a°=1(a≠0) (任何不等于零的数的零次幂都等于1)其中m,n 均为整数。八、分式方程的解的步骤：(1)去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)(2)解整式方程，得到整式方程的解。(3)检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0,则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0,则是原方 程的解。产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。九、列分式方程——基本步骤：审：仔细审题，找出等量关系。设：合理设未知数。列：根据等量关系列出方程(组)。5、三角形中三角的关系(1)三角形内角和定理： 三角形的内角和为180°。(2)三角形外角和定理： 三 角 形 的 外 角 和 为360°(3)三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个 内角的和.(4)三角形的一个外角 大于与它不相邻的任何 一个内角解：解出方程(组)。验：检验 答：答题。第二章 三角形1、三角形：定义： 不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形，(1)三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C 的三角形，记作“△ABC”, 读作“三角形ABC”。(2)组成三角形的三条线段叫做三角形的边，(3)∠A、∠B、∠C 为△ABC 的三个内角，也称三角形的角。2、 三角形的分类不等边三角形(1)按边分类：等腰三角形只有两边相等的等腰三 角形等边三角形(2)按角分类：三角形·锐角三角形，即三个内角都是锐角的三角形；·直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，常用 “Rt△”表示直角三角形·钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。3、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。(1)判断三条线段能否组成三角形的方法：当较短两边之和大于最长边时， 可以组成三角形，否则不可以组成三角形。(2)确定第三边取值范围的方法：第三边大于两边的差而小于两边的和。4、三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线。(1)三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点 之间的线段叫做三角形的角平分线。(2)三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。(3)从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的 线段叫做三角形的高线.,简称为三角形的高。6、三角形有稳定性、 四边形有不稳定性.7、定义： 对一个概念含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫做定义。8、命 题 ：对某件事情作出判断的语句(陈述句)叫做命题。(1)命题由题设和结论两部分组成，常可写成“如果 ……那么 …… ”的形式。(2)正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。(3)一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称 为互逆命题9、定理： 经过证明为真的命题叫做定理。10、公理： 人们长期以来在实践中总结出来的命题叫做公理。11、等腰三角形定义： 有两边相等的三角形叫做等腰三角形性质：(1)等腰三角形的两腰相等，两底角相等(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合(三线合一)(3)等腰三角形是轴对称图形。判定(1)定义法(2)有两角相等的三角形是等腰三角形。12、等边三角形定义： 三边相等的三角形叫做等边三角形性质：(1)等边三角形的三边相等；三角相等，每个角都是60度(2)等边三角形每个的角平分线、对边的高、对边的中线重合(三线合一)(3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。判定(1)定义法(2)三个角相等的三角形是等边三角形区 别相 同角平分线平分内角三条角平分线都一定在三角形内部1、都是线段2、都从顶点画出3、所在直线相交 于一点中线平分对边三条中线都在内部，平分三角形面积高线垂直于对边 或其延长线锐角三角形三条高线都在三角形内部直角三角形其中两条恰好是直角边钝角三角形其中两条在三角形外部(3)有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形13、线段的垂直平分线(中垂线)(1)垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)(2)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。(3)到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上。14、全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。(1)全等图形的形状和大小都相同。(2)全等图形的对应角和对应线段分别相等。(3)全等图形的面积或周长均相等。15、全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，(1)用符号“四”表示，读作“全等于”,对应顶点的字母写在对应的位置上(2)相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角 性质：(1)全等三角形的对应边、对应角相等。(2)全等三角形的对应角平分线、对应高、对应中线相等(3)全等三角形的面积相等、周长相等 判定(1)两边及其夹角对应相等的两三角形全等，简写为. “边角边”或 “SAS”(2)两角及其夹边对应相等的两三角形全等，简写为“角边角”或 “ASA”术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a, 即x²=a那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为 √a,算术平方根为非负数 √a≥0正数的平方根有2个，它们互为相反数平方根O的平方根是0负数没有平方根2.无理数的表示 定义： 如果一个数的平方等于a, 即x²=a, 那么这个数就 叫做a的平方根，记为± √a正数的立方根是正数立方根 负数的立方根是负数0的立方根是0定义： 如果一个数x的立方等于a, 即x³=a, 那么这个数x 就叫做g的立方根，记为 5。与实数有关的概念：概念有理数和无理数统称实数(3)两角及其中一角的对边对应相等的两三角形全等。“角角边”或"AAS"。(4)三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或"SSS"。第三章实数1。平方根和算术平方根的概念及其性质：(1)概念：如果x²=a, 那么x 是a 的平方根，记作：± √a; 其中 √a 叫做a的算术平方根。(2)性质：①当a≥0 时， √a≥0; 当a