（人教版）数学八年级下册期末复习特训（四）和相交线平行线有关的压轴题（2份，原卷版+解析版）

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1．直线AB//CD，点、分别在直线、上．
(1)如图1，、、的数量关系为：________；
(2)如图2，直线与、分别交于点、，连接，的平分线交于点．
①当MH//EF，PN//EF时，请判断与的数量关系，并说明理由；
②如图3，当保持PN//EF并向左平移，在平移的过程中猜想、与的数量关系，请直接写出结论．
【答案】(1)∠AMP+∠MPN-∠PND=180°
(2)①∠EFD=∠PNM；②当点P在M N的右侧时，2∠MHN =∠EFD+∠PNM；当点P值MN的左侧时，2∠MHN十∠PNM =∠EFD
【分析】（1）结论：∠AMP +∠MPN-∠PND= 180°，如图1中，过点P作PTAB，利用平行线的性质证明即可；
（2）①结论：∠EFD =∠PN M ，利用平行线的性质角平分线的定义证明即可；
②分两种情形：当点P在M N的右侧时，2∠MHN =∠EFD+∠PNM；当点P值MN的左侧时，2∠MHN十∠PNM =∠EFD．
（1）
如图1中，过点P作PTAB，
∵ABCD，PTАВ，
∴ABPTCD，
∴∠ AMP+ ∠MPT= 180°，∠PND =∠TPN，
∴∠AMP + ∠MPN - ∠PND=∠AMP+∠MPT+∠TPN－∠PND= 180°，
故答案为：∠AMP+∠MPN-∠PND=180°；
（2）
①∠EFD=∠PNM，理由如下：
∵MHEF，
∴∠EFD=∠MHN，
∵ABCD，
∴∠MHN=∠AMH，
∵MH平分∠AMN ，
∴∠AMH=∠HMN，
∴∠EFD=∠HMN，
∵MHPN，
∴∠HMN =∠PNM，
∴∠EFD =∠PNM，
故答案为∠EFD =∠PNM；
②如图，
当点P在MN的右侧时，
∵ABCD，
∴∠MHD=∠AMH，
∵MH平分∠AMN ，
∴∠AMH=∠HMN，
∴∠MHD=∠HMN，
∵PNEF，
∴∠EFD=∠PND，
∵∠MHN+∠HMN=∠PND+∠PNM，
∴2∠MHN =∠EFD+∠PNM，
当点P在MN的左侧时，
∵ABCD，
∴∠MHD=∠AMH，
∵MH平分∠AMN ，
∴∠AMH=∠HMN，
∴∠MHD=∠HMN，
∵PNEF，
∴∠EFD=∠PND，
∵∠MHN+∠HMN=∠PND-∠PNM，
∴2∠MHN +∠PNM =∠EFD．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．如图1，直线与直线分别交于点E、F，平分交于点M，且．
(1)求证：；
(2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交于点H，于点N，设．
①当点G在点F的右侧时，若，求的大小；
②点G在整个运动过程中，直接写出和之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时，
【分析】（1）由角平分线的定义即得出，结合题意可证明，即得出；
（2）①由平行线的性质可得出，从而可求出．再根据角平分线的定义可得出，从而可求出．过点N作，即得出．由，可得出．最后由，即可求出的大小；②分类讨论：当点G在点F的右侧时和当点G在点F的左侧时，根据平行线的性质，角平分线的定义结合图形即可解答．
（1）
证明：∵平分，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）
①∵，
∴，
∴．
又∵平分平分，
∴，
∴．
又∵，
∴．
如图，过点N作，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
②分两种情况讨论：如图，当点G在点F的右侧时，
∵，
∴．
又∵平分，平分，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
如图，当点G在点F的左侧时，
∵，
∴．
又∵平分，平分，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
3．已知△ABC与△ADE共顶点A，，顶点B和C在直线上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线上（点D在点E的左侧），且直线．
(1)如图1，顶点A在与之间，判断∠BAD与是否相等，并说明理由．
(2)如图2，顶点A在与之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若，求∠BFE的度数．
(3)若顶点A在直线的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，记，，请探究与的数量关系，并直接写出结论．
【答案】(1)，理由见解析
(2)100°
(3)或
【分析】（1）过点A作，根据平行线的性质直接求解即可得到结论；
（2）根据（1）中的方法可知，，根据角平分线的性质及邻补角的定义等量代换即可得到结论；
（3）令，根据角平分线定义得，，过作，过作，得到，从而根据点与的关系分五种情况求解，由角度和差关系得到，或，联立方程组得到或者．
（1）
解：．
过点A作，如图所示：
，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
（2）
解：如图所示：
由（1）可知，
同（1）理可得，
∵BF平分∠ABH，EF平分∠AED，
∴，
∵，
∴，，
；
（3）
解：根据点与的关系分五种情况求解：
1..点在的边左侧，如图所示：
令，则根据角平分线定义得，，
过作，过作，则，
，，
①，
在中，，
，
，
②，
由①得，
由②得，
将①代入②得；
2.点在的边上，如图所示：
令，则根据角平分线定义得，，
过作，过作，则，
，，
①，
在中，，
，
，
②，
由①得，
由②得，
将①代入②得；
3.点在内，如图所示：
令，则根据角平分线定义得，，
过作，过作，则，
，，
①，
在中，，
，
，
②，
由①得，
由②得，
将①代入②得；
4.点在的边上，，如图所示：
令，则根据角平分线定义得，，
过作，过作，则，
，，
①，
在中，，
，
，
②，
由①得，
由②得，
将①代入②得，
，，满足；
5.点在的边右侧，如图所示：
令，则根据角平分线定义得，，
过作，过作，则，
，，
①，
在中，，
，
，
②，
由①得，
由②得，
将①代入②得；
综合上述1、2、3、4、5可得或．
【点睛】本题考查平行线的性质，涉及到角平分线的性质、邻补角定义、直角三角形锐角互余等性质，根据题意作出辅助线，分类讨论并根据图形恰当表示出各角之间的关系是解决问题的关键．
4．如下图，点E、C分别在直线、上，点A为平面内、之间的一点，若．
(1)证明：BMGN；
