2020-超常数学竞赛-8年级-复赛-答案学案

这是一份2020-超常数学竞赛-8年级-复赛-答案学案，共15页。学案主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：15:00～16:30满分：120 分
考试说明
本试卷包括 12 道填空题、5 道解答题。
填空题答案不完整则不得分，解答题按评分标准酌情给分。
需在答题卡上作答，写在试题卷上不得分。
一、填空题（每小题 5 分，共 60 分）
计算：(1 − 1 ) (1 − 1 ) ⋯ (1 − 1 ) (1 − 1 ) =.
答案：
2232
??
.
??
92102
解 (1 − 1 ) (1 − 1 ) ⋯ (1 − 1 ) (1 − 1 )
223292
1111
102
1111
= (1 +
) (1 −
2
1
) (1 +
2
1
) (1 −
3
1
) ⋯ (1 + 3
1
) (1 −
9
1
) (1 +
9
1
) (1 −)
1010
11
= (1 +
) (1 +
2
) ⋯ (1 + 3
) (1 +
9
) (1 −
10
) (1 −
2
) ⋯ (1 −
3
) (1 −)
910
345
=××
234
10
× ⋯ ×
9
1112
×××
1023
389
×× ⋯ ××
4910
111
=×
210
11
=
20
如下图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD = ∠BCD = 90°，AC = 6cm，则四边形 ABCD 的面积等于cm2.
答案：18.
解法一 此题只知?? = 6cm一条线段长计算面积，仔细想一想，只有正三角形、正方形、圆等图形可以只由一条线段来求面积，已知条件中有两个 90°角
和另两条相等线段，不妨设法将图形试一试改造成正方形（如解图①）.为此作
?(?，90°)
?? ⊥ ??于 E，将△ ??? → △ ???，易知，AECF 为正方形，其面积等于四
边形 ABCD 的面积，AC 为正方形 AECF 的对角线.
所以四边形
的面积
正方形
的面积
??2622
????
=????
= 2 = 2 = 18cm

①②
解法二 如解图②，显然∠? + ∠? = 180°，将△ ???旋转至 △ ???的位置，此时 C、D、E 三点共线，所以
?四边形
= ?△???
= 1 × 6 × 6 = 18cm2
2
不等式组? < ?? < ? + 1(? = 1，2，3， ⋯ ，?)，即
1 < ? < 2
2 < ?2 < 3
3 < ?3 < 4
4 < ?4 < 5
⋮
有解. 则自然数?的最大值为.答案：4.
解 最大值可能是 4. 如果?满足这个不等式组的前 5 个不等式，则从第 3
个不等式得出
3 < ?3
从第 5 个不等式得出
?5 < 6
从而得出35 < ?15 < 63，即243 < 216，矛盾.因此，?不能大于 4.
由于4√4 = √2，因此，在3√3与4√5之间的每个?均满足前 4 个不等式.故自然数?的最大值为 4.
已知?，?均为素数，且满足5?2 + 3? = 59，则以? + 3，1 − ? + ?，2? +
? − 4为边长的三角形是三角形.
答案：直角
解法 1因为5?2 + 3?为奇数，所以?，?必为一奇一偶，而?，?均为素数，故?，?中有一个为 2.
若? = 2时，则?2 = 53，不合题意，舍去.
5
若? = 2，则? = 13，此时
? + 3 = 5，1 − ? + ? = 12，2? + ? − 4 = 13
因为52 + 122 = 132，所以，以 5，12，13 为边长的三角形为直角三角形.解法 2由5?2 + 3? = 59，可得
3? = 59 − 5?2
由于?，?均为素数，故
所以，?只可能取值 2 或者 3.
59 − 5?2 = 3? ≥ 6
若? = 3，则?不是素数，舍去.
若? = 2，则? = 13，以下同解法 1.
如下图，由四条半圆弧构成一图形. 若PR = 12，QS = 6，则所围出的面积为.
答案：???.
?
解法 1令?? = ?. 那么，以 PQ 为直径的半圆的面积为
2
12−? 2
() .
2
?
以 QR 为直径的半圆的面积为
2
? 2
)
(；
2
?
以 RS 为直径的半圆的面积为
2
6−? 2
() ；
2
?
以 PS 为直径的半圆的面积为
2
于是所围出的面积等于
12+6−? 2
()
2
? [(18 − ?)2 − (12 − ?)2 + ?2 − (6 − ?)2] 8
= ? [324 − 36? + ?2 − 144 + 24? − ?2 + ?2 − 36 + 12? − ?2] 8
?
=[324 − 144 − 36]
8
?
=(144)
8
= 18?
