（浙江专用）中考数学二轮培优压轴题练习专题12 阅读理解创新型问题（2份，原卷版+解析版）

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【例1】（2019•绍兴）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是 4 ．
【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．
【解析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，
∴第一列第三个数为：15﹣2﹣5＝8，
∴m＝15﹣8﹣3＝4．
故答案为：4
【例2】（2019•台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 3 个．
【分析】求出第一次编号中砸碎3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，再求第二次编号中砸碎的3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，依次推理便可得到操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”总个数．
【解析】∵210÷3＝70，
∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70＝140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140；
∵140÷3＝46…2，
∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46＝94个金蛋，重新编号为1，2，3，…，94；
∵94÷3＝31…1，
∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31＝63个金蛋，
∵63＜66，
∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．
故答案为：3．
【例3】（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
【分析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠FAB与∠EBA互余，即可求解；
（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；
（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．
【解析】（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），
四边形AFEB为所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴，
∵QB＝3，
∴NC＝5，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．
【例4】（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．
①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；
②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）
如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．
①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（ 假 ）
②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形． （ 假 ）
【分析】（1）①由SSS证明△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB得出∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，即可得出结论；
②由SSS证明△ABE≌△BCA≌△DEC得出∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，由SSS证明△ACE≌△BEC得出∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，由四边形ABCE内角和为360°得出∠ABC+∠ECB＝180°，证出AB∥CE，由平行线的性质得出∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，证出∠BAE＝3∠ABE，同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，即可得出结论；
（2）①证明△AEF≌△CAB≌△ECD，如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，而正六边形的各个内角都为120°，即可得出结论；
②证明△BFE≌△FBC得出∠BFE＝∠FBC，证出∠AFE＝∠ABC，证明△FAE≌△BCA得出AE＝CA，同理：AE＝CE，得出AE＝CA＝CE，由①得：六边形ABCDEF不是正六边形．
【解答】（1）①证明：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、EAB中，，
∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，
∴五边形ABCDE是正五边形；
②解：若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：
在△ABE、△BCA和△DEC中，，
∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），
∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，
在△ACE和△BEC中，，
∴△ACE≌△BEC（SSS），
∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，
∵四边形ABCE内角和为360°，
∴∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，
∴∠BAE＝3∠ABE，
同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（2）解：①若AC＝CE＝EA，如图3所示：
则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，
在△AEF、△CAB和△ECD中，，
∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），
