2023~2024学年江苏省南京市江宁区高二上期末统考数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年江苏省南京市江宁区高二上期末统考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知抛物线,所以，
故抛物线的准线方程为.
故选：A.
2. 在数列中，是其前n项和，，（），则（ ）
A. B. n
C. D.
【答案】C
【解析】数列中，，，所以是首项为3公差为3的等差数列，
则，，.
故选：C
3. 设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（ ）
A. 4B. 6C. 24D. 26
【答案】B
【解析】结合题意：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以圆心距为，而，
因为两圆相外切，所以，即.
故选：B.
4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10
→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．当时，使得的最小正整数n值是（ ）
A. 17B. 16C. 15D. 10
【答案】B
【解析】时
即
.
故选：B
5. 圆关于直线对称后的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】圆的圆心 半径为 ，由得，
设圆心关于直线对称点的坐标为，则
，
解得,
所以对称圆的方程为.
故选：A.
6. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与抛物线交于A、B两点（异于O点），若，则实数m的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】依题意，设
联立方程组，，得，
所以，
因为，即，
解得.
故选：D
7. 若函数在处有极大值，则常数c为（ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. -1或-3
【答案】B
【解析】函数，
，
由题意知，在处的导数值为，
，或，
又函数在处有极大值，
故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．
当时，，
满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．
当时，，
导数值在处左侧为负数，右侧为正数．
故．
故选：B．
8. 已知圆的一条切线与双曲线C：（，）有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得圆心，半径，
则圆心到切线的距离，
解得：，所以切线方程为，
因为与双曲线有两个交点，
所以，
所以，
即双曲线的离心率的取值范围为.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分．
9. 已知曲线C的方程为（），则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，曲线C为圆
B. “”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要且不充分条件
C. 存在实数k使得曲线C为双曲线，且离心率为
D. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
【答案】ABD
【解析】由题意，曲线C的方程为（）
对于A中，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，所以是A正确的；
对于B中，当曲线C的方程为（），表示焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要且不充分条件，所以B正确；
对于C中，当曲线C的方程为（）表示离心率为的双曲线时，则满足， 无解，所以C不正确；
对于D中，当时，曲线C的方程为（），可得，此时双曲线C渐近线方程为，所以D是正确的.
故选：ABD.
10. 已知直线，，则（ ）
A. 直线过定点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，两直线，之间的距离为1
【答案】ACD
【解析】对A，变形为
令，则，因此直线过定点，A正确；
对于B，当时，，由于，，故两直线不平行，B错误；
对于C，当时，，由于，故两直线平行，C正确；
对于D，当时，则满足，解得，此时，则两直线距离， D正确；
故选：ACD
11. 在数列中，，（），前n项和为．则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. 是等比数列D. 是递增数列
【答案】ACD
【解析】因，可得，且，
可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，
可得，即，
则，
且在上单调递增，可知是递增数列，故ACD正确；
因为，显然，可知不是等比数列，故B错误；
故选：ACD.
12. 已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】构造函数，其中，则，
所以，函数为上的减函数，则，即，
所以，，A对B错；
因为，则，
即，
所以，，C错D对.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在平面直角坐标系xOy中，经过两点，的直线倾斜角为45°，则实数m的值为_______________．
【答案】4
【解析】设直线的倾斜角为，则直线的斜率，
又，解得.
故答案为：4.
14. 如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数_______________．
【答案】8
【解析】设第n个正方形的边长为，第个正方形的边长为，
即，即数列是首项为，公比为的等比数列，
，故数列是首项为，公比为的等比数列，
，
所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于8，
故答案为：8.
15. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的最大值是___________．
【答案】
【解析】由题意，
因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，
即，又，
所以，即实数a的最大值是.
故答案为：
16. 如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则_______________．

【答案】
【解析】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得，
由椭圆C的方程为，所以,,
由椭圆的定义可知：，
由椭圆的光学性质得到直线平分，
可得.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知圆C经过两点，，且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．
解：（1）设圆C的方程为，
则，解得，
所以圆C的方程为．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则，则．
当直线l的斜率不存在时，直线l：，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
所以，
解得，
此时，直线l的方程为，
即．
综上所述，直线l的方程为或．
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
解：（1）当时，，．
所以，，
所以切线l：，即
（2）
令，得或．
当或时，；当时，．
∴的增区间为，；减区间为．
∴的极大值为，的极小值为．
∴，解得：．
此时，，所以函数有三个不同的零点，所以．
19. 对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆C：（），它的离心率是其伴随双曲线M的离心率的倍．
（1）求椭圆C伴随双曲线M的方程；
（2）如图,点分别为双曲线M的下顶点和上焦点，过F的直线l与M上支交于两点，的面积为，求直线的方程．
解：（1）设椭圆C与其伴随双曲线M的离心率分别为，，
依题意可得，，即，即，
解得，
所以椭圆C：，则椭圆C伴随双曲线M的方程为．
（2）由（1）可知，，设直线l的斜率为k，，，
则直线l的方程，与双曲线联立并消去y得，
则，所以，，
又，
又，
所以，
解得或，
因为直线与双曲线上支交于两点，所以，即，
，即，解得，
所以,
所以直线AB的方程为：或.
20. 已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的首项，其前n项和为，且 ，若数列满足，求的前n项和．
在如下两个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①（，）；
②（）．
解：（1）由题意得，可得，，
设递增的等比数列数列的公比为q，得，
解得或（舍），则；
所以数列的通项公式为.
（2）选①（），可得为首项为1，公差为2的等差数列，
则，
，
则，
，
两式相减可得
，化简可得，
所以的前n项和.
选②，
当时，，又，
两式相减可得，则，
可得为首项为1，公比为的等比数列，则；
所以，可得．
所以的前n项和.
21. 已知椭圆C：（）左，右焦点分别为，，离心率，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若A，B为椭圆C上的两个动点，过且垂直x轴的直线平分，证明：直线过定点．
解：（1）因，又，即，
解得，，
故椭圆C的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在，
，
设直线的方程为，
设，，
由，消去得，
则，
，．
设直线，的倾斜角分别为，，
由题意可得，即，
所以，
即，
所以，
所以，
化简可得，
所以直线的方程为，
故直线过定点．
22. 已知函数．
（1）若，求函数的增区间；
（2）若不等式对都成立，求实数a的取值范围．
解：（1）由题意知的定义域为．
当时，．
令，解得：．
所以的增区间为
（2）
①当时
当时，；当时，．
所以增区间为，减区间为
∴
由题：，解得：或．
∴或
②当时
当或时，；当时，．
∴为或，，
由题：．
解得：
③当时
在上单调递减
所以成立，故成立
④当时
当或时，；当时，．
∴为或，，
由题：．
解得：
⑤当时
当时，；当时，．
∴为或，，
由题：．
解得：．
综上：或．