解法 2如解图，考虑?? = 0的极限情形. 此时?? = 12，?? = ?? = 6，且
?? = 18. 于是所围出的面积为
? 18 2
()
22
? 12 2
−()
22
?6 2
− ( ) ( )
22
?
=[81 − 36 − 9] = 18?
2
202021
计算：√1 + 20202 +
答案：2020.解 因为
2021
2 − 2021 = .
20202
1 + 20202 +
20212
= (1 + 2020)2 − 2 × 2020 +
= 20212 − 2 × 2021 × 2020
2021
20202
20212
20202
+ 20212
= (2021 −
所以
2020 2
)
2021
√1 + 20202 +
20202
20212 −
1
2021
= (2021 −
= 2020
2020
) −
2021
1
2021
2?2 − ? − 36为某素数的平方，则所有的整数?之和为.
答案：18.
解 设2?2 − ? − 36 = ?2，?是素数，则
?2 = (? + 4)(2? − 9)
（1）若? + 4 = 1，则? = −3，此时2? − 9 = −15 ≠ ?2.
（2）若2? − 9 = 1，则? = 5，所以? + 4 = 9 = 32.
（3）若? + 4 = 2? − 9 = ?，则? = 13，此时? = 17.
所以，所有的整数?之和为5 + 13 = 18.
从中午到午夜（但不包含午夜），时钟的秒针平分时针和分针之间两个夹角之一（其中有一个大于或等于180°）次.
答案：1427.
解 我们从 12 点的位置开始按顺时针方向以度数来度量针的位置. 如果以
ℎ，?，?分别表示时针、分针和秒针与 12 点位置所成角度，则0 ≤ ℎ，?，? 6，? < 6
由 A 与 B 都是整数且?? = 48；? > 6，? < 6，得 B 是正整数，且(?，?) =
(1，48)，(2，24)，(3，16)或(4，12)，但均与? ≤ 2?矛盾！
所以说谎话的只可能是小松.此时，得
? + ? = 12
?? ≠ 48
{? ≤ 2?
? > 6，? < 6
由? + ? = 12，? ≤ 2?，得? ≥ 4. 又? < 6，所以整数? = 4或 5.
进而可得(?，?) = (7，5)或(8，4)，即此时小松说谎话，其余 3 人均说实
话.
总之，说谎话的是小松.
?
已知?是自然数，且20000 < ? < 30000，?的各位数字之和是 A，则 的
?
最小值为.
答案：??? ?
??
解 设? = 20000 + 1000?1 + 100?2 + 10?3 + ?4，则
?20000 + 1000?1 + 100?2 + 10?3 + ?4
=
?2 + ?1 + ?2 + ?3 + ?4
19998 + 999?1 + 99?2 + 9?3
= 1 +
≥ 1 +
= 1 +
2 + ?1 + ?2 + ?3 + ?4
19998 + 999?1 + 99?2 + 9?3
2 + ?1 + ?2 + ?3 + 9
19998 + 999?1 + 99?2 + 9?3
11 + ?1 + ?2 + ?3
19899 + 990?1 + 90?2
= 10 +
≥ 10 +
= 10 +
11 + ?1 + ?2 + ?3
19899 + 990?1 + 90?2
11 + ?1 + ?2 + 9
19899 + 990?1 + 90?2
20 + ?1 + ?2
18099 + 900?1
= 100 +
≥ 100 +
= 100 +
= 100 +
20 + ?1 + ?2
18099 + 900?1
20 + ?1 + 9
18099 + 900?1
29 + ?1
900(29 + ?1) + 18099 − 900 × 29
29 + ?1
8001
= 1000 −
≥ 1000 −
3
= 724
29
29 + ?1
8001
29 + 0
易见，当且仅当?4 = ?3 = ?2 = 9，?1 = 0，即? = 20999时，上述各处不等
?
号中的等号成立，故
的最小值是724 3 .
?29
给定一正方形，其边长等于?，正方形两组相对的顶点是两个全等菱形的顶点. 如果每个菱形的面积等于正方形面积的一半，则两菱形公共部分的面积为.
答案：
??.
?
解 因为菱形（含正方形）的面积等于对角线乘积的一半，而图中菱形是正方形面积的一半，所以 M、N 分别是 OA、OB 的中点.
易知
2
1√21
?=× (?) =
?2
△???2
1
?

416
1 1112
△??? = 4 ?△??? =
所以
∙? ∙
4 2
? =?
648
?四边形???? = ?△??? + ?△???
= 1 ?2 + 1
1648
= 1 ?2
12
从而
?2
?阴影
= 4?
1 2
四边形???? = 3 ?
对于两个实数? ， ? ， 定义运算“ ∗ ” ， 使得? ∗ ? = ??? + ?? +
.
??(?，?，?是常数). 对于任意的实数?，存在实数?使? ∗ ? = ?，又1 ∗ 2 = 5，2 ∗ 3 = 4，这时? + ? + ? + ? =.
