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    2022-2023学年山东省邹平市高三上学期期末考试数学模拟试题(解析版)

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    这是一份2022-2023学年山东省邹平市高三上学期期末考试数学模拟试题(解析版),共21页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    山东省邹平市期末考试模拟试题
    2022.12.28
    一、单选题
    1.设复数,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    2.下列统计量可用于度量样本,,......,离散程度的是(    )
    A.,,......,的众数 B.,,......,的中位数
    C.,,......,的极差 D.,,......,的平均数
    3.在中,角A、B、C对边分别为a、b、c,且,当,时,的面积是(    )
    A. B. C. D.
    4.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜,约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.则投篮结束时,乙只投了1个球的概率为(    )
    A. B. C. D.
    5.下列说法中正确的是
    A.若事件与事件互斥,则
    B.若事件与事件满足,则事件与事件为对立事件
    C.“事件与事件互斥”是“事件与事件对立”的必要不充分条件
    D.某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件
    6.已知向量,满足,,则向量,的夹角为(    )
    A. B. C. D.
    7.某校对高一新生进行体能测试(满分100分),高一(1)班有40名同学成绩恰在内,绘成频率分布直方图(如图所示),从中任抽2人的测试成绩,恰有一人的成绩在内的概率是(   )

    A. B. C. D.
    8.如图,在四棱锥中,,其余的六条棱长均为2,则该四棱锥的体积为(    )

    A. B. C. D.

    二、多选题
    9.已知函数,则(    )
    A. B.为奇函数
    C.在上单调递增 D.的图象关于点对称
    10.已知方程,则下列说法中正确的有(    )
    A.方程可表示圆
    B.当时,方程表示焦点在轴上的椭圆
    C.当时,方程表示焦点在轴上的双曲线
    D.当方程表示椭圆或双曲线时,焦距均为10
    11.对于函数,下列说法正确的有(    )
    A.函数的增区间为 B.在处取得极大值
    C.有两个不同的零点 D.
    12.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美,二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为,则(    )

    A.
    B.AB与PF所成角为45°
    C.该二十四等边体的体积为
    D.该二十四等边体多面体有12个顶点,14个面
    三、填空题
    13.函数满足对任意都成立,其值域是,已知对任何满足上述条件的都有,则的取值范围为___________.
    14.设数列的前n项和为,则下列能判断数列是等差数列的是______.①;②;③;④.
    15.在棱长为2的正方体中,那么点到平面的距离为___________.
    16.《孙子算经》是中国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为:“现有5个级别不同的诸侯,共分60个橘子,级别高的比级别低的多分3个,问:5个人各分得几个橘子?”根据这个问题,分得的橘子最多的个数是______,分得的橘子最少的个数是______.

    四、解答题
    17.已知集合.
    (1)判断8、9、10是否属于集合A;
    (2)已知,证明:“”的充分非必要条件是“”.
    18.如图,在中,已知,,,,边上的两条中线,相交于点.

    (1)求;
    (2)求的余弦值.
    19.已知数列的前项和为,,且.
    (1)求数列的通项公式,
    (2)设数列满足(),求数列的前项和为
    20.一个盒子中装有四张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片,每张卡片被抽到的概率相等.
    (1)若一次抽取三张卡片,求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率;
    (2)若第一次抽一张卡片,放回后搅匀再抽取一张卡片,求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率.
    21.设椭圆的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)设直线l:与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若,求k的值.
    22.已知函数.
    (1)当时,求函数的单调区间;
    (2)当时,若恒成立,求实数a的取值范围.



