2024-2025学年浙江省丽水市高二上册10月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年浙江省丽水市高二上册10月联考数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则在方向上的投影向量的模长为（ ）
A．B．C．D．
4．圆：与圆：的公切线有且仅有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
5．如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知球与正方体的各个切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（ ）
A．B．C．1D．2
8．关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知空间中三点，则正确的有（ ）
A．与是共线向量B．点关于轴的对称点的坐标是
C．与夹角的余弦值是D．与同向的单位向量是
10．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．弦的中点轨迹是圆
B．直线分别过定点和
C．直线的交点在定圆上
D．线段的最小值为
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（ ）
A．实数a越小，椭圆C越圆
B．若，且，则
C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．
13．椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的 倍
14．已知圆，过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为A，B两点，则最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程．
16．已知圆过点三个点．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值．
17．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
(1)证明：；
(2)若四棱锥的体积为1，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标.
19．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，
(1)求证：平面
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值
(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.
答案
1．【正确答案】B
【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为.
故选：B
2．【正确答案】B
【详解】当时，，解得或，
当时，两直线分别为，符合题意，
当时，两直线分别为符合题意，
所以“”是“∥”的充分不必要条件
故选：B
3．【正确答案】D
【详解】在方向上的投影向量的模长为.
故选：D
4．【正确答案】B
【详解】解：圆，则圆心，半径，
圆，则圆心，半径，
得两圆的圆心距为：，
则，
得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条．
故选：B
5．【正确答案】B
【详解】连接交于，连接，
由四棱锥是正四棱锥，则平面，且.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，不妨设，则，
在中，，
则，则，
，
则，
由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为.
故选：B.
6．【正确答案】B
【详解】当直线斜率不存在时，
由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上，
而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意.
故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为，
即，
代入椭圆的方程化简得，
所以，解得，
故直线方程为，即.
故选：B.
7．【正确答案】D
【详解】解法1：设正方体棱长为，则球的半径为，
∵平面截此球所得的截面的面积为，∴截面圆的半径为，
由题意，球心与的距离为，
设到平面的距离为，
是边长为的等边三角形，，
由得，可得，
，由平面，所以球心到平面的距离为，
∴，∴，即正方体棱长为；
解法2：设正方体棱长为，内切球与正方体各面的切点，
恰好为等边三角形各边的中点，截面圆为等边三角形的内切圆，
又因为平面截此球所得的截面的面积为，
所以截面圆的半径为，，
所以，整理得，
故截面圆的半径，解得，
即正方体棱长为．
故选：D．
8．【正确答案】C
【分析】由题意可得相应点的坐标，结合题意可得切线与直线的斜率，列式求解即可.
【详解】由题意可知：，
令代入椭圆方程可得，不妨设，
则切线，即，
可知直线的斜率，切线的斜率，
由题意可知：，即.
故选C.
【关键点拨】由根据题意可得切线，即可得切线斜率.
9．【正确答案】BCD
【详解】.
A选项，由于，所以与是不是共线向量，A选项错误.
B选项，关于轴的对称点的坐标是，即纵坐标不变，横坐标和竖坐标相反，
所以B选项正确.
C选项，与夹角的余弦值是,C选项正确.
D选项，与同向的单位向量是,D选项正确.
故选：BCD
10．【正确答案】ACD
【详解】A选项，圆的圆心为，半径为，
由于且为弦的中点，
所以，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以A选项正确.
B选项，直线即，
由解得，所以直线过定点.
直线即，
由解得，所以直线过定点，所以B选项错误.
C选项，由于，所以，
所以在以为直径的圆上，线段的中点为，
，所以在圆上，
整理得，所以C选项正确.
D选项，由上述分析可知，在圆上，
在圆上，
两个圆的圆心分别为、，圆心距为，两圆外离，
所以的最小值为，所以D选项正确.
故选：ACD
11．【正确答案】BD
【详解】A选项，因为，所以，此时，故椭圆的离心率为，
越大，越大，椭圆C越扁，A错误；
B选项：因为，则，
又因为，则，故，
又因为，
解得，，故，B正确；
C选项：当时，椭圆C： 且F1−1,0，
当过的直线斜率为0时，此时A在轴上，不符合要求，舍去，
设过的直线的方程为，
因为点A在轴的上方，且，所以直线的斜率大于0，
联立得，，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，，所以，
解得，负值舍去，
所以直线的方程的斜率为，C错误；
D选项：设Px0,y0，则，所以，
则
，
同理可得，由，得，
故，则，
又因为，，
故
，D正确；
故选：BD.
12．【正确答案】异面
【详解】假设直线共面，平面，
由，则平面，
同理，平面，故共面，
这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面.
故异面.
13．【正确答案】5
【详解】由题得，
由题得轴，当时，，所以,
所以,
所以是的5倍.
故5
14．【正确答案】
【详解】圆的圆心为，半径为，
根据切线长的知识可知，
所以
，
当且仅当时等号成立.
所以最小值为.
故

15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，解得，，
椭圆方程为.
（2）设直线：，，
联立并整理得，，，
，
解得，符合，
直线方程为，即．
16．【正确答案】(1)
(2)4
【详解】（1）设圆的方程为，
代入各点得：，
所求圆的一般方程为：标准方程为.
（2）把代入直线方程得：，
即，令，可得，
所以直线过定点．
又，所以定点在圆内，
当时，AB最小，此时，，
则.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，且平面，
所以，又，即，
以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由为的中点，
得，，
所以，
所以，所以
（2）由四棱锥的体积为，梯形的面积为，
所以
所以，可得，
所以，，，，
设平面的法向量为，
所以
设平面的一个法向量为，
所以，
平面与平面夹角的余弦值为．
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由椭圆定义可知轨迹为椭圆，设曲线的方程，
则，，，，，曲线的方程；
（2）方法一：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
联立，整理得3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0，
，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，，
直线交直线于，则，
所以直线的方程为，，
令，解得，则，
所以直线的方程为，，
令，解得，则，
，
所以线段中点的坐标为1,0.
方法二：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
联立，整理得，
，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，，
直线交直线于，则，
所以直线的方程为，，
令，解得，则，同理可得，
，
所以线段中点的坐标为1,0.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)3种，．
【详解】（1）取的中点，连接，
因为，，
所以四边形是平行四边形，
所以，且，
所以，
所以，所以，
又因为，所以．
因为侧棱底面，平面，所以，
因为，平面，所以平面．
（2）
以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则．
所以，，．
设平面的一个法向量为，则，
取，则，．所以．
设与平面所成角为，
则，解得，
故所求．
（3）由题意可以左侧面重合拼接，或右侧面重合拼接，或侧面重合拼接（这是五棱柱，舍去），或上、下底分别拼成一个平行四边形或一个矩形（与左右侧面重合拼接相同），也可以上下底面重合拼接，共3种方案，
，，，，，
四棱柱的全面积是，
左侧面重合拼接，，
右侧面重合拼接，，
上下底面重合拼接，，
，，，，
所以．