2024-2025学年陕西省渭南市蒲城县高三上册第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省渭南市蒲城县高三上册第一次月考数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知幂函数上单调递增，则， 已知角的终边过点，则， 已知正数，满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语与不等式，函数，导数及其应用，三角函数与解三角形.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知幂函数上单调递增，则（ ）
A. B. 3
C 或D. 3或
6. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
8. 已知函数在区间上单调递减，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知a，b,m都是负数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知的内角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则为直角三角形
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象
B. 若，则当时，的值域为
C. 若在区间上恰有个零点，则
D. 若在区间上单调递增，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
13. 已知函数，若直线与曲线相切，则________________.
14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的面积等于，则的周长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
18. 已知函数是定义域为的偶函数.
（1）求a值；
（2）若，求函数的最小值.
19. 定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，
（i）求证：函数与上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明.
2024-2025学年陕西省渭南市蒲城县高三上学期第一次月考数学检测试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语与不等式，函数，导数及其应用，三角函数与解三角形.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据并集和补集的含义即可得到答案.
【详解】由题意，得，所以.
故选：C.
2. 已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可.
【详解】令扇形的半径为，则，
所以此扇形的面积为.
故选：D
3. 已知函数，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为.
故选：A.
4. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由命题“”是真命题
则满足，即，所以．
故选：A．
5. 已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A. B. 3
C. 或D. 3或
【正确答案】B
【分析】根据幂函数定义，由系数为1求得值，再根据幂函数的单调性判断．
【详解】因为幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递减，不符合题意；当时，在上单调递增，符合题意．综上，．
故选：B．
6. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先根据三角函数的定义求出，再根据两角差的正弦公式即可得解.
【详解】因为角的终边过点，
所以，
所以.
故选：A.
7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【正确答案】B
【分析】由题意可知，进而利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】因为，所以.
，
当且仅当，即时等号成立
于是，即.
故的最小值为.
故选：B.
8. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求的取值范围.
【详解】，
当，解得：，
由条件可知，
所以 ，解得.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知a，b,m都是负数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BD
【分析】根据题意利用作差法逐项判断即可.
【详解】因为a，b都是负数，且，所以.
对于A：，则，故A错误；
对于B：，则，故B正确；
对于C：，则，故C错误；
对于D：b+ma+m−ba=ab+m−ba+maa+m=a−bmaa+m>0，则，故D正确.
故选：BD.
10. 已知的内角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则为直角三角形
【正确答案】ACD
【分析】利用正弦定理化边为角，再结合两角差的正弦公式即可判断A；举出反例即可判断B；根据大角对大边，再结合正弦定理化边为角及二倍角的余弦公式即可判断C；利用余弦定理化角为边即可判断D.
【详解】对于A，因为，
由正弦定理可得，
即，
又，则，
所以，即，
所以为等腰三角形，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若，则，则，
所以，故，即，故C正确；
对于D，，
因为，
所以，即，所以为直角三角形，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象
B. 若，则当时，的值域为
C. 若在区间上恰有个零点，则
D. 若在区间上单调递增，则
【正确答案】AD
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【详解】
，
当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到：
，故A正确；
当时，，当时，，
故，则的值域为，故B错误；
令，，则，，
又，
若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误；
若在区间上单调递增，
则，又，所以，解得，
又，所以，
由可得，
要使在区间上单调递增，则，解得，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
【正确答案】9
【分析】根据分段函数的含义并结合指、对数运算即可.
【详解】因为，所以，
故9.
13. 已知函数，若直线与曲线相切，则________________.
【正确答案】##
【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.
【详解】设切点为，
，
由题意可得，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，所以，
所以切点为，
则，解得.
故答案为.
14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的面积等于，则的周长的最小值为______．
【正确答案】
【分析】首先由正弦定理、辅助角公式得，由三角形面积公式得，结合余弦定理以及基本不等式即可求解.
【详解】由正弦定理结合，可得，
因为，所以，即，
注意到，所以只能，解得，
若的面积等于，
则，解得，
在三角形中，运用余弦定理有，
三角形的周长，等号成立当且仅当，
综上所述，当且仅当三角形是以顶角的等腰三角形时，的周长取到最小值，且最小值为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据二次不等式与交集的定义求解即可；
（2）分与两种情况，结合区间端点的位置关系列不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，，
又，
所以．
【小问2详解】
由题可得：①当时，有，解得；
②当时，有解得．
综上，实数的取值范围为．
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）已知式平方后，结合平方关系确定的符号后，再利用平方关系求得；
（2）（1）小题结论与已知联立方程组解得，由商数关系得，再利用诱导公式、二倍角公式化简变形后求值．
【小问1详解】
因为，所以，
所以，即.
因为，则，所以，
因为，所以.
【小问2详解】
由解得，
所以；
所以.
17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用乘法公式及余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可得到，最后由辅助角公式计算可得；
（2）由正弦定理可得，由余弦定理求出、，最后由面积公式计算可得.
【小问1详解】
因为，
所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，所以，即，
又，所以，所以，则.
【小问2详解】
因为，由正弦定理可得，又，由，
所以，解得或（舍去），
所以，所以.
18. 已知函数是定义域为的偶函数.
（1）求a的值；
（2）若，求函数的最小值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由偶函数的定义转化为等式恒成立问题，由系数为求值即可；
（2）由换元法，把函数转化为二次函数，然后分类讨论确定函数的最小值，从而求得参数值．
【小问1详解】
则，
因为是定义域为R的偶函数，
则，
即对任意x∈R恒成立，则；
【小问2详解】
由（1）知，
则
，
令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
则原函数化为：，，
①当即时，
上单调递增，
则，即，；
②当，即时，
在单调递减，在单调递增，
则；
即，
综上所述，.
19. 定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；
【分析】（1）借助导数，分及讨论即可得；
（2）（i）结合定义，令，构造函数，借助导数研究其单调性，结合零点的存在性定理即可得证；（ⅱ）原问题可转化为证明，构造函数，借助导数求出其在0,2上的最大值即可得.
【小问1详解】
，
当时，f'x>0对任意x∈R恒成立，故函数在R上单调递增；
当时，令f'x0，ℎx单调递增，
当时，ℎ'x