    山东省邹平市期末考试模拟试题
    一、单选题
    1.(2022春·河北邯郸·高三统考开学考试)设复数,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    【答案】D
    【详解】,则
    ∴在复平面内对应的点为,位于第四象限
    故选:D.
    2.(2022·全国·高三专题练习)下列统计量可用于度量样本,,......,离散程度的是(    )
    A.,,......,的众数 B.,,......,的中位数
    C.,,......,的极差 D.,,......,的平均数
    【答案】C
    【详解】解:众数是指统计分布上具有明显集中趋势的数值,代表数据的一般水平;中位数是统计数据中选取中间的数,是一种衡量集中趋势的数值;极差是用来表示统计资料中的变异数量,反应的是最大值与最小值之间的差距,刻画一组数据的离散程度;平均数是反应数据的平均水平是一种衡量集中趋势的数值.
    故选:C
    3.(2022秋·山东菏泽·高一统考期末)在中,角A、B、C对边分别为a、b、c,且,当,时,的面积是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【详解】对于,用正弦定理得:.
    因为,且,所以.
    由余弦定理得:,
    解得:(舍去).
    所以的面积是.
    故选:C
    4.(2023·全国·高三专题练习)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜,约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.则投篮结束时,乙只投了1个球的概率为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【详解】设,分别表示甲、乙在第k次投篮时投中,则,,(,2),记“投篮结束时,乙只投了1个球”为事件D.


    故选:B
    5.(2022·上海·高二专题练习)下列说法中正确的是
    A.若事件与事件互斥,则
    B.若事件与事件满足,则事件与事件为对立事件
    C.“事件与事件互斥”是“事件与事件对立”的必要不充分条件
    D.某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件
    【答案】C
    【详解】对A,基本事件可能的有C,D…,故事件与事件互斥,但不一定有
    对B,由几何概型知,则事件与事件不一定为对立事件,;
    对C,由对立,互斥的定义知,对立一定互斥,但互斥不一定对立,故C正确,
    对D, “至少有一次中靶”的对立事件为“两次都不中”,故D错误;
    故选C.
    6.(2022·全国·高二专题练习)已知向量,满足,,则向量,的夹角为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【详解】,,
    即,
    即,
    又,

    解得,,
    所以.
    故选:C
    7.(2022春·江西九江·高二九江市同文中学校考期中)某校对高一新生进行体能测试(满分100分),高一(1)班有40名同学成绩恰在内,绘成频率分布直方图(如图所示),从中任抽2人的测试成绩,恰有一人的成绩在内的概率是(   )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【详解】由频率分布直方图知内有2人,不妨记为a,b;在内有4人,不妨记为1,2,3,4.从6人中任取2人的基本事件为,共15个,事件“恰有一人的成绩在内”的基本事件有8个,所以所求的概率为.
    故选:B.
    8.(2022春·北京朝阳·高三统考期中)如图,在四棱锥中,,其余的六条棱长均为2,则该四棱锥的体积为(    )

    A. B. C. D.
    【答案】C
    【详解】连接,交点为,如图所示:

    ,且是公共边,
    ,,
    易得,,
    即,又,,
    ,平面,
    平面,又平面,
    平面平面.
    过点作平面,垂足为,连接,
    ,,
    平面,,,
    由是公共边,,
    即有,
    三点在以为直径的圆周上,
    ,,,


    .
    故选:C

    二、多选题
    9.(2022春·安徽六安·高一校考期中)已知函数,则(    )
    A. B.为奇函数
    C.在上单调递增 D.的图象关于点对称
    【答案】AD
    【详解】因为,则,故A正确;
    由解析式知定义域为,显然不关于原点对称,不是奇函数,故B错误;
    的图象可看作是由反比例函数的图象向右移动1个单位长度得到,
    故在上递减且关于对称,故C错误,D正确.
    故选:AD.
    10.(2023·全国·高三专题练习)已知方程,则下列说法中正确的有(    )
    A.方程可表示圆
    B.当时,方程表示焦点在轴上的椭圆
    C.当时,方程表示焦点在轴上的双曲线
    D.当方程表示椭圆或双曲线时,焦距均为10
    【答案】BCD
    【分析】分别将的值代入各个命题,根据圆锥曲线方程的特点即可作出判断.
    【详解】对于A,当方程可表示圆时,,无解,故A错误.
    对于B,当时,,,表示焦点在轴上的椭圆,故B正确.
    对于C,当时.,,,表示焦点在轴上的双曲线,故C正确.
    对于D,当方程表示双曲线时,;当方程表示椭圆时,,所以焦距均为10,故D正确.
    故选:BCD
    11.(2022秋·广东湛江·高二校考阶段练习)对于函数,下列说法正确的有(    )
    A.函数的增区间为 B.在处取得极大值
    C.有两个不同的零点 D.
    【答案】AD
    【分析】求导,利用导数可得的单调区间可极值,即可判断A、B、D的正误,根据零点存在性定理,结合函数单调性,特殊值,即可判断C的正误,即可得答案.
    【详解】由题意得,,故D正确;
    所以时,,则为单调递增函数,故A正确;
    当时,,则为单调递减函数,
    当时,有极大值,故B错误;
    由时,为单调递增函数,且,
    根据零点存在性定理可得,在上有唯一的零点,
    当时,恒成立,
    所以恒成立,
    所以在上没有零点,故C错误;
    故选:AD
    12.(2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中)半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美,二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为,则(    )

