2024-2025学年上海市黄浦区高三上10月月考数学检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市黄浦区高三上10月月考数学检测试题（含答案），共16页。试卷主要包含了 “x>1”是1x<1”的等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={1,2,3,4,5}, 集合A={4,5},则A= ．
2．函数的定义域为 ．
3．椭圆的焦距为 ．
4. 已知负实数a、b满足ab=2, 则a+b的最大值为 .
5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 ．
6.二项式x2−2x6的展开式中常数项为 .
7．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于 ．
8. 设向量a、b满足a=1，2，b=3，4，则a在b方向上的投影向量是 .
9．若曲线y＝e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是 ．
10．设a为实常数，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝9x++7．若f（x）≥a+1
对一切x≥0成立，则a的取值范围为 ．
11.设y=gx，x∈R是以1为周期的函数，fx=2x⋅gx，若函数y=fx，x∈2,3的值域为1,4，
则函数y=fx，x∈0,5的值域为 .
12．已知数列{an}的通项公式是an＝2n﹣1，记bm为{an}在区间[m，2m）（m∈N，m＞0）内项的个数，
则使得不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值为 ．
二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13. “x>1”是1x2a>0则点P的轨迹与直线y=k（k为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）
A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，PD＝DC＝1，直线PB与平面ABCD所成的角为．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求异面直线AM与PC所成的角的大小．
18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知函数 fx=2csx⋅sinx+π3−3sin2x+sinx⋅csx.
求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；(2)若 x∈0，π2，求f(x)的值域.
19．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，
已知所有参赛学生的成绩均位于区间[50，100]，将他们的成绩分成五组，依次为[50，60）、[60，70）、
[70，80）、[80，90）、[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．
求出a的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在[80，100]（即第四、五组内）的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者．现从这12名使者中随机
抽取1人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在[90，100]内的概率．
20．已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为13，其左右焦点为F1、F2，斜率为1的直线l经过右焦点F2，
与椭圆Γ交于不同的两点A、B，△AF1B的周长为12.(1)求椭圆Γ的方程；(2)求△AF1B的面积；(3)过点F2任作
与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M、N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF2恰为∠MPN的平分线？.
21．对于函数y＝f（x）的导函数y'＝f'（x），若在其定义域内存在实数x0和t，使得f（x0+t）＝（t+1）•f'（x0）成立，
则称y＝f（x）是“跃点”函数，并称x0是函数y＝f（x）的“t跃点”．（1）若函数y＝sinx﹣m（x∈R）
是“跃点”函数，求实数m的取值范围；（2）若函数y＝x2﹣ax+1是定义在（﹣1，3）上的“1跃点”函数，
且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数a的取值范围；（3）若函数y＝ex+bx（x∈R）是“1跃点”函数，
且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数b的取值范围．
2024-2025学年上海市黄浦区高三上10月月考数学检测试题
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.已知全集U={1,2,3,4,5}, 集合A={4,5},则A= 1，2，3 ．
2．函数的定义域为 （﹣3，2） ．
【分析】根据对数函数的定义得到关于x的不等式，解不等式即可求出函数的定义域．
【详解】由题意得：＞0，解得：﹣3＜x＜2，故函数的定义域是（﹣3，2），故（﹣3，2）．
【点晴】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是基础题．
3．椭圆的焦距为 ．
【分析】根据椭圆的基本性质计算可得．【详解】因为椭圆方程可化为，
所以a2＝11，b2＝3，则c2＝a2﹣b2＝8，所以，则焦距为．故．
【点晴】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
4. 已知负实数a、b满足ab=2, 则a+b的最大值为 -22 .
5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 2π ．
【分析】利用圆锥的结构特征和侧面积公式直接求解．
【详解】∵圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴该圆锥的侧面积为S＝πrl＝π×1×2＝2π．故2π．
【点晴】本题考查圆锥的结构特征和侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.二项式x2−2x6的展开式中常数项为 .
【详解】二项式x2−2x6的通项公式为 Tr+1=C6rx26−r−2xr=C6rx12−3r−2r，令 12−3r=0，解得 r=4，
则展开式中常数项为 C64−24=240，故答案为: 240.
7．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于 ．
【分析】直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求csC的值，结合C的范围
即可得解．【详解】∵sinA：sinB：sinC＝3：5：7，∴由正弦定理可得：a：b：c＝3：5：7，
∴C为最大角，a＝，b＝，∴由余弦定理可得：csC＝＝＝﹣，
∵C∈（0，π），∴C＝．故．
【点晴】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的解法，考查计算能力，属于基础题．
8. 设向量a、b满足a=1，2，b=3，4，则a在b方向上的投影向量是 1125b或3325，4425 .
