2025高考数学【二轮复习】收官检测数学三套卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3.现有4名同学到三个不同的路口参加“小小交通员”志愿活动，若每个路口至少安排一名同学，且每名同学只前往一个路口，则共有安排方法( )
A.4种B.6种C.24种D.36种
4.已知等差数列的前n项和为，，则( )
A.158B.160C.162D.164
5.已知函数，将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为( )
A.B.1C.2D.3
6.若函数，在上单调递增，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7.已知三棱锥的外接球的体积为，平面，，，则三棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
8.已知双曲线（，），F，A分别为E的右焦点和左顶点，点M在双曲线的左支上，直线AM的斜率为，且，则双曲线E的离心率为( )
A.B.2C.D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则( )
A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B.甲得分的极差大于乙得分的极差
C.甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
10.对任意，函数都满足，则( )
A.B.
C.的极小值点为0D.是奇函数
11.如图，抛物线沿着抛物线进行不带滑动的滚动，已知滚动过程中，两条抛物线在公共点处的切线相同，且当两条抛物线顶点不重合时，该切线垂直于两条抛物线顶点的连线.若抛物线的顶点的运动轨迹记为E，点在曲线E上，则( )
A.曲线E关于x轴对称B.曲线E关于原点O对称
C.若，则D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.设D为所在平面内一点，.若，则__________.
13.若曲线在处的切线同时与圆相切，则____________.
14.一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为a，b，在已知的条件下，的概率为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求证：是等腰三角形.
(2)若，的周长为，求的面积.
16.（15分）已知椭圆经过点，且其焦距为.
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点作直线l与椭圆M的下半部分相交于A，B两点，连接PA，PB分别交直线于C，D两点，求证：为定值.
17.（15分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.
18.（17分）如图1，在直角梯形ABCD中，，，，，，过点D作于点H，将沿DH折叠至处（如图2），使得平面平面BCDH，E为线段PD的中点.
（1）证明：平面CEH；
（2）求平面PBC与平面CEH夹角的正弦值.
19.（17分）若无穷数列满足：存在正整数T，使得对一切正整数n成立，则称是周期为T的周期数列.
(1)若（其中正整数m为常数，，），判断数列是否为周期数列，并说明理由，
(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由，
(3)设是无穷数列，已知.求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，即复数z对应的点为，在第一象限，故选A.
2.答案：C
解析：因为或，，所以.故选C.
3.答案：D
解析：依题意，必有2名同学前往同一个路口参加活动，另外2名同学分别前往不同的路口，因此共有安排方法（种）.故选D.
4.答案：B
解析：因为数列为等差数列，设公差为d，由题得，即，又，所以，所以，所以.故选B.
5.答案：C
解析：依题意，为奇函数，则，即，，由于，所以，，因为，则，由于在上单调递增，可得，解得，所以的最大值为2.故选C.
6.答案：A
解析：当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，
则在上单调递增，且，当时，在上单调递增，满足题设；当时，在上单调递增，此时只需，即；
综上，.故选A
7.答案：A
解析：设三棱锥外接球的半径为R，则，解得.因为，，所以，设外接圆的半径为r，则，所以，故，所以，所以三棱锥的体积为，故选A.
8.答案：A
解析：如图，因为F，A分别为双曲线的右焦点和左顶点，所以.因为，所以.因为直线AM的斜率为，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以.因为，所以，所以，故选A.
9.答案：ABD
解析：甲、乙的得分从小到大排列如下：
故可得如下表格：
10.答案：AC
解析：令，，则有，
故A正确；
因为，所以对任意均成立，当x取任意值，y取固定值时，为常数，当y取任意值，x取固定值时，为常数，所以与等于同一个常数，设，则有，，令，则，解得，故B错误；
，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故0是的极小值点，故C正确；
，所以不一定是奇函数，故D错误.故选AC.
11.答案：AC
解析：设的顶点为，两抛物线的公共点为，当时，切线斜率显然存在且不为0，故可设切线方程为，由可得，由，可得，则切线方程为，即，则直线OP的方程为，由可得.由对称性可知切线垂直平分线段OP，故点P的坐标为，即，消去t可得，此时曲线E的方程为，
当时，点P与点O重合，也满足，故曲线E的方程为.
