福建省福建师范大学附中2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案

福建师大附中2024~2025学年上学期期末考试数学试卷试卷：120分钟 满分：150分：第I卷选择题（共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D.2.若复数满足，则的共轭复数（ ）A. B. C. D.3.若，则（ ）A. B.C. D.4.设等差数列的前项和，者，则数列前99项和为（ ）A.7 B.8 C.9 D.105.下列命题错误的是（ ）A.两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B.设，若，则C.线性回归直线一定经过样本数据的中心点D.袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从从中不放回地随机摸出20个球，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且6.如图，对五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）A.480种 B.640种 C.780种 D.920种7.从重量分别为克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展式中的系数为的选项是（ ）A.B.C.D.8.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为等差数列的前项和，若，则（ ）A.为递增数列B.为递减数列C.当或2019时，的值最大D.使得成立的的最大值是403810.如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.一定是异面直线B.存在点，使得C.直线与平面所成角的正切值的最大值当D.过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值11.记函数在区间的极值点分别为，函数的极值点分别为，则（ ）A. B.C. D.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，若，则的一个取值为__________.13.如图，已知是圆的两条直径，是的中点，是的中点，若，则__________.14.已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，圆，过的直线与抛物线和圆从上到下依次交于四点，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，15.（本题13分）如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设（1）求证：不论为何值，为定值.（2）当和的面积相等时，求的值.16.（本题15分）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.（1）证明：平面.（2）是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.17.（本题15分）焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”.（1）如果椭圆：是等差椭圆，求的值；（2）对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左､右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由.18.（本题17分）高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包括头痛､疲倦或不安､心律失常､心悸耳鸣等.最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为，大概每三位成人中就有一位是高血压患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.（1）某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计.若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？（2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲､乙､丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组､丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组､丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组､乙组的概率分别为，.（i）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望；（ii）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.19.（本题17分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：是周期函数；（3）判断在上的零点个数，并说明理由.高三数学试卷答案12.（答案不唯一 ） 13. 14.415.（1）（2）【详解】（1）在中，，又，所以，在中，所以，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，所以，即不论为何值，恒成立；（2）因为，，又，，由（1）可得，所以，即，整理得，所以.16.（1）证明见解析（2）存在实数，理由见解析【详解】（1）因为四边形是菱形，所以.因为，，平面，且，所以平面.因为平面，所以.因为，所以，即.因为，平面，且，所以平面.（2）取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，，所以为等边三角形，故⊥，又平面，平面，所以，，故，，两两垂直，故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，，故，，，所以，设平面的法向量为，则，令，得.平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为，则，整理得，解得或（舍去）.故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是.17.（1）；（2）存在，.【详解】（1）因为椭圆是等差椭圆，所以，所以，又，所以，化简得.（2）由且可知，，.所以椭圆方程为，如图，联立直线得，，，设，则，，，，，，，把，代入，得，所以存在实数，使得.18.（1）42人（2）（i）分布列见解析，（ii）证明见解析，.【详解】（1）由已知可得，.又因为，，所以，所以，所以，当时，，所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有42人.（2）（i）由题知的所有可能取值为0，1，2，；；，所以的分布列为所以.（ii）设经过次挑战后，挑战权在乙､丙组的概率分别为，，则当时，，，，由后两个等式相加，得.①因为，所以，，代入①式得，即，所以.因为，，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以由，得，即，所以对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数（表示不超过的最大整数），使得当时，，所以数列为“聚点数列”，聚点的值为.19.（1）（2证明见解析（3）3，理由见解析【详解】（1）因为，，，所以所求切线方程为，即；（2）因为，，所以，即是的一个周期，故是周期函数；（3）在上的零点个数为3，理由如下：注意到，由周期性，只需判断在上的零点个数，当时，，，，则，所以在上无零点，当时，，，，则，所以在上无零点，当时，，令，，即，当时，，，，则，所以在上单调递增，又因为，，所以存在，使得，故在上单调递减，在上单调递增，又，，，结合单调性可知存在，使得，所以在上有1个零点，由的周期是可知，在上还有一个零点，又，则也为的一个零点，综上，在上的零点个数为3.季度12345血压明显降低（或治愈）人数320270210150100题号1234567891011答案DABCDCCBBCDADABD012