山西省2024-2025学年高三第二次调研考试数学试题

这是一份山西省2024-2025学年高三第二次调研考试数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，那么集合（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列中，，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（ ）
A．兔尘B．羊尘C．兔尘D．羊尘
7．已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的第30百分位数为4
B．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18
D．若事件A、B相互独立，，，则
10．已知函数（，）的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．在上单调递减
D．若将图象每个点的横坐标变为原来的倍后在上有且仅有2个极值点，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数B．
C．函数的图象关于点对称D．
三、填空题
12．已知，则曲线在点处切线的倾斜角是 .
13．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，则三棱锥的体积是 ．
14．设过点的直线和椭圆交于两点(在上方)，则的取值范围为 .
四、解答题
15．某单位年会有这样一个抽奖活动：箱子里装有8个小球，除颜色外完全相同，其中4个黑球，4个白球．每次抽奖从这个箱子里随机摸出4个球，若摸出的白球不少于3个，则为一等奖，奖励1000元，若摸出的白球为2个，则为二等奖，奖励600元，若摸出的白球不多于1个，则为三等奖，奖励400元，每个人三次抽奖，且各次的结果相互独立
(1)若甲参加抽奖活动，求最后获得2000元的概率；
(2)若甲参加抽奖活动，求最后获得奖金的期望．
16．某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点.
(1)求建造中的建筑物已经到达的高度；
(2)求的值.
17．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率，点为其左顶点，为上顶点，且，、分别为椭圆的左右焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆上位于第一象限的一个点，且，点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.
18．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.
(1)求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到直线距离的最大值.
19．已知函数.
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若函数单调递增，求实数的取值范围.
《山西省2024-2025学年高三第二次调研考试数学试题》参考答案
1．D
【分析】两集合均为直线上的点构成的集合，因此交集为直线的交点构成的集合.
【详解】由得，
故选：D.
2．C
【分析】根据向量的共线的坐标关系，即可根据充要条件的定义判断.
【详解】由，，若，则，解得，
故“”是“”的充要条件，
故选：C
3．C
【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】依题意知，，
由棣莫弗公式，得，
所以.
故选：C.
4．A
【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解.
【详解】因为函数的定义域是，所以，
所以y=fx的定义域为，又因为，即，所以，
所以函数的定义域为.
故选：A.
5．B
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得.
【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列.
则，即，由，得，
所以.
故选：B
6．A
【分析】设1微尘为，求出1兔尘为，1羊尘为，1指节为，从而可得答案.
【详解】设1微尘为，
因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度，
构成了公比为7的等比数列，
所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为，
1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为，
因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确；
因为，所以1指节是羊尘，BD不正确；
故选：A.
7．B
【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.
【详解】