答案：?或
?? ?
?
解 因为? ∗ ? = ??? + ?? + ??，? ∗ ? = ?，所以??? + ?? + ?? = ?对于一切
由式②可知? = 0或? = 0.
当? = 0时，代入③得
2? + ? = 5⑤
代入④得
6? + 2? = 4⑥
联立⑤⑥得? = −3，? = 11，代入①得
−3? + 11 = 1
.
所以? = ??
?
当? = 0时，代入①得? = 1，代入③④得
? + ? = 2⑦
6? + 3? = 2⑧
?都成立，
所以
又由1 ∗ 2 = 5得
?? + ? = 1
?? = 0
2? + ? + 2? = 5
①
②
③
由2 ∗ 3 = 4得
6? + 2? + 3? = 4
④
联立⑦⑧得
所以，得出两组值
4
? = −
3
10
，? =
3
10
? = −3，? = 11，? = 0，? =
3
4
? = −
3
，? = 1，? =
10
，? = 0
3
1
? + ? + ? + ? = 3 或 11
3
二、解答题（每小题 12 分，共 60 分）
，求
已知? = 1
3 35 25

的值.
?
+
?
+
? + 1
解 因为
√2+1424
1
? =
√2 + 1
所以
√2 − 1
=
(√2 + 1)(√2 − 1)
= √2 − 1
………4 分
(? + 1)2 = (√2)2 = 2
即?2 + 2? − 1 = 0
从而
………6 分
3 ?3
4
5
+?2
2
5
+? + 1 4
= 1 [(3? + 4)(?2 + 2? − 1) + 8]
4
1
=(0 + 8)
4
= 2………12 分
设 A，B，C，D，E 五人参加一场考试，试题是十道判断题，正确判断得
1 分，错误判断反扣 1 分，不答不得分. 若五个人的答案如下表所示:
已知 A，B，C，D，E 的得分分别是 5，−1，3，0，4，请找出正确答案是√
的题号.
解 若第?题的正确答案是对，记?? = +1；否则，记?? = −1. 则 A 的得分是
?1 + ?2 + ?3 − ?5 + ?6 − ?7 − ?8 + ?9 − ?10
故
?1 + ?2 + ?3 − ?5 + ?6 − ?7 − ?8 + ?9 − ?10 = 5①
同理
?1 + ?2 − ?3 − ?4 − ?6 + ?7 + ?8 − ?9 − ?10 = −1②
−?1 + ?2 − ?3 − ?4 + ?5 + ?6 + ?7 − ?8 + ?9 = 3③
−?1 − ?2 + ?3 + ?4 + ?5 + ?6 − ?7 − ?8 − ?9 + ?10 = 0④
?1 + ?2 − ?3 + ?4 − ?5 − ?6 − ?7 + ?8 + ?9 − ?10 = 4⑤
………3 分
上面五个式子两边对应相加得
?1 + 3?2 − ?3 + ?6 − ?7 − ?8 + ?9 − 2?10 = 11
但
11 = ?1 + 3?2 − ?3 + ?6 − ?7 − ?8 + ?9 − 2?10
≤ |?1| + 3|?2| + |?3| + |?6| + |?7| + |?8| + |?9| + 2|?10|
= 11………7 分
故?1 = 1，?2 = 1，?3 = −1，?6 = 1，?7 = −1，?8 = −1，?9 = 1，?10 = −1，代入式①~⑤得
−?5 + 6 = 5
−?4 = −1
−?4 + ?5 + 3 = 3
?4 + ?5 − 2 = 0
?4 − ?5 + 4 = 4
………10 分
故?4 = ?5 = 1，即第 1，2，4，5，6，9 题的正确答案是对，其余各题的正确答
案是错.………12 分
两个正三角形叠放成一个六角星（如图），现将前 12 个正整数 1，2，…，
12 分别填于图中的 12 个结点处，使得每条直线上所填的四个数之和相等. 求六角星的六个顶点?1，?2， ⋯ ，?6处填数之和的最小值.
解 对于满足条件的任一填法，将点?? 处所填的数记为?? ，? = 1，2，
⋯ ，12，若每条直线上的四数之和为?，则由
得到? = 26.
6? = 2(1 + 2 + ⋯ + 12)
………3 分
在△ ?1?3?5的三条边上，有
(?1 + ?8 + ?9 + ?3) + (?3 + ?10 + ?11 + ?5) + (?5 + ?12 + ?7 + ?1) = 3?①在△ ?2?4?6的三条边上，有
(?2 + ?9 + ?10 + ?4) + (?4 + ?11 + ?12 + ?6) + (?6 + ?7 + ?8 + ?2) = 3?②两式相减得
?1 + ?3 + ?5 = ?2 + ?4 + ?6③由此知，两个三角形顶点处填数之和相等.