选项A：把中的y换成，方程不变，故曲线E关于x轴对称，故A正确.
选项B：把中的x，y分别换成，，所得方程和原方程不同，故曲线E不关于原点O对称，故B错误.
选项C：由得或，故或，满足，故C正确.
选项D：由及可得，则，
故，又，所以，故D错误.
12.答案：-3
解析：因为，所以，即，又，所以，解得.
13.答案：1或
解析：由，得，，则，
所以曲线在处的切线方程为.
依题意，直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为，解得或.
14.答案：
解析：设先后抛掷的两枚质地均匀的骰子的点数分别为a，b，
则样本空间，其包含的样本点有36个.
记事件“”，则事件A包含的样本点为，，，，，，，，，，共10个.
记事件“”，则事件“且”，其包含的样本点有9个，即除了事件A中的样本点外，其他均符合.
所以由条件概率公式知.
15.答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：(1)方法一证明：因为，
由余弦定理，得，
所以.整理得.
因为，所以，
又因为，所以，即，
所以是等腰三角形.
方法二证明：因为，
由正弦定理，得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，所以，
所以是等腰三角形.
(2)由(1)知是等腰三角形，且.
当时，，则.
又，所以，所以，
所以，所以，所以.
所以的面积.
16.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得得
所以椭圆M的方程为.
（2）证明：由题得直线l的斜率存在且不为0，则可设直线.
由得，，
设，，则，.
由题设，.
由，，三点共线，得，
从而，
同理得.
所以
，
即，所以为定值0.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
所以，
所以.
又，所以所求切线方程为，即.
（2）.
①当时，若，则，，所以，所以在上无零点，不符合题意.
②当时，.
令，则，
所以在上单调递增，
，.
（a）若，则，所以时，在上恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，
所以在，上均无零点，不符合题意.
（b）若，则，所以时，存在，使得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
，，.
（ⅰ）当，即时，在上恒成立，所以在上恒成立，
所以在上单调递增.
因为，所以当时，，
所以在上无零点，不符合题意.
（ⅱ）当，即时，
存在，，使得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
因为，所以，当时，
所以在上存在一个零点，
即在上存在一个零点，
因为，当时，，
所以在上存在一个零点，即在上存在一个零点.
综上，a的取值范围是.
18.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，连接BD，交CH于点O，连接EO.
，，
.
，，
四边形BCDH是矩形，
为BD的中点，
又E为PD的中点，，
又平面，平面CEH，
平面CEH.
（2）平面平面BCDH，平面平面，，
平面BCDH，
又平面，，
PH，BH，DH两两垂直，
如图，以H为坐标原点，以HB，HD，HP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
设平面PBC的法向量为，
则
令，则，，
.
设平面CEH的法向量为，
则
令，则，，
，
，
平面PBC与平面CEH夹角的正弦值为.
19.答案：(1)是周期为的周期数列，理由见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
解析：(1)因为，
所以是周期为的周期数列.
(2)①当时，，，
所以当时，是周期为1的周期数列，
②当时，记，则，
，当且仅当时等号成立，
即，所以在R上严格增，
若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列，
同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列.
综上，当时，是周期为1的周期数列，当时，不是周期数列.
(3)必要性：
若存在，使得是周期数列，设的周期为，
则，所以是周期为的周期数列，
充分性：
若是周期数列，设它的周期为T，记，则
，是关于x的连续函数，
，是关于x的连续函数，
…
，是关于x的连续函数，
，
令，则是连续函数，
且，，
所以存在零点c，于是，
取，则，
从而，
，
……
甲
7.0
8.3
8.9
8.9
9.2
9.3
乙
8.1
8.5
8.6
8.6
8.7
9.1
甲
乙
中位数
A正确
极差
B正确
第75百分位数
，故第75百分位数是第5个数
C错误
9.2
8.7
方差
由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差
D正确