如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，
而正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假；
②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
如图4所示：连接AE、AC、CE、BF，
在△BFE和△FBC中，，
∴△BFE≌△FBC（SSS），
∴∠BFE＝∠FBC，
∵AB＝AF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴∠AFE＝∠ABC，
在△FAE和△BCA中，，
∴△FAE≌△BCA（SAS），
∴AE＝CA，
同理：AE＝CE，
∴AE＝CA＝CE，
由①得：△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，
而正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假．
【例5】（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．
（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．
（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【分析】（1）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
（2）根据题意画出图形即可．
（3）首先证明四边形PQMN是矩形，再证明MN＝PN即可．
（4）证明△BQE∽△BEM，推出∠BEQ＝∠BME，由∠BME+∠EMN＝90°，可得∠BEQ+∠NEM＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
解得PN．
（2）能画出这样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求．
（3）证明：如图2中，
由画图可知∠QMN＝∠PQM＝∠MNP＝∠BM′N′＝90°，
∴四边形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，
∴△BN′M′∽△BNM，
∴，
同理可得：，
∴，
∵M′N′＝P′N′，
∴MN＝PN，
∴四边形PQMN是正方形．
（4）解：如图3中，结论：∠QEM＝90°．
理由：由tan∠NBM，可以假设MN＝3k，BM＝4k，则BN＝5k，BQ＝k，BE＝2k，
∴，，
∴，
∵∠QBE＝∠EBM，
∴△BQE∽△BEM，
∴∠BEQ＝∠BME，
∵NE＝NM，
∴∠NEM＝∠NME，
∵∠BME+∠EMN＝90°，
∴∠BEQ+∠NEM＝90°，
∴∠QEM＝90°．
1．（2020•江干区模拟）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AB＝BD，BC＝4，（点A、D分别在直线BC的上下两侧），点G是Rt△ABD的重心，射线BG交边AD于点E，射线BC交边AD于点F．
（1）求证：∠CAF＝∠CBE；
（2）当点F在边BC上，AC＝1时，求BF的长；
（3）若△BGC是以BG为腰的等腰三角形，试求AC的长．
【分析】（1）由点G是Rt△ABD的重心，可得BE⊥AD，由外角的性质可求解；
（2）过点D作DH⊥BC于H，由“AAS”可证△ABC≌△BDH，可得AC＝BH＝1，HD＝BC＝4，通过证明△AFC∽△DFH，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）（1）∵点G是Rt△ABD的重心，
∴BE是Rt△ABD的中线，
又∵在Rt△ABC中，∠ABD＝90°，AB＝BD，
∴BE⊥AD，即∠AEB＝90°，
∵∠AFB＝∠ACF+∠FAC＝∠FBE+∠BEF，且∠ACF＝∠BEF＝90°，
∴∠CAF＝∠CBE；
（2）过点D作DH⊥BC于H，
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，
∴△ABC≌△BDH（AAS）
∴AC＝BH＝1，HD＝BC＝4，
∴HC＝3，
∵∠ACB＝∠DHC＝90°，∠AFC＝∠DFH，
∴△AFC∽△DFH，
∴
∴CFHF，
∴HF，
∴BF＝BH+HF＝1；
（3）当GC＝GB时，如图，连接DG并延长交BC于H，交AB于N，连接NC，
∵点G是Rt△ABD的重心，
∴AN＝BN，
∵∠ACB＝90°，
∴BN＝NC＝AN，
∴点N在BC的垂直平分线上，
∵BG＝GC，
∴点G在BC的垂直平分线上，
∴DN垂直平分BC，
∴BH＝HC＝2，DH⊥BC，
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，
∴△ABC≌△BDH（AAS）
∴AC＝BH＝2；
若BG＝BC＝4，如图，
∵点G是Rt△ABD的重心，
∴BG＝2GE，
∴GE＝2，
∴BE＝6，
∵∠ABD＝90°，AB＝BD，BE⊥AD
∴BE＝AE＝6，
∴ABAE＝6，
∴AC2，
综上所述：AC＝2或2．
2．（2020•柯桥区模拟）如图，在△ABC中，G为边AB中点，∠AGC＝α．Q为线段BG上一动点（不与点B重合），点P在中线CG上，连接PA，PQ，记BQ＝kGP．
（1）若α＝60°，k＝1，
①当BQBG时，求∠PAG的度数．
②写出线段PA、PQ的数量关系，并说明理由．
（2）当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①先判断出△AGM是等边三角形，进而判断出AG＝BG＝2BQ，再判断出GP＝MP，得出AP平分∠MAG，即可得出结论；
②先判断出△PGN是等边三角形，进而判断出GQ＝AN，进而判断出△ANP≌△QGP，即可得出结论；
（2）先判断出PH＝PG，∠PHA＝∠PGQ＝135°，得出HG＝BQ，再判断出AH＝GQ．进而得出△AHP≌△QGP，即可得出结论．
【解析】（1）①如图1，在GC上取点M，使得GM＝GA，连接AM，
∵∠AGM＝α＝60°，
∴△AGM为等边三角形，
∴AG＝GM，∠MAG＝60°，
∵BQBG，
∴Q为GB的中点，
∵G为AB的中点，
∴AG＝BG＝2BQ，
∵k＝1，
∴BQ＝GP，
∴GM＝AG＝BG＝MG＝2GP，
∴GP＝MP，
∴AP平分∠MAG，
∴∠PAG＝∠PAM＝30°；
②如图2，在AG上取点N，连接PN，使得PN＝PG，
∵∠PGN＝60°，
∴△PGN是等边三角形，
∵BG＝GA，
∴BQ＝PG＝PN＝NG＝GQ，
∴GQ＝AN，
∵∠ANP＝∠QGP，
∴△ANP≌△QGP（SAS），
∴PA＝PQ；
（2）存在，k，使得②中的结论成立；
证明：如图3，过点P作PG的垂线交AG于点H．
∵∠AGC＝45°，
∴∠PHG＝45°，
∴PH＝PG，∠PHA＝∠PGQ＝135°，
∵，，
∴HG＝BQ，
∵AG＝BG，
∴AH＝GQ．
