2023~2024学年云南省昆明市官渡区高二上1月期末学业水平考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年云南省昆明市官渡区高二上1月期末学业水平考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了本卷为试题卷， 已知四面体中，是的中点，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷､草稿纸上作答无效；
2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题，共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1. 直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线的斜率为.故选A
2. 已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（ ）
A. -23B. -31C. -33D. -43
【答案】C
【解析】由等差数列知数列首项为，公差为，故数列通项为，
分别使取选项中的值，发现仅当时，，其它没有对应的n.故选：C.
3. 已知四面体中，是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为四面体中，是的中点，
所以.
故选：B.
4. 焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，，又，
解得，
故椭圆方程为.
故选：D
5. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】依题意，记，，，
则，，
则，
因为，
，
所以.
故选：D.
6. 经过点的直线与圆相交于两点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为圆的圆心为，半径为，
所以点到圆心的距离为，则点在圆内部，
记圆心到直线的距离为，则，
当最大，即时，弦长最小，
此时.
故选：C．
7. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为,则直线的点法式方程为：,化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点，
则
平面法向量为，
故选：A．
8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（ ）
A. 170B. 168C. 130D. 172
【答案】D
【解析】依题意，，
故，
又，所以．
所以．
故选：D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求､全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线必过定点
B. 过点且垂直于直线的直线方程为
C. 直线在轴和轴上截距相等
D. 直线与直线之间的距离是
【答案】BC
【解析】对于A，将代入直线，得，不恒成立，故A错误；
对于B，设过点且垂直于直线的直线为，
所以，得，
则所求直线为，故B正确；
对于C，直线，
令，则，令，则，
所以直线在轴和轴上截距相等，故C正确；
对于D，将直线化为，
则直线与直线之间的距离为，故D错误.
故选：BC.
10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马中,平面,若，分别为的中点，则（ ）
A. 平面
B. 异面直线所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AD
【解析】对于A，连接，则，
因为E，F分别为PD，PB的中点，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
且平面，
所以平面，则平面，故A正确；
对于B，因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，且，
故以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则
则，
所以，
则异面直线所成角的余弦值为，故B错误；
对于C，设点到平面的距离为，
易得，，
则由，得，
即，
则，故C错误；
对于D，由选项B，知，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
所以，
设AC与平面所成角为，
所以，
故D正确；
故选：AD.
11. 过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ）
A. 为定值
B. 存在直线，使得（为坐标原点）
C. 若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，依题意，直线的斜率不等于0，
设直线的方程为，
联立直线与抛物线的方程，消去得，
易知，则，，故，
所以为定值，故A正确；
对于B，因为，
所以不可能，故B错误；
对于C，经过点和抛物线的顶点的直线的方程为，
则其与准线的交点的坐标，
因为，所以，即轴，故C正确；
对于D，因为，，
则，所以，
由，得，
由，得，
即，
则，
则由抛物线定义得，故D正确.
故选：ACD．
12. 斐波那契数列，又称黄金分割数列或兔子数列.此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记为数列的前项和，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A项，因为，，，
所以，，，，故A项正确；
对于B项，由A项知，，，
，所以，故B项正确；
对于C项，根据题意，，所以，
所以，，，…，，
所以，故C项错误；
对于D项，因为， 故D项正确.
故选：ABD.
第II卷非选择题（共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 等比数列中，则__.
【答案】4
【解析】由题可得，，
所以.
故答案为：4.
14. 如图，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【解析】由题意可知椭圆的短半轴长为，长半轴长为，
则，则该椭圆的离心率为.
故答案为：.
15. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则__________.（写出满足条件的一个的值即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解析】不妨设点，因满足，则，化简得：，
即点的轨迹方程为，依题意点又在圆上,
如图，两圆必有公共点，须使，（由图知圆C半径），而，
解得：.故可取区间内的任何数.
故答案为：3（答案不唯一）
16. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在线段上运动，则面积的最小值为__________.
【答案】
【解析】记的中点为，连接，过作，交于，
在取，如图，
由，得，故四边形是平行四边形，则，
在中，，同理：，
所以，又，
则，则，故，
因为平面，平面，所以，
又平面，
所以平面，又平面，所以，则，
而由，，得，则，
所以是与的公共垂线段，
因为点在线段上运动，则点到上的最小距离为，即，
在中，由，得，
所以，即
则面积的最小值为.
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. 在等差数列中，是它的前项和，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）设的公差为，由可得：①，
由可得：，整理得：②，
联立①②可解得：，
故数列的通项公式为：.
（2）由（1）得，不妨设，
则，
故.
18. 从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径.
问题：已知圆经过两点，且__________.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
解：（1）若选①：
依题意，设圆方程为，，，
则，解得，
所以圆方程为，标准方程为．
若选②：
依题意，设圆方程为，，
又圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆方程为，标准方程为.
（2）因为点是圆上的一点，故切线只有一条，
又圆的圆心为，半径为，
当切线l的斜率不存在时，其方程为，显然不符合题意；
当切线l的斜率存在时，设切线，即．
则圆心到切线的距离，解得，
所以切线l的方程为，
即.
19. 如图，平面，四边形为矩形，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）因为四边形为矩形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，同理可得：平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，
因，
则，，，，
则，故，解得，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
20. 已知离心率为的双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0经过点.
（1）求的方程；
（2）如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值.
解：（1）因为，则，
因为双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0经过点，则，则，
所以，，
故双曲线的方程为.
（2）设点，则，
由图可知，直线的方程为，直线的方程为，
因为，则直线的方程为，
联立
可得，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，平行四边形的面积为为定值.
21. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，求证：.
解：（1）当时，，
当时，，①
由，②
②－①可得：，，
，
所以，．
（2）令，
当，，
当时，
即，①
，②
得，
所以，
因为，所以，
综上，.
22. 已知抛物线上的点到焦点的距离为8，点到轴的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）取抛物线上一点，过点作两条斜率分别为的直线与抛物线交于两点，且，则直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.
解：（1），准线为，点分别向轴和准线做垂线，垂足为，
则，，
所以，
又点在抛物线上，
所以，即，解得或（舍），
所以抛物线的方程为.
（2）点在上，所以，解得，所以，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
，同理，，
所以，即，
设直线为，
则，即，
所以，，
所以，
解得，代入到直线方程，
得，即，
当，即y=-1时，，所以直线过定点.