9．若曲线y＝e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是 （﹣ln2，2） ．
【分析】先设P（x，y），由求导公式求出函数的导数，由在点P处的切线与直线2x+y+1＝0平行，求出x并代入
解析式求出y．【详解】设P（x，y），由题意得y＝e﹣x，∵y′＝﹣e﹣x在点P处的切线与直线2x+y+1＝0平行，
∴﹣e﹣x＝﹣2，解得x＝﹣ln2，∴y＝e﹣x＝2，故P（﹣ln2，2）．故（﹣ln2，2）．
【点晴】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．
10．设a为实常数，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝9x++7．若f（x）≥a+1
对一切x≥0成立，则a的取值范围为 ．【分析】先利用y＝f（x）是定义在R上的奇函数求出
x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的
最小值，解不等式求出a的范围．【详解】因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f（x）＝0；
当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣9x﹣+7，因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（x）＝9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x＝0时，0≥a+1成立，
所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，
因为9x+﹣7≥2＝6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．
故．
【点晴】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．
11.设y=gx，x∈R是以1为周期的函数，fx=2x⋅gx，若函数y=fx，x∈2，3的值域为1，4，
则函数y=fx，x∈0，5的值域为 .
11．14,16.【分析】设x∈1,2，则x+1∈2,3，推导出fx+1=2fx，可求得函数fx在1,2上的值域，
同理可求得函数fx在0,1、3,4、4,5上的值域，综合可得函数fx在0,5上的值域.
【详解】设x∈1,2，则x+1∈2,3，fx+1=2x+1⋅gx+1=2x+1⋅gx=2⋅2xgx=2fx∈1,4，
所以，fx∈12,2，故函数fx在1,2上的值域为12,2，同理，fx在0,1上的值域为14,1，fx在3,4上的值域
为2,8，fx在4,5上的值域为4,16.因此，函数y=fx，x∈0,5的值域为14,16.故14,16.
12．已知数列{an}的通项公式是an＝2n﹣1，记bm为{an}在区间[m，2m）（m∈N，m＞0）内项的个数，
则使得不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值为 13 ．
【分析】（1）根据m≤2n﹣1＜2m，得，代入即可得解；
（2）根据m≤2n﹣1＜2m，得，对m分奇偶讨论即可得解．
【详解】令m≤2n﹣1＜2m，得，当m为奇数时，，
当m为偶数时，，
当m为奇数时，，
即2m﹣1＞2063，因为211＜2063＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，因为m为奇数，所以m的最小值为13；
当m为偶数时，，
因为211＜2062＜212，所以m﹣1≥12，即m≥13，因为m为偶数，所以m的最小值为14．综上所述，m的最小值
为13．故13．【点晴】本题考查数列与不等式的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13. “x>1”是1x2a>0则点P的轨迹与直线y=k（k为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）
A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立
16．C【分析】对于①，设点Q是直线l:2x−y−1=0上一点，且Qx,2x−1，可得dP,Q=maxx−3，2x−2，
讨论x−3与2x−2的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得
maxx+c,y−maxx−c,y=2a，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】对于①，设点Q是直线l:2x−y−1=0上一点，且Qx,2x−1，可得dP,Q=maxx−3，2x−2，
由x−3≥2x−2，解得−1≤x≤53，即有d(P,Q)=x−3，当x=53时，取得最小值43；由x−353或x2a>0)，则：maxx+c,y−maxx−c,y=2a，显然上述方程所表示的
曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0；当x+c≥yx−c≥y时，有x+c−x−c=2a，得：x=a0≤y≤a−c；当x+c≤yx−c≤y时，有0=2a，此时无解；当x+c>yx−c0的离心率为13，其左右焦点为F1、F2，斜率为1的直线l经过右焦点F2，
与椭圆Γ交于不同的两点A、B，△AF1B的周长为12.(1)求椭圆Γ的方程；(2)求△AF1B的面积；(3)过点F2任作
与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M、N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF2恰为∠MPN的平分线？.