∴△AHP≌△QGP（SAS）
∴PA＝PQ．
3．（2020•宁波模拟）定义：如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为，那么称这个三角形为“神奇三角形”．
（1）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
①当AC＝BC时，求证：△ABC是“神奇三角形”；
②当AC≠BC时，且△ABC是“神奇三角形”，求tanA的值；
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的中线，若∠DCB＝45°，求证：△ABC是“神奇三角形”．
【分析】（1）①作AC边上的中线BM，设CM＝AM＝a，则BC＝AC＝2a，求出BM，则可得出结论；
②分三种不同情况：当AC边上的中线与AC边上的高的比为时，当BC边上的中线与BC边上的高的比为时，当AB边上的中线与AB边上的高的比为时，可求出答案；
（2）作CH⊥AB于点H，AE⊥BC于点E，AE交CD于K，连接BK，得出BK⊥CD，则tan∠CDH2，求出，则结论得证．
【解析】（1）①证明：如图，作AC边上的中线BM，
设CM＝AM＝a，则BC＝AC＝2a，
∵∠ACB＝90°，
∴BMa，
∴，
∴△ABC是“神奇三角形”；
②当AC边上的中线与AC边上的高的比为时，
设BMa，BC＝2a，
∵∠ACB＝90°，
∴CMa，
∴AC＝2a，
∴AC＝BC，不合题意，舍去；
同理，当BC边上的中线与BC边上的高的比为时，也不符合题意，舍去；
当AB边上的中线与AB边上的高的比为时，
当BC＞AC时，如图，作AB边上的中线CM，作AB边上的高线CD，
设CMa，CD＝2a，则DM＝a，
∵∠ACB＝90°，
∴CMAB＝AM，
∴AD＝（1）a，
∴tanA，
当BC＜AC时，如图，作AB边上的中线CM，作AB边上的高线CD，
同理可得，tanA．
综合可得tanA的值为或．
（2）证明：如图，作CH⊥AB于点H，AE⊥BC于点E，AE交CD于K，连接BK，
∵AB＝AC，
∴E是BC的中点，
∵CD是AB边上的中线，
∴点K是△ABC的重心，
∴KC＝2DK，
∵AE是BC的垂直平分线，
∴KC＝KB，
∴∠KBC＝∠KCB＝45°，
∴∠CKB＝90°，
即BK⊥CD，
∴tan∠CDH2，
∴，
∴△ABC是“神奇三角形”．
4．（2020•上城区一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；
（2）证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得到BD＝CP，BP＝CE，结合图形计算，得到答案；
（3）证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出BD的最大值．
【解析】（1）∠BDP＝∠EPC，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠DPE＝∠B，
∵∠DPC是△BDP的外角，
∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，
∴∠EPC＝∠BDP；
（2）∵△PDE为正三角形，
∴PD＝PE，
在△BDP和△CPE中，
，
∴△BDP≌△CPE（AAS），
∴BD＝CP，BP＝CE，
∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；
（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
∴，即，
整理得，BD，
﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，
∴BD的最大值为4．
5．（2020•北京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．
（1）当⊙O的半径为2时，
①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）＝ 1 ，d（B，⊙O）＝ 3 ；
②如果直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；
（2）⊙G的圆心G在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．
【分析】（1）①如图1中，设⊙O交y轴于E，连接OB交⊙于F．根据图形M，N的“近距离”的定义计算即可．
②如图2中，作OH⊥EF于H，交⊙O于G．求出两种特殊位置b的值即可判断．
（2）分三种情形求出经过特殊位置的G的坐标即可判断．
【解析】（1）①如图1中，设⊙O交y轴于E，连接OB交⊙于F．
由题意d（A，⊙O）＝AE＝1，d（B，⊙O）＝BF＝OB﹣OF＝5﹣2＝3．
故答案为1，3．
②如图2中，作OH⊥EF于H，交⊙O于G．
当GH＝1时，OF＝OG+GH＝3，
∵直线EF的解析式为y＝x+b，
∴E（0，b），F（﹣b，0），
∴OE＝OF＝b，
∵OH⊥EF，
∴HE＝HF，
∵EF＝2OH＝6，
∴b＝3，
根据对称性可知当﹣3b≤3时，直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”．
（2）如图3中，
当⊙G在y轴的左侧，OG＝2时，GG（﹣2，0），
当⊙G′在y轴的右侧，作G′H⊥CD于H，当HG′＝2时，
∵直线y＝x﹣5交x轴于C，交y轴于D，
∴C（5，0），D（0，5），
∴OC＝OD＝5，∠OCD＝45°，
∵∠CHG′＝90°，
∴CH＝HG′＝2，
∴CG′＝2，
∴G′（5﹣2，0），
当点G″在直线CD的右侧时，同法可得G″（5+2，0），
观察图象可知满足条件的m的值为：﹣2≤m≤2或5﹣2m≤5+2．
6．（2020•宁波模拟）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线．
（1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．
（2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）．
（3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE．
①求∠B和∠C的关系式．
②求∠BAC的取值范围．
【分析】（1）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；
（2）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；
（3）①设∠B＝α，∠C＝β，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理用α表示出∠BED、∠DEA，用β表示出∠CEA，根据平角的定义列出式子，整理得到答案；
②根据三角形内角和定理得到0°＜α＜60°，根据①中结论计算，得到答案．
【解析】（1）如图①；