(2)如下图，若，ACEF，点D在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；
(3)如下图，若，，且、分别平分、，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，过A作 证明再结合，证明，从而可得结论；
（2）如图，设先证明，再证明，即，整理再把代入可得答案；
（3）如图，设，证明，结合可得，可得，从而可得结论．
（1）证明：如图，过A作 ∴，，，∴，
（2）理由如下：如图，设，，，，，∵ ，，，，，化简得：，即
（3）如图，设，∵平分 ，，∵平分 ，∵，，，，，，，，
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的含义，设出合适的参数，再利用整体思想与方程思想进行证明与求解角度的大小是解本题的关键．
5．如图，直线，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，，，，直线与直线，分别交于点，，，是的平分线，交直线于点．

(1)求证：；
(2)若，时，求；
(3)将直线向左平移，并保持，在平移的过程中（除点与点重合时），求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)∠AEP+∠PFC=∠EPF
(2)50°
(3)α+25°
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠AEF+∠CFE=180°，再根据三角形内角和定理即可求证；
（2）利用平行线的性质得出∠FEO，再根据角平分线的定义求出∠MEO，最后再次利用平行线的性质即可推出结果；
（3）利用平行线的性质得出∠PFC=∠MNC=α，∠BEF=∠CFE=α+50°，再根据角平分线的定义求出∠BEO，最后利用平行线的性质即可求出∠EOF．
（1）
解：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴∠AEP+∠PEF+∠PFE+∠PFC=180°，
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠AEP+∠PFC=∠EPF．
（2）
∵PF∥EO，
∴∠FEO=∠PFE=50°，
∵EO是∠MEF的平分线，
∴∠MEO=∠FEO=50°，
∵AB∥CD，
∴∠EOF=∠MEO=50°，
∵OE∥MN，
∴∠MNC=∠EOF=50°，
∴α=50°．
（3）
∵PF∥MN，
∴∠PFC=∠MNC=α，
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE=α+50°，
∵EO是∠MEF的平分线，
∴∠BEO=∠BEF=α+25°，
∵AB∥CD，
∴∠EOF=∠BEO=α+25°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
6．已知：如图1，直线，EF分别交AB，CD于E，F两点，的平分线相交于点M．
(1)求的度数；
(2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
(3)在图2中作的平分线相交于点，作的平分线相交于点，依此类推，作的平分线相交于点，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)；理由见解析
(3)
【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；
（2）结论：∠M1=∠M．如图2中，过点M1作M1J∥AB．利用平行线的性质解决问题；
（3）探究规律，利用规律解决问题即可．
（1）
解：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，
∴∠MEF=∠AEF，∠EFM=∠CFE，
∴∠MEF+∠MFE=（∠AEF+∠CFE）=90°，
∴∠M=180°-90°=90°；
（2）
结论：∠M1=∠M；
理由：过点M1作M1J∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，M∥AB，
∴M1J∥CD，
∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，
∴∠AEM1=∠AEM，∠CFM1=∠CFM，
∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1，
∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=（∠AEM+∠CFM）=×90°=45°；
∴∠EM1F=∠M；
（3）
由（2）可知，∠M1=×90°，
同法可知，∠M2=∠M1=∠M，
•••，
∠M=（）n×90°，
当n=2022时，∠M2022=（）2022×90°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
7．如图1，已知直线m∥n，AB 是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB．
（1）如图1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度数；
（2）如图2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度数；
（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ
【分析】（1）根据∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度数；
（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解决问题；
（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，从而∠OPQ=∠ORQ．
【详解】解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-82°）×=49°，
（2）作PC∥m，
∵m∥n，
∴m∥PC∥n，
∴∠AOP=∠OPC=43°，
∠BQP=∠QPC=49°，
∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-92°）×44°，
（3）∠OPQ=∠ORQ．
理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，
∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，
∴∠OPQ=∠ORQ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．
8．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
【答案】（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′．
【详解】解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；
（3）∠AOB=∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′=90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，
∴2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，
∴∠AOB=∠BO′E′．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．
9．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；
（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【详解】解：（1）如图，作CP//a，
∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
10．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；
结论应用
（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．
【答案】（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3
【分析】（1）利用三角板的度数，求出∠DBC的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN的度数，由此得到∠1的度数；
（2）过B点作BG∥直线m，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG和∠LAB＝∠ABG，再利用等量代换得到∠3+∠LAB＝75°，利用余角性质得到∠LAB＝90°-∠2，由此证明结论；
（3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．
【详解】（1）∵直线n∥直线l，
∴∠DBC＝∠BDN，
又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BDN＝15°，
∴∠1＝90°﹣15°＝75°．
（2）如图所示，过B点作BG∥直线m，
∵BG∥m，l∥m，
∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），
∵BG∥m，
∴∠3＝DBG，
又∵BG∥l，
∴∠LAB＝∠ABG，
∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，
又∵∠2和∠LAB互为余角，
∴∠LAB＝90°﹣∠2，
∴∠3+90°﹣∠2＝75°，
∴∠2﹣∠3＝15°．
（3）结论：∠2＝3∠3．
理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，
又∵CN平分∠BCA，
∴∠BCN＝∠CAN＝22.5°，
又∵直线n∥直线l，
∴∠2＝22.5°，
∴∠3＝7.5°，
∴∠2＝3∠3．
【点睛】考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键．
11．已知，直线AB与直线CD平行，在这两条直线的内侧有一点E，连接BE、ED，ABE的平分线与CDE的平分线交于点F．
（1）如图1：当点E在直线BD的左侧时，补全图形并且直接写出BFD与E的关系．（思路提示：过点E、点F分别做出AB或CD的平行线，通过ABE和CDE即可建立BFD与E的关系）
（2）当点E在直线BD的右侧时，在图2中补全图形，请问：（1）中的结论是否发生变化，如果变化了请写出变化后的结论，并说明理由．
【答案】（1）∠BED＝2∠BFD，理由见解析（2）2∠BFD＋∠BED＝360°，理由见解析
【分析】（1）过点E、点F分别作AB∥FG、AB∥HE，依据平行线的性质，即可得到∠E＝∠ABE＋∠CDE，∠F＝∠ABF＋∠CDF，依据角平分线的定义，即可得到∠BED＝2∠BFD；
（2）过点E、点F分别作AB∥FG、AB∥HE，依据平行线的性质，即可得到∠BFG＝∠ABF，∠ABE＋∠HEB＝180°，∠DFG＝∠FGC、∠CDE＋∠HED＝180°，依据角平分线的定义，即可得到2∠BFD＋∠BED＝360°．
【详解】（1）补全图形如图所示，∠BED＝2∠BFD
过点E、点F分别作AB∥FG、AB∥HE，
∴AB∥FG∥CD，AB∥HE∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠HED，∠ABF=∠BFG, ∠CDF=∠DFG
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE，∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，
又∵ABE的平分线与CDE的平分线交于点F．
∴∠ABE=2 ABF，∠CDE =2 CDF，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE =2 ABF+2 CDF=2（∠ABF＋∠CDF）=2∠BFD；
故结论∠BED＝2∠BFD；
（2）如图所示，2∠BFD＋∠BED＝360°．
理由：过点E、点F分别作AB∥FG、AB∥HE，
∴∠BFG＝∠ABF，
∠ABE＋∠HEB＝180°，
∵AB∥FG、AB∥HE，AB∥CD，
∴FG∥CD、HE∥CD，
同理可得：∠DFG＝∠FGC、∠CDE＋∠HED＝180°，
∵BF平分∠ABE，FD平分∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠ABE＋∠CDE＝2∠BFD，
∴2∠BFD＋∠BED＝360°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，作辅助线构造内错角以及同旁内角．
