（浙江专用）中考数学二轮培优压轴题练习专题08 圆与函数相似三角函数综合问题（2份，原卷版+解析版）

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【考点1】圆与相似有关计算问题
【例1】（2019•宁波）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
【例2】（2019•温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．
（2）当BE＝4，CDAB时，求⊙O的直径长．
【考点2】圆与三角函数有关综合问题
【例3】（2018•温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．
（1）求证：AE＝AB．
（2）若∠CAB＝90°，cs∠ADB，BE＝2，求BC的长．
【例4】（2018•温州）如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．
（1）求证：∠BPD＝∠BAC．
（2）连接EB，ED，当tan∠MAN＝2，AB＝2时，在点P的整个运动过程中．
①若∠BDE＝45°，求PD的长．
②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．
（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN＝1，OC∥BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．
【考点3】利用相似解决圆中有关最值综合问题
【例5】（2018•台州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC＝CE；
（2）求证：BC2﹣AC2＝AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若，求BC的长；
②当为何值时，AB•AC的值最大？
【考点4】利用相似三角函数解决圆中有关面积综合问题
【例6】（2019•宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE．
（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．
（3）设x，tan∠DAE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．
【例7】（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC＝60°，
①求证：ODOA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
【考点5】以圆为载体的阅读型综合问题
【例8】（2019•绍兴）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．
【考点6】圆与函数相似三角函数的几何综合问题
【例9】（2019•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．
（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；
（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．
①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；
②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【例10】（2018•宁波）如图1，直线l：yx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；
（2）如图2，连结CE，当CE＝EF时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．
一．选择题（共3小题）
1．（2018•绍兴一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E．连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E；④S△DEF＝4．
其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
2．（2019•苍南县二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在上，若AC＝2BC，则sinA的值为（ ）
A．B．2C．D．
3．（2019•东阳市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx+12与⊙O交于B、C两点，则弦BC长的最小值（ ）
A．24B．10C．8D．25
二．填空题（共3小题）
4．（2019•鹿城区校级三模）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为 ．
5．（2019•锡山区模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C．当△PAB是以AP为腰的等腰三角形时，线段BC的长为 ．
6．（2019•温州三模）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA延长线于点E，DE＝2BC，则sin∠E＝ ．
三．解答题（共14小题）
7．（2020•拱墅区校级一模）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°．
（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE，求AE的长．
8．（2020•惠山区一模）如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．
（1）求证：EF为⊙P的切线；
（2）求⊙P的半径．
9．（2020•上虞区校级一模）计算：如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC的值．
10．（2020•龙岗区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．
（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若tanF，AG﹣BG，求ED的值．
11．（2020•兴文县模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．
（2）△ABC中，BC＝9，tanB，tanC，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．
（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．
①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．
②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．
12．（2020•萧山区一模）如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且DE＝FE．
（1）求证：AD为⊙O切线；
（2）若AB＝20，tan∠EBA，求BC的长．
13．（2020•金华模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连结DB，DF．
（1）求∠CDE的度数．
（2）求证：DF是⊙O的切线．
（3）若tan∠ABD＝3时，求的值．
14．（2020•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．
（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．
（2）连结PB，求tan∠BPC的值．
（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．
（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．
15．（2019•温州三模）如图，已知平面直角坐标系中，点C（3，4），以OC为边作菱形OABC，且点A落在x轴的正半轴上，点D为y轴上的一个动点，设D（0，m），连结DB，交直线OC于点E．
（1）填空：B的坐标为（ ），sin∠AOC＝ ；
（2）当点D在y轴正半轴时，记△DEO的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2时，求m的值．
（3）过点D，O，A作⊙M，交线段OC于点F．
①当⊙M与菱形OABC一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．
②当OD＝DE时，直接写出OE：EF的值．
16．（2019•鹿城区校级三模）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．
（1）求AD的长；
（2）求证：△BEF∽△BDP；
（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；
（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为 ．
17．（2019•鹿城区三模）△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O的切线DF，交AB的延长线于F．
（1）求证：DF∥BC；
（2）连接OF，若tan∠BAC，BD，DF＝8，求OF的长．
18．（2019•鹿城区校级一模）如图，以⊙O的弦AB为斜边作Rt△ABC，C点在圆内，边BC经过圆心O，过A点作⊙O的切线AD．
（1）求证：∠DAC＝2∠B；
（2）若sinB，AC＝6，求⊙O的半径．
19．（2019•温州三模）在平面直角坐标系中，点O是坐标系的原点，A（0，4）B（3，4），点C（m，0），是x轴正半轴上一动点，以OC为直径的⊙P与线段OB的另一个交点为D，直线BC与⊙P的另一交点为E．
（1）如图1，当点E是的中点时，求m的值；
（2）连接AD，当△AOD是以OD为腰的等腰三角形，求出所有满足条件的点D的坐标；
（3）将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ．
①连接DC，当BQ∥DC时，求m的值；
②当点Q落在线段BC上时，求此时tan∠OBC的值（直接写出答案）．
20．（2020•绍兴一模）如图，已知直线l：yx+8交x轴于点E，点A为x轴上的一个动点（点A不与点E重合），在直线l上取一点B（点B在x轴上方），使BE＝5AE，连结AB，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCD，连结OB，以OB为直径作⊙P．
（1）当点A在点E左侧时，若点B落在y轴上，则AE的长为 ，点D的坐标为 ；
（2）若⊙P与正方形ABCD的边相切于点B，求点B的坐标；
（3）⊙P与直线BE的交点为Q，连结CQ，当CQ平分∠BCD时，BE的长为 ．（直接写出答案）