（2）如图②；
（3）①设∠B＝α，∠C＝β，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE（180°﹣α）＝90°α，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA∠BDE＝45°α，
∵CA＝CE，
∴∠CEA＝∠CAE（180°﹣β）＝90°β，
∴90°α+45°α+90°β＝180°，
整理得，3α+2β＝180°，即3∠B+2∠C＝180°；
②∠BAC＝∠DAE+∠CAE
＝45°α+90°β
＝135°（α+2β）
＝135°（3α+2β）α
＝90°α，
∵3α+2β＝180°，
∴0°＜α＜60°，
∴90°＜∠BAC＜120°．
7．（2019秋•奉化区期末）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．
（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB＝30°，求证：四边形ABED是对半四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD＝CE＝3，CE＝3EB，F为DE的中点，∠AFB＝120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．
【分析】（1）根据四边形内角和为360°及对半四边形的定义可求出∠A与∠B的度数之和；
（2）连结OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，证∠CAB+∠CBA＝120°，则另两个内角之和为240°，由对半四边形的定义可以进行判定；
（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，先证△CDE为等边三角形，再证△ADF∽△FEB，由相似三角形的性质求出AD的长，进一步求出AC的长．
【解析】（1）由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
则∠A+∠B+2（∠A+∠B）＝360°，
∴∠A+∠B＝120°；
（2）如图2，连结OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠OCA＝∠OAC，∠OCE＝∠OBC，
∴∠ACB＝（180°﹣30°﹣30°）÷2＝60°，
则∠CAB+∠CBA＝120°，
在四边形ABED中，∠CAB+∠CBA＝120°，
则另两个内角之和为240°，
∴四边形ABED为对半四边形；
（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，
∴∠C＝60°，
又∵CD＝CE，
∴△CDE为等边三角形，
∵∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，
∴∠ADF＝∠FEB＝120°，
∵AFB＝120°，
∴∠DFA+∠EFB＝60°，
又∵∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠DAF＝∠EFB，
∴△ADF∽△FEB，
∴，
∵CE＝DE＝3，CE＝3BE，F是DE的中点，
∴BE＝1，DF＝EF，
∴，
∴AD，
∴CA＝CD+AD＝3．
8．（2020春•邗江区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．
如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么|a±b|，如何将双重二次根式化简．我们可以把5±2转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′）给出如下定义：
若y′，则称点Q为点P的“横负纵变点”．
例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
问题：
（1）点（）的“横负纵变点”为 （，） ；点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为 （﹣3，2） ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）是关于x的函数y（）图象上的一点，点M′是点M的“横负纵变点”，求点M′的坐标．
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．
（2）模仿例题解决问题即可．
（3）首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．
【解析】（1）点（）的“横负纵变点”为（），点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为（﹣3，2），
故答案为（，），（﹣3，2）；
（2）∵2+5＝7，2×5＝10，
∴；
（3）∵1+（a﹣1）＝a，1•（a﹣1）＝a﹣1，
∴2，
∴函数y，
∵点M（，m）在y上，
∴m，
∴M（，），
∴点M的“横负纵变点”M′的坐标为（，）．
9．（2020•丽水模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
（1）已知矩形ABCD的长12、宽2，矩形EFGH的长4、宽3，试说明矩形ABCD是矩形EFGH的“减半”矩形．
（2）矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由．
【分析】（1）分别计算出矩形ABCD是矩形EFGH周长和面积即可说明矩形ABCD是矩形EFGH的“减半”矩形．
（2）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
【解析】（1）由题意可知：矩形ABCD的周长＝（12+2）×2＝28，面积＝12×2＝24，矩形EFGH的周长＝（4+3）×14，面积＝3×4＝12，
所以矩形ABCD是矩形EFGH的“减半”矩形；
（2）不存在．理由如下：
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，
则，
由①得：yx③，
把③代入②得：x2x+1＝0，
b2﹣4ac40，
所以不存在．
10．（2019秋•鄞州区期末）定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．
（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；
（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．
【分析】（1）求出函数y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点，可直接根据友好函数的定义进行判断；