12．已知：，，四点在同一直线上．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，猜想这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，是下方一点，连接，且，，若，求的度数．
【答案】（1）详见解析；（2），详见解析；（3）
【分析】（1）如下图，延长AC，DE相交于点G，利用∠G作为过渡角可证；
（2）如下图，作，可得，推导得出；
（3）如下图，过作，利用平行可得出，再利用得到，从而得出z的值．
【详解】（1）延长相交于点．
∵，
∴，
∴．
（2）作，则
∵，．
∴，
∴
即．
（3）过作
则．
∵
∴
即
旁证：过作，则．
设，，．
则，，．
∵
∴，．
∴
又∵
∴
∵
∴
【点睛】本题考查角度的推导，第（3）问的解题关键是通过方程思想和整体思想，计算得出∠2的大小．
13．问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板中，，长方形中，．
问题初探：

（1）如图（1），若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数．
分析：过点作，则有，从而得，从而可以求得的度数．
由分析得，请你直接写出：的度数为____________，的度数为___________．
类比再探：
（2）若将三角板按图（2）所示方式摆放（与不垂直），请你猜想写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析
【分析】（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度数，求∠EMC度数转化到∠MCH度数；
（2）过点C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF与∠EMC转化到∠ACH和∠MCH中，从而发现∠CAF、∠EMC与∠ACB的数量关系．
【详解】（1）过点C作CH∥GF，则有CH∥DE，
所以∠CAF=∠HCA，∠EMC=∠MCH，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案为30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
过点C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH．
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE．
∴∠EMC=∠HCM．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．
【点睛】考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．
14．如图1，已知∠A+∠E+∠F+∠C=540°．
（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠PAB=3∠PAQ，∠PCD=3∠PCQ，试判断∠APC与∠AQC的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）AB∥CD．理由见解析；（2）∠AQC=∠APC．理由见解析．
【分析】（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，求出EM∥FN∥AB，根据平行线的性质和已知推出∠2+∠C=180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）设∠PAQ=x，∠PCD=y，求出∠PAB=3x，∠BAQ=2x，∠PCD=3y，∠QCD=2y，过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，根据平行线的性质求出∠AQC=2x+2y=2（x+y），∠APC=3x+3y=3（x+y），即可得出答案．
【详解】解:（1）AB∥CD．理由如下：
分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，
∵EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥FN∥AB，
∴∠1+∠A=180°，∠3+∠4=180°，
∵∠A+∠E+∠F+∠C=540°，
∴∠2+∠C=540°﹣180°﹣180°=180°，
∴FN∥CD，
∵FN∥AB，
∴AB∥CD；
（2）设∠PAQ=x，∠PCD=y，
∵∠PAB=3∠PAQ，∠PCD=3∠PCQ，
∴∠PAB=3x，∠BAQ=2x，
∠PCD=3y，∠QCD=2y，
过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG∥GH，
∴∠AQH=∠BAQ=2x，∠QCD=∠CQH=2y，
∴∠AQC=2x+2y=2（x+y），
同理可得：∠APC=3x+3y=3（x+y），
∴，
即∠AQC=∠APC．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能够正确作出辅助线是解此题的关键，注意：求解过程类似．
15．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点作，通过平行线性质来求．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求的度数．
（2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，请直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．
【分析】（1）过P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通过平行线性质可求出∠APC；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB交OA于点E，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，
∴∠APE=52°，∠CPE=56°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；
（2）∠APC=α+β．理由如下：
如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）∠APC=β-α．理由如下：
过点P作PE∥AB交OA于点E，
同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．