    A.
    B.AB与PF所成角为45°
    C.该二十四等边体的体积为
    D.该二十四等边体多面体有12个顶点,14个面
    【答案】CD
    【分析】将该二十四等边体补形为正方体, 利用与是异面直线判定选项A错误,利用和的形状判定选项B错误,利用正方体和等二十四等边体的关系和分割法判定选项C正确,利用该二十四等边体顶点数和面数判定选项D正确.
    【详解】将该二十四等边体补形为正方体(如图所示),
    因为该二十四等边体的所有棱长都为,所以正方体的棱长为2,

    对于A:正方体的体对角线平面,而与是异面直线,
    所以平面不成立,即选项A错误;
    对于B:因为,
    所以是AB与PF所成角或其补角,
    在中,,,
    因为,所以,即选项B错误;
    对于C:因为该二十四等边体的所有棱长都为,
    所以正方体的棱长为2,
    所以该二十四等边体的体积为,即选项C正确;
    对于D:该二十四等边体多面体有共12个顶点,
    有面,面,面,面,面,面,面,面,面,面,面,面,面,面共14个面,即选项D正确.
    故选:CD.

    三、填空题
    13.(2022春·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试)函数满足对任意都成立,其值域是,已知对任何满足上述条件的都有,则的取值范围为___________.
    【答案】
    【分析】由题可得,然后可得当时不合题意,进而即得;或等价于恒成立,即恒成立,进而即得.
    【详解】法一:令,解得(负值舍去),
    当时,,
    当时,,
    且当时,总存在,使得,
    故,
    若,易得,
    所以,
    即实数的取值范围为;
    法二:原命题等价于任意,
    所以恒成立,
    即恒成立,又,
    所以,
    即实数的取值范围为.
    故答案为:.
    【点睛】数学中的新定义题目解题策略:①仔细阅读,理解新定义的内涵;②根据新定义,对对应知识进行再迁移.
    14.(2022·高二课时练习)设数列的前n项和为,则下列能判断数列是等差数列的是______.①;②;③;④.
    【答案】①②
    【分析】根据可以求出,再结合可以判断是否是等差数列.
    【详解】①当时,;当也符合,所以,数列为等差数列;
    ②当时,;当时,,符合,所以,数列为等差数列;
    ③当时,;当时,,不符合,所以,数列不是等差数列;
    ④当时,;当时,,不符合,所以,数列不是等差数列.
    故答案为:①②.
    15.(2022·高二单元测试)在棱长为2的正方体中,那么点到平面的距离为___________.
    【答案】##
    【分析】由等体积法求出到平面的距离,根据正方体的性质有面,即可求到平面的距离.
    【详解】由,且,
    若到平面的距离为h,则,可得,
    由正方体的性质易知:面,
    故到平面的距离为.
    故答案为:


    16.(2022·高二课时练习)《孙子算经》是中国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为:“现有5个级别不同的诸侯,共分60个橘子,级别高的比级别低的多分3个,问:5个人各分得几个橘子?”根据这个问题,分得的橘子最多的个数是______,分得的橘子最少的个数是______.
    【答案】     18     6
    【分析】根据题意,分得的橘子个数从少到多构成一个等差数列,且公差为3,根据等差数列前n项和公式,可求得,进而可求得分得的橘子最多的个数,即可得答案.
    【详解】由题意知,5个人分得的橘子个数从少到多构成一个等差数列,记为,且公差为3,
    设分得的橘子最少的个数为,最多的个数为,
    则,可得,
    所以分得的橘子最多的个数为.
    故答案为:18;6.