（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，将（c，0）代入y＝x2+bx+c，即可求出b与c之间的关系；
（3）分情况讨论：①当C在y轴负半轴上时，画出草图，求出函数与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，所以只需满足∠BCO＜45°，即可判断c的取值范围；②当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，画出草图，显然都满足∠ACB为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题意．
【解析】（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，
∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，
∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；
（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，
∵y＝x2+bx+c是友好函数，
∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，
代入得：0＝c2+bc+c，
∴0＝c（c+b+1），
而c≠0，
∴b+c＝﹣1；
（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，
由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，
显然当x＝1时，y＝0，
即与x轴的一个交点为（1，0），
则∠ACO＝45°，
∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO
∴c＜﹣1；
②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，
∴显然都满足∠ACB为锐角，
∴c＞0，且c≠1；
③当C与原点重合时，不符合题意，
综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．
11．（2020•浙江自主招生）【定义】满足一定条件的点所经过的路线称为这个点的轨迹．
【命题】已知平面上两个定点A，B，则所有满足k（k＞0且k≠1）的点P的轨迹是一个圆．
【证明】如图①，要使需k，一定在直线AB上存在一点O，使△OPB∽△OAP，这时k，且OP2＝OB×OA，设AB＝p，OB＝a，则OP＝ka．
请你完成余下的证明．
【应用】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，c＝2，b＝2a，求三角形ABC面积的最大值．
【拓展】如图②，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，求APDP的最小值．
【分析】【证明】由已知可得]k2a2＝a（a+p），所以点O的位置确定，且OP为ka（常量），即点P的轨迹是圆；
【运用】运用（1）的结论，由于p＝2，k＝2，得到，所以圆的半径为，即当OC⊥AB时．OABC面积最大，最大值为；
【拓展】连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE，连PE，AE．根据OP2＝22＝4，OE•OD4，得到OP2＝OE•OD，所以△POE∽△DOP，因此，得PEPD，所以APPD＝AP+PE≤AE，而AE，即APDP的最小值为．
【解析】【证明】∴k2a2＝a（a+p），
∵p．k是常数，
∴a是常数，
∴点O的位置确定，且OP为ka（常量），
∴点P的轨迹是圆；
【运用】运用（1）的结论，由于p＝2，k＝2，
∴，
∴圆的半径为，
∴当OC⊥AB时．OABC面积最大，最大值为；
【拓展】如图，连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE，连PE，AE．
∵OP2＝22＝4，OE•OD4，
∴OP2＝OE•OD，
∠POE＝∠DOP，
∴△POE∽△DOP，
∴，
∴PEPD，
∴APPD＝AP+PE≤AE，
AE，
即APDP的最小值为．
12．（2019秋•邗江区校级期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．
求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为，求FH的长．
【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；
（2）先判断出∠A+∠ADB＝140°＝∠ADC，即可得出结论；
（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FE•FG，再判断出EQFE，继而求出FG•FE＝8，即可得出结论．
【解析】（1）由图1知，AB，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴或2，
∴CD＝10或CD＝2.5
同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，
如图中，D1，D2，D3，D4即为所求．
（2）证明：如图2中，
∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝40°，
∴∠A+∠ADB＝140°
∵∠ADC＝140°，
∴∠BDC+∠ADB＝140°，
∴∠A＝∠BDC，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似，
∵∠EFH＝∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴，
∴FH2＝FE•FG，
过点E作EQ⊥FG于Q，
∴EQ＝FE•sin60°FE，
∵FG×EQ＝4，
∴FGFE＝4，
∴FG•FE＝16，
∴FH2＝FE•FG＝16，
∴FH＝4．
13．（2020•浙江自主招生）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．
（1）按上述定义，分别作出图1、图2的一条中分线．
（2）如图3，已知抛物线yx2﹣3x+m与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为D．
①求m的值和点D的坐标；
②探究在坐标平面内是否存在点P，使得以A、C、D、P为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；
（2）①将A（2，0）代入抛物线yx2﹣3x+m，得，解得 m＝4，抛物线解析式yx2﹣3x+4，顶点为D（3，）；