如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，
设底边边长，高，
则，
又正四棱柱的侧面积，
正四棱锥的侧面积，
则，解得，
所以正四棱锥体积，
故选：B.
8．B
【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限.
∵在的中垂线上，
∴，
由椭圆、双曲线的定义得：，
∴，整理得，
∴，即，
∴，
∴，
令，由定义法可证在为增函数，且，
∵，
∴.
故选：B.
9．BCD
【分析】根据百分位数、对立事件、方差的计算、相互独立事件的概率公式逐项判断.
【详解】对于A，将数据从小到大排列为3,3,4,5,6,7,7,9,9,9,因为 ，所以这组数据的第30百分位数为故A错误；
对于B，事件"至少两次中靶"与事件"至多一次中靶"不能同时发生且必有一个发生，是对立事件，故B正确；
对于C，若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，故C正确；
对于D，因为事件A，B相互独立，所以 B相互独立，
，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】根据给定条件，结合图象求出的解析式，再利用正弦型函数的逐一判断即可.
【详解】对于A，由，得，而，在的递增区间上，则，A正确；
依题意，，，解得，
函数的周期，解得，，
对于B，，的图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，
因此在上不单调，C错误；
对于D，将图象每个点的横坐标变为原来的倍后，得的图象，
当时，，依题意，，解得，D正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D.
【详解】对A，因为，所以，
所以函数是偶函数，故A错误；
对B，因为为偶函数，所以，即，
所以，即，令，得，
所以，故B正确；
对C，因为，所以，
即，又，所以，
所以，所以，即，
所以函数的图象关于点对称，故C正确；
对D，因为，令，得，
所以，又，所以，
，…，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．
【分析】对函数y=fx求导，求出在点处的切线斜率，进而得出倾斜角.
【详解】因为，所以，则
所以曲线y=fx在点处的切线斜率为，所以斜线的倾斜角为：.
故答案为：
13．
【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.
【详解】如图，两两垂直，又面，则面，
则三棱锥的体积,
又三个侧面三角形的面积分别为，不妨设，
则，得到,
所以，
故答案为：.
14．
【分析】当直线的斜率不存在时，可得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，由两点间的距离公式及韦达定理可得，设，则有，代入，消去，解出的范围，即得答案.
【详解】解：当直线的斜率不存在时，
则有，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，
由，可得，
，
则有，
解得或，
由韦达定理可得，
又因为，
同理可得，
所以，
由，可知同号，
所以，
设，
则，
又因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
即，
所以，即，
解得，
即，
综上，.
故答案为：
【点睛】方法点睛：在涉及直线与圆锥曲线的题目时，联立直线与曲线方程，结合韦达定理求解即可.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用组合数和排列数公式及古典概型来求解，根据甲最后获得2000元，得出三次抽奖只能分别获得一､二､三等奖各一次，再根据顺序不一样进行求解；
（2）先求出在一次抽奖活动中，甲获得奖金的期望值，再利用期望的性质计算．
【详解】（1）由题意可知，设获得一等奖为事件，设获得二等奖为事件，设获得三等奖为事件，那么甲获得一等奖的概率为，
甲获得二等奖的概率为，
甲获得三等奖的概率为，
若甲最后获得2000元，则三次抽奖只能分别获得一､二､三等奖各一次，所以甲最后获得2000元的概率为：．
（2）在一次抽奖活动中，甲获得奖金的期望值为：
，
又因为甲有三次抽奖机会，所以甲最后获得奖金的期望为．
16．(1)
(2)
【分析】（1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解；
（2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解.
【详解】（1）如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，，
所以，又，是的中点，
在中，由余弦定理得到，
在中，由余弦定理得到，
又，所以，
整理得到，解得，所以.
（2）在中，由正弦定理知①，
在中，由正弦定理知②，
由（1）知，
由②①得到.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）先求得点的坐标以及，设出的坐标，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离的最大值，从而求得的面积的最大值.
【详解】（1）依题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2），
将代入得，
所以，故，又在第一象限，
所以，而，，
所以直线的方程为，即，
设，
到直线的距离，
所以当时，取最大值，，
所以面积的最大值为.

【点睛】思路点睛：
通过已知条件推导椭圆方程：首先根据离心率、顶点位置等已知条件，利用通过解方程组推导出标准方程，这一步奠定了解题的基础.
利用距离公式求解最大值：利用椭圆的参数方程设出点的坐标，通过点到直线的距离公式，求得高的最大值，从而求得面积的最大值.
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解.
（3）利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求出最大值即可.
【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
连接，在中，，，则，
于是，
设，则，其中，，
因此，即，
所以.
（2）由平面平面，得，
又，则，而平面，
则平面，即为平面的一个法向量，
，由平面，得，
又，解得，此时，
设是平面的法向量，则，取，得，
设是平面的法向量，则，取，得，
则平面FOD与平面夹角的余弦值为.
（3），
则点到直线的距离，
当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为
【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角．
19．(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为
(3)
【分析】（1）根据题意求出，利用导数几何意义，可得切线斜率，可得切线方程；
（2）根据二阶导数可得一阶导数在上单调递增，又，可得函数的单调性；
（3）根据函数单调递增，则在上恒成立，再分离参数可得，转化为恒成立问题即可.
【详解】（1）当时，函数，
得，则，
所以的图象在点处的切线方程为.
（2）因为当时，，
，.
所以在上单调递增，又，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上所述：单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）由，且，
得单调递增，
所以在上恒成立，
又
由题意恒成立，得，
即恒成立，得恒成立，
设，得，
所以当时，最大为.
所以恒成立，得.
综上，若函数单调递增，则实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，总有成立，故；
（2）若，总有成立，故.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
B
A
B
B
BCD
ABD
题号
11









答案
BCD









0
极大值