20．(1)x29+y28=1；(2)48217；(3)存在.【分析】（1）由题意可得4a=12，可得a=3，由离心率可求c=1，结合a2=b2+c2可求b2=8，从而可得椭圆Γ的方程；（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，且y1>0,y20,y20，则y1+y2=−1617,y1y2=−6417，
所以y1−y2=y1+y22−4y1y2=16172+4×6417=48217，
因为S△ABF1=S△AF1F2+S△BF1F2，所以S△ABF1=12×F1F2×y1−y2=48217，即△AF1B的面积为48217.
（3）设Mx1,y1,Nx2,y2，设l:y=kx−1k≠0，由x29+y28=1y=kx−1,得9k2+8x2−18k2x+9k2−72=0，
所以x1+x2=18k29k2+8,x1x2=9k2−729k2+8.若点P存在，设Pm,0，由题意得kPM+kPN=0，
所以y1x1−m+y2x2−m=kx1−1x1−m+kx2−1x2−m=0，所以x1−1x2−m+x2−1x1−m=0，
即2x1x2−1+mx1+x2+2m=29k2−729k2+8−1+m18k29k2+8+2m=0，所以16m−144=0，得m=9，
即在x轴上存在一定点P9,0，使PF2恰为∠MPN的角平分线.解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程
后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．对于函数y＝f（x）的导函数y'＝f'（x），若在其定义域内存在实数x0和t，使得f（x0+t）＝（t+1）•f'（x0）成立，
则称y＝f（x）是“跃点”函数，并称x0是函数y＝f（x）的“t跃点”．（1）若函数y＝sinx﹣m（x∈R）
是“跃点”函数，求实数m的取值范围；（2）若函数y＝x2﹣ax+1是定义在（﹣1，3）上的“1跃点”函数，
且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数a的取值范围；（3）若函数y＝ex+bx（x∈R）是“1跃点”函数，
且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数b的取值范围．【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”
函数的定义结合三角函数的性质求得实数m的范围即可；（2）根据“1跃点”函数的定义，列出方程，求出该方程
在（﹣1，3）上有两个不同的解的实数a的范围即可；（3）将问题转化为方程ex+1+b（x+1）＝2（ex+b），即﹣b＝
有一个实数解，再构造函数，借助导数求解作答．【详解】（1）函数数y＝sinx﹣m的导函数为y′＝csx，
因为函数y＝sinx﹣m（x∈R）是“跃点”函数，则方程sin（x0+）﹣m＝（+1）csx0有解，
即﹣m＝csx0有解，而csx0∈[﹣1，1]，因此﹣m∈[﹣，]，解得m∈[﹣，]，
所以实数m的取值范围是[﹣，]；
（2）函数y＝x2﹣ax+1，x∈（﹣1，3）的导函数为y′＝2x﹣a，依题意，方程（x0+1）2﹣a（x0+1）+1＝2（2x0﹣a），
即﹣（a+2）x0+a+2＝0在（﹣1，3）上有两个不等实根，令h（x）＝x2﹣（a+2）x+a+2，x∈（﹣1，3），
因此函数h（x）在（﹣1，3）上有两个不同零点，则，解得﹣＜a＜﹣2或2＜a＜，
所以实数a的取值范围是（﹣，﹣2）∪（2，）；
（3）函数y＝ex+bx（x∈R）的导函数为y′＝ex+b，因为函数y＝ex+bx（x∈R）是“1跃点”函数，
且在定义域内恰存在一个“1跃点”，则方程+b（x0+1）＝2（+b），显然x0≠1，
所以﹣b＝在R上恰有一个实数根，令g（x）＝＝，
求导得g′（x）＝，由g′（x）＞0，得x＞2；
由g′（x）＜0，得x＜2且x≠1，g（2）＝e2（e﹣2），
所以函数y＝g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，g（x）＜0恒成立，
函数y＝g（x）的取值集合是（﹣∞，0），在（1，2]上单调递减，
函数y＝g（x）的取值集合是[e2（e﹣2），+∞），在[2，+∞）上单调递增，函数y＝g（x）的取值集合是[e2（e﹣2），+∞），
作出函数y＝g（x）的图象，如图所示：当﹣b∈（﹣∞，0）∪{e2（e﹣2）}时，直线y＝﹣b与函数y＝g（x）的图象有唯一公共点，即方程﹣b＝恰有一个实数根，从而b∈（0，+∞）∪{e2（2﹣e）}，所以b的取值范围为（0，+∞）∪{e2（2﹣e）}．【点晴】本题属于新概念题，考查了正弦函数的性质、二次函数的性质、指数函数的
性质及导数的综合运用，也考查了数形结合思想，属于难题．