②根据抛物线解析式求出A（2，0），B（4，0），C（0，4），当A、C、D、P为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD为对角线时，对角线交点坐标为（），中分线解析式为y；Ⅱ．当AC为对角线时，对角线交点坐标（1，2）．中分线解析式为y＝2x；Ⅲ．当AD为对角线时，对角线交点坐标为（），中分线解析式为yx．
【解析】（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，
直径所在的直线为圆的中分线，
（2）①将A（2，0）代入抛物线yx2﹣3x+m，得
，
解得 m＝4，
∴抛物线解析式yx2﹣3x+4，
∴顶点为D（3，）；
②将y＝0代入抛物线解析式yx2﹣3x+4，得
x2﹣3x+4＝0，
解得x＝2或4，
∴A（2，0），B（4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
当A、C、D、P为顶点的四边形为平行四边形时，
根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，
所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．
Ⅰ．当CD为对角线时，对角线交点坐标为（），即（），
∵中分线经过点O，
∴中分线解析式为y；
Ⅱ．当AC为对角线时，对角线交点坐标为（），即（1，2）．
∵中分线经过点O，
∴中分线解析式为y＝2x；
Ⅲ．当AD为对角线时，对角线交点坐标为（），即（），
∵中分线经过点O，
∴中分线解析式为yx，
综上，中分线的解析式为式为y或为y＝2x或为yx．
14．（2020•无锡模拟）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）识图：如图（1），损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径线段为 AC ．
（2）探究：在上述损矩形ABCD内，是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；若不存在，请说明理由．
（3）实践：已知如图三条线段a、b、c，求作相邻三边长顺次为a、b、c的损矩形ABCD（尺规作图，保留作图痕迹）．
【分析】（1）由损矩形的直径的定义即可得到答案；
（2）由∠ADC＝∠ABC＝90°可判定A，B，C，D四点共圆，易得圆心是线段AC的中点；
（3）首先画线段AB＝a，再以A为圆心，b长为半径画弧，再以B为圆心，c长为半径画弧，过点B作直线与以B为圆心的弧相交与点C，连接AC，以AC的中点为圆心，AC为半径画弧，与以点A为圆心的弧交于点D，连接AD、DC，BC即可得到所求图形．
【解析】（1）由定义知，线段AC是该损矩形的直径，
故答案为：AC；

（2）∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴在损矩形ABCD内存在点O，
使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，
∵∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴O是线段AC的中点；

（3）如图所示，四边形ABCD即为所求．
15．（2020•新北区一模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．
（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；
（2）如图，已知点D是直线y2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．
①求y与x的函数关系式；
②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．
【分析】（1）由3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，故点B是A、C的“美妙点”；
（2）设点D（m，m+2），①M是点D、E的“美妙点”，则x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0m+2）＝m+6，即可求解；
②分∠MEF为直角、∠MFE是直角、∠EMF是直角三种情况，分别求解即可．
【解析】（1）∵3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，
∴点B是A、C的“美妙点”；
（2）设点D（m，m+2），
①∵M是点D、E的“美妙点”．
∴x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0m+2）＝m+6，
故mx﹣3，
∴y＝（x﹣3）+6x+3；
②由①得，点M（9+3m，m+6），
如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，4），
∴9+3m＝3，解得：m＝﹣2；
∴点D（﹣2，）；
当∠MFE是直角时，如图2，
则9+3m＝m，解得：m，
∴点D（，）；
当∠EMF是直角时，不存在，
综上，点D（﹣2，）或（，）．
16．（2020•新昌县模拟）如果一个直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，（a＞d＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形．
（1）判定 按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（ ）
A.1，2，3； B.1，，2； C.1，，3； D.3，4，5．
（2）性质 求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4．
（3）应用 如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC中剪一个矩形，且矩形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC，AC上，已知AB＝50cm，BC＞AC，∠C＝90°，求剪出矩形面积的最大值．
【分析】（1）根据新定义“均匀直角三角形”判断即可；
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）根据勾股定理求得BC＝40，AC＝30，过C作CH⊥AB于H交EF于M，根据相似三角形的性质和二次函数的性质即可得到结论．
【解析】（1）A、∵1+2＝3，
∴1，2，3三条线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、当d＝1，d＝2，
得d＝1，d＝2，
∵12，故B不符合题意；
C、∵1，
∴1，，3三条线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、当4﹣d＝3，4+d＝5，
得d＝1，
∵32+42+52，
∴3，4，5能组成均匀直角三角形，故D符合题意；
故选D．
（2）∵直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，