    四、解答题
    17.(2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学统考阶段练习)已知集合.
    (1)判断8、9、10是否属于集合A;
    (2)已知,证明:“”的充分非必要条件是“”.
    【答案】(1),,;
    (2)证明见解析

    【分析】(1)∵,,∴,,
    假设,m,,
    则,且,
    ∵,或,
    显然均无整数解,∴,
    ∴,,.
    (2)∵集合,
    则恒有,∴,
    ∴即一切奇数都属于A,
    又∵,,
    ∴“”的充分不必要条件是“”.
    18.(2022·全国·高一期末)如图,在中,已知,,,,边上的两条中线,相交于点.

    (1)求;
    (2)求的余弦值.
    【答案】(1)
    (2)的余弦值为

    【分析】(1)又已知为的中点,
    所以,
    所以,
    所以,
    又,,,
    所以,
    所以,
    (2)因为为的中点,所以,
    又,
    所以,
    所以,

    所以,
    又与的夹角相等,
    所以,
    所以的余弦值为.
    19.(2022春·福建·高三福建师大附中阶段练习)已知数列的前项和为,,且.
    (1)求数列的通项公式,
    (2)设数列满足(),求数列的前项和为
    【答案】(1)
    (2)

    【详解】(1)因为,
    当时,,解得:,
    当时,则有,
    两式相减可得:,所以,
    因为,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,
    所以数列的通项公式为.
    (2)由可得:,
    所以

    两式相减可得:

    所以.
    20.(2022春·湖北宜昌·高二校联考期中)一个盒子中装有四张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片,每张卡片被抽到的概率相等.
    (1)若一次抽取三张卡片,求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率;
    (2)若第一次抽一张卡片,放回后搅匀再抽取一张卡片,求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率.
    【答案】(1);
    (2).

    【详解】(1)设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于8”,   
    ∵ 任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是{1、2、3},{1、2、4},{1、3、4},{2、3、4}共4个,
    其中数字之和大于8的是{2、3、4},
    ∴.
    (2)设B表示事件“至少一次抽到2”,  
    ∵每次抽1张,连续抽取两张全部可能的结果有:(1、1),(1、2),(1、3),(1、4),(2、1),(2、2),(2、3),(2、4),(3、1),(3、2),(3、3),(3、4),(4、1),(4、2),(4、3),(4、4),共16个.   
    事件B包含的基本结果有(1、2),(2、2),(2、1),(2、3),(3、2),(2、4),(4、2),共7个基本结果.
    ∴所求事件的概率为
    21.(2022·全国·高二假期作业)设椭圆的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)设直线l:与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若,求k的值.
    【答案】(1);
    (2).

    【详解】(1)设椭圆的焦距为2c,由已知得,又由,可得.
    又,所以,,
    所以,椭圆的方程为.
    (2)
    设点P的坐标为,点M的坐标为,由题意,,
    点的坐标为.
    因为,所以有,,,
    所以,即.
    易知直线的方程为,由方程组
    消去y,可得.
    由方程组消去,可得.
    由,可得,两边平方,整理得,
    解得,或.
    当时,由可得,,不合题意,舍去;
    当时,由可得,,.
    所以,.
    22.(2022秋·高二课时练习)已知函数.
    (1)当时,求函数的单调区间;
    (2)当时,若恒成立,求实数a的取值范围.
    【答案】(1)的单减区间为,单增区间为和.
    (2)

    【分析】(1)解:由,则,

    令,得或;令,得,
    所以的单减区间为,单增区间为和.
    (2)解:由当时,恒成立,∴,解得;
    当时,,
    记,由(1)可知,在单调递减,在单调递增,所以,即.
    综上可知,实数a的取值范围是.


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