若记? = (?1 + ?3 + ?5) + (?2 + ?4 + ?6)，则?为偶数.
………6 分
因为在 1，2，⋯，12 中，最小的六数之和1 + 2 + ⋯ + 6 = 21为奇数，则? ≥
22. 若? = 22，由于在 1，2，⋯，12 中，和为 22 的六个数只有 1，2，3，4，
5，7，将其分为和相等的两组，每组三个数，只有唯一的分法：{1，3，7}与
{2，4，5}.
今忽略外圈的具体数字， 而将{1，3，7} 与{2，4，5} 分别改记为
{奇，奇，奇}与{偶，偶，奇}，那么在旋转意义下，六个顶点处的填字方式唯一
（如解图（a））.
现在再来考虑内圈六个数的填法，用记号?~?表示整数?，?同奇偶，由于每条线上四个数之和?为偶数，则?9~?8~?7~?12，?10~?11，而在内圈六个数 6， 8，9，10，11，12 之中，恰有四个偶数，两个奇数，因此{?10，?11} = {9，11}.
………8 分 由于?10，?11落在顶点处为奇数的三角形的一条边上，该边两顶点的填数之
和应是? − (9 + 11) = 6，但是在{1，3，7}中不存在和为 6 的两个数，矛盾. 因此? ≠ 22，进而得，偶数? ≥ 24.
当? = 24时，我们可实际给出符合题意的填法（如解图（b））・
因此所求的最小值为 24.
………12 分
如图，在△ ???中，阴影部分是由各边四等分点联结形成，面积为 2015，那么△ ???的面积是多少？
解 由解图易知四边形 BDYE、四边形 CEZF、四边形 ADXF 面积相等，由
△ ???面积减去四边形 BDYE 面积的 3 倍可得到三叉星 DYEZFX 的面积，再减去
3 倍的 EHGI 的面积即可得阴影部分面积.
设△ ???的面积为 1，则
133
?△??? = 2 × 4 = 8
由于
………2 分
??
??
所以
??
=
??
2??
==
3??
?△??? = 3?△???
所以
………3 分
33313
8
?四边形???? = 8 − 5 × (
所以
× ) =
310
………4 分
31
?三叉星?????? = 1 − 3 × 10 = 10
又因为1，所以
………6 分
?? = 2 ??
所以
??
??
= 1 =
1
??
??
?△??? = 2 ?△???
所以
2212131
又易知
?△??? = 3 ?△??? = 3 × 2 ?△??? = 3 × 2 × 8 = 8
………9 分
????1??2??24??
?△??? = ?△???， ?? = ?? = 3 ， ?? = 3 ， ?? = 1.5 = 3 = ??
所以
3313
?△??? = 7 ?△??? = 7 × 8 = 56
所以
131
?四边形???? = 8 − 2 × 56 = 56
所以
1113
?阴影 = 10 − 3 × 56 = 280
所以
13
?△??? = 2015 ÷ 280 = 43400
………12 分
我们知道，每副扑克牌都是 54 张，假定其排列顺序为：头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、梅花、方块四种花色，每种花色的牌又按 A、2、3、
⋯、J、Q、K 顺序排列. 某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，用一张没有花色和点数的“备用牌”插在中间. 然后先把第一、二张丢掉，把第三张放到最下面；再把第四、五张丢掉，把第六张放到最下面；⋯ ⋯；即每次连续丢掉两张，只放一张下去. 问：最后丢出去的是哪张牌？请说明理由.
解 我们考虑有?张牌的情形. 这个问题相当于把数字 1，2，3，⋯，?按顺时针方向写在一个圆圈上，然后从 1 开始，划掉两个数，跳过下一个数；再划掉两个数，跳过下一个数；⋯ ⋯；直到最后剩下一个数为止，求这个数对应的扑克
牌.………4 分
若? = 3?，则一定留下最后一个数. 因为每一轮划下来，剩下的都是 3 的倍
数，然后重新编号（每个数除以 3 即可）为：1，2，3，……，3?−1. 我们知道，
3?除以 3 后仍然是 3 的倍数，所以它总是被留下来，然后从头开始，直到变成
1 为止.
………8 分
回到本题上来. 由于34 = 81 < 109 < 243 = 35 ，可以考虑先丢掉109 −
81 = 28张牌，剩下 81 张牌，此时最后一张牌就是最终剩下的牌.
A
丢掉 28 张牌，则动了28 ÷ 2 = 42张牌，此时第 42 张牌方块 被放到最下
3
面，手中还有 81 张牌.
………12 分
所以，最后丢出去的那张牌是方块 A.