∴（a﹣d）2+a2＝（a+d）2，
化简得a2﹣4ad＝0，
∴a（a﹣4d）＝0，
∵a＞d＞0，
∴a﹣4d＝0，
∴a＝4d，
∴较小直角边与较大直角边的比是（a﹣d）：a＝3d：4d＝3：4；
（3）∵Rt△ABC是均匀直角三角形，
∴设AC＝a﹣d，BC＝a，AB＝a+d，
∵AB＝50，
∴d＝50﹣a，
∴AC＝2a﹣50，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（2a﹣50）2+a2＝502，
∵a＞0，
∴a＝40，
∴BC＝40，AC＝30，
过C作CH⊥AB于H交EF于M，
∴CH24，
∵四边形DEFG是矩形，
∴设FG＝x，
∴CM＝24﹣x，
∵EF∥AB，
∴△CFE∽△CBA，
∴，
∴，
∴EF，
∴S矩形DEFG＝FG•EF（x﹣12）2+300，
∴剪出矩形面积的最大值是300cm2．
17．（2020•通州区一模）平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段BC，给出如下定义：若△ABC是等腰直角三角形，则称点A为BC的“等直点”；特别的，若△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则称点A为BC的“完美等直点”．
（1）若B（﹣2，0），C（2，0），则在D（0，2），E（4，4），F（﹣2，﹣4），G（0，）中，线段BC的“等直点”是 D和F ；
（2）已知B（0，﹣6），C（8，0）．
①若双曲线y上存在点A，使得点A为BC的“完美等直点”，求k的值；
②在直线y＝x+6上是否存在点P，使得点P为BC的“等直点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若B（0，2），C（2，0），⊙T的半径为3，圆心为T（t，0）．当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）如图1，哪个点与线段BC构建等腰直角三角形，哪个点就是线段BC的“等直点”，观察图形可得；
（2）①分两种情况：点A在第一象限和第四象限，作辅助线，构建三角形全等，设AE＝x，利用勾股定理列方程可得A的坐标，代入双曲线y中，可得k的值；
②如图3，过C作PC⊥BC，交直线y＝x+6于点P，过P作PE⊥x轴于E，证明△PEC∽△COB，得，设CE＝3x，PE＝4x，则PC＝5x，AE＝PE＝4x，根据OE＝4x﹣6＝8﹣3x，可得x的值，得△ABC是等腰直角三角形，可得结论；
（3）分三种情况：①在⊙T内部，恰有三个点A，O，G是线段BC的“等直点”时，②在⊙T内部，恰有三个点F，O，G是线段BC的“等直点”时，③在⊙T内部，恰有三个点F，O，P是线段BC的“等直点”时，根据勾股定理计算OT的长，确定T的坐标，即t的值，可得结论．
【解析】（1）如图1，观察图形可知：△BDC和△FBC是等腰直角三角形，
所以线段BC的“等直点”是D和F，
故答案为：D和F；
（2）①分两种情况：
i）当点A在第四象限时，如图2，
∵点A为BC的“完美等直点”，
∴△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∵B（0，﹣6），C（8，0），
∴OB＝6，OC＝8，
∴BC＝10，
∴AB＝AC＝5，
过A作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠CAE＝∠BAF，
∵AB＝AC，∠AEC＝∠AFB＝90°，
∴△AEC≌△AFB（AAS），
∴AE＝AF，
设AE＝x，则AF＝OE＝x，CE＝8﹣x，
∴AC2＝CE2+AE2，
即，
解得：x＝1（舍）或7，
∴A（7，﹣7），
∴k＝﹣7×7＝﹣49；
ii）当点A1在第一象限时，如图2，同理可得A1（1，1），
∴k＝1×1＝1，
综上，k的值是﹣49或1；
②如图3，过C作PC⊥BC，交直线y＝x+6于点P，过P作PE⊥x轴于E，
∵∠PCB＝∠PCE+∠BCO＝∠BCO+∠OBC＝90°，
∴∠PCE＝∠OBC，
∵∠PEC＝∠BOC＝90°，
∴△PEC∽△COB，
∴，
设CE＝3x，PE＝4x，则PC＝5x，AE＝PE＝4x，
∵OA＝6，
∴OE＝4x﹣6＝8﹣3x，
∴x＝2，
∴PC＝10＝BC，
∵∠PCB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴点P为BC的“等直点”，且P（2，8）；
（3）分三种情况：
①在⊙T内部，恰有三个点A，O，G是线段BC的“等直点”时，
如图4，△ABC，△BCG，△OBC都是等腰直角三角形，
当⊙T经过点G时，连接TG，
∵OG＝OC＝2，TG＝3，
∴OT，
如图5，⊙T经过点F时，△BCF，△BCH，△BCP是等腰直角三角形时，连接TF，
同理得TC，
∴OT2，
∴当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围t≤2；
②在⊙T内部，恰有三个点F，O，G是线段BC的“等直点”时，
如图6，⊙T经过点A时，OT＝AT﹣OA＝3﹣2＝1，
如图7，⊙T经过点P时，连接TP，过P作PE⊥x轴于E，
∴TE，
∴OT＝OE﹣TE＝4，
∴当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围1≤t≤4；
③在⊙T内部，恰有三个点F，O，P是线段BC的“等直点”时，
如图8，⊙T经过点G时，
同理得：OT，
如图9，⊙T经过点O时，此时OT＝3，
∴在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围t＜3；
综上，在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围t≤2或1≤t≤4或t＜3．
18．（2020•江北区模拟）一般地，对于已知一次函数y1＝ax+b，y2＝cx+d（其中a，b，c，d为常数，且ac＜0），定义一个新函数y，称y是y1与y2的算术中项，y是x的算术中项函数．
（1）如：一次函数y1x﹣4，y2x+6，y是x的算术中项函数，即y．
①自变量x的取值范围是 8≤x≤18 ，当x＝ 13 时，y有最大值．
②根据函数研究的途径与方法，请填写下表，并在图1中描点、连线，画出此函数的大致图象．
③请写出一条此函数可能有的性质 8＜x＜13时，y随x的增大而增大和13＜x＜18时，y随x的增大而减小（大不唯一） ．
（2）如图2，已知一次函数y1x+2，y2＝﹣2x+6的图象交于点E，两个函数分别与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，D，y是x的算术中项函数，即y．
①判断：点A、C、E是否在此算术中项函数的图象上？
②在平面直角坐标系中是否存在一点，到此算术中项函数图象上所有点的距离相等？如果存在，请求出这个点；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）①转化为二次不等式求出c的取值范围，利用二次函数的性质求出最大值．
②把x＝12，x＝16代入函数解析式求函数值即可，利用描点法画出函数图象即可．
③观察函数图象，写出函数的性质即可．
（2）①求出A，C，E的坐标，利用待定系数法判断即可．
②存在，首先根据A，E，C确定这个点的坐标，然后利用距离公式计算即可．
【解析】（1）①由题意（x﹣4）（x+6）≥0，
解得8≤x≤18，
∵y，
∵0，
∴x＝13时，y有最大值，最大值为．
故答案为8≤x≤18，13．
②x＝12时，y2，
x＝16时，y1.7
故答案为2，1.7．
函数图象如图所示：
③性质：8＜x＜13时，y随x的增大而增大和13＜x＜18时，y随x的增大而减小（大不唯一）．
（2）①由题意E（，），A（﹣4，0），C（3，0），
对于函数y，
当x时，y，
∴点E在这个函数的图象上，
当x＝﹣4时，y＝0，
∴点A在这个函数的图象上，
当x＝3时，y＝0，
∴点C在这个函数的图象上．
②存在，由图2可知，∵AE⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
到A，C，E距离相等的点是AC的中点T（，0），这个距离是3.5，
∵算术中项函数图象上的点P[x，]，
PT，
∴存在这样的点到此算术中项函数图象上所有点的距离相等．
19．（2020•新余模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．
如图①，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．
[定义应用]
（1）已知△ABC是倍角三角形，∠A＝60°．则这个三角形其余两个内角的度数分别为 40°、80°或30°、90° ．
[性质探究]
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长分别为a，b，c．若∠A＝2∠B，且∠A＝60°，如图②，易得到a2＝b（b+c）．那么在任意的△ABC中，满足∠A＝2∠B，如图③，关系式a2＝b（b+c）是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
[拓展应用]
（3）若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形，求它的腰与底边之比．
【分析】（1）根据倍角三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；
（2）延长BA至D，使AD＝AC＝b，连结CD，证△ADC∽△CDB得，据此可得答案．
（3）分两种情况，由（2）的结论可求出答案．
【解析】（1）∵△ABC是倍角三角形，∠A＝60°．
∴∠B+∠C＝120°，
如果∠A是∠C的2倍，则∠C＝30°，∠B＝90°，
如果∠B是∠C的2倍，即∠B＝2∠C，
∴2∠C+∠C＝120°，
∴∠C＝40°，
∴∠B＝80°，
∴这个三角形其余两个角的度数分别为40°、80°或30°、90°
故答案为：40°、80°或30°、90°．
（2）对于任意的倍角△ABC，∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b+c）仍然成立，
如图2，延长BA至D，使AD＝AC＝b，连结CD，
则∠CAB＝2∠D，
∴∠B＝∠D，BC＝CD＝a，
∴△ADC∽△CDB
∴，
即．
∴a2＝b（b+c）．
（3）∵等腰三角形恰好是一个倍角三角形，
∴分两种情况考虑，
如图2，AB＝AC，∠A＝2∠B，
由（2）的结论可知：a2＝b（b+c），b＝c，
∴a2＝2b2，
∴，
如图3，若AB＝BC，∠A＝2∠B，
由（2）知a2＝b（b+c），a＝c，
∴a2＝b（b+a），
解得：（负值舍去）．
∴．
综合可得，等腰三角形恰好是一个倍角三角形时，它的腰与底边之比为或．
20．（2020•宁波模拟）若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做好玩三角形．
（1）在△ABC中，AB＝1，BC，AC＝3，求证：△ABC是好玩三角形．
（2）一个等腰三角形的腰长为m，底边长为n，当这个等腰三角形为好玩三角形时，求的值．
（3）如图1，△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，点A，B都在直线DE上，连结AC，BC．若∠A+∠B＝45°，求证：线段AD，DE，BE三条线段组成的三角形是好玩三角形．
（4）如图2，在Rt△ABC中，点D，E，F，G都在线段AB上，以DE，EF，FG为边分别向上作正方形，H，K，M，N分别落在Rt△ABC的边上．以DE，EF，FG为三边长恰好能组成好玩三角形，直接写出的值．
【分析】（1）先求出BC2，AB•AC，即可得出结论；
（2）分两种情况利用好玩三角形的定义建立方程求解即可；
（3）先判断出△ADC∽△CEB，得出CD•CE＝AD•BE，再判断出DE2＝2CD2，即可得出结论；
（4）先利用锐角三角函数的定义得出AD①，同理：AE②，BG＝c•tanA③，BF＝b•tanA④，进而判断出a，（b﹣c）tanA＝c进而得出b2﹣bc﹣ab+ac＝ac，再判断出b2＝8ac，联立即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝1，BC，AC＝3，
∴BC2＝（）2＝6，AB•AC＝1×3＝3，
∴BC2＝2AB•AC，
∴△ABC是好玩三角形；
（2）解：∵等腰三角形为好玩三角形，
∴m2＝2mn或n2＝2m•n＝2m2，
∴2或；
（3）证明：∵△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠CDE＝45°，
∴∠A+∠ACD＝45°，
∵∠A+∠B＝45°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴CD＝CE，∠ADC＝∠CEB＝135°，
∴△ADC∽△CEB，
∴，
在Rt△CDE中，CD＝CE，
∴DE2＝2CD2，
∴CD•CE＝AD•BE，
∴CD2＝AD•BE，
∴DE2＝2AD•BE，
∴线段AD，DE，BE三条线段组成的三角形是好玩三角形；
（4）设DE＝a，EF＝b，FG＝c，
∵四边形DEPH是正方形，
∴∠ADH＝∠AEK＝90°，DH＝DE＝a，
在Rt△ADH中，AD①，
同理：AE②，BG＝c•tanA③，BF＝b•tanA④，
②﹣①得，AE﹣ADa⑤，
④﹣③得，BF﹣BG＝（b﹣c）tanA＝c⑥，
⑤×⑥得，（b﹣a）（b﹣c）＝ac，
∴b2﹣bc﹣ab+ac＝ac⑦，
∵以DE，EF，FG为三边长恰好能组成好玩三角形，
∴（b）2＝2ac，
∴b2＝8ac⑧，
将⑧代入⑦得，8ac﹣bc﹣ab+ac＝ac，
∴8ac＝b（a+c）⑨，
由⑧得，b＝2，
将b＝2代入⑨中，得8ac＝2（a+c），
∴a2﹣6ac+c2＝0，
∴a（3±2）c，
∴3±2，
即3±2．
x
8
9
10
12
13
14
16
17
18
y
0
1.2
1.6
2
2.04
2
1.7
1.2
0