2025年福建省泉州市中考数学一检预测试卷

这是一份2025年福建省泉州市中考数学一检预测试卷，共27页。
A．﹣42＝16B．（﹣2）2＝﹣22C．（﹣1）3＝﹣13D．23＝6
2．（4分）已知a-bb=25，则ab=（ ）
A．25B．35C．45D．75
3．（4分）2024年某省高考报考人数为337000，数据337000用科学记数法表示为（ ）
A．337×103B．3.37×105C．0.337×106D．3×105
4．（4分）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为13，则放入口袋中的黄球总数n是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（4分）如图是由两个正方体组合而成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．﹣a2•a＝a3B．a8÷a2＝a4
C．（﹣a3）2＝a6D．（5a）2＝10a2
7．（4分）在同一坐标系中，若直线y＝﹣x+b与直线y＝kx﹣4的交点在第一象限，则下列关于k、b的判断正确的是（ ）
A．k＜0，b＜0B．k＜0，b＞0C．k＞0，b＜0D．k＞0，b＞0
8．（4分）如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝2∠COD，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（4分）某班有24人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的3倍，设有x人挑水，y人植树，则下列方程组中正确的是（ ）
A．3x+y=24x=3yB．x+3y=24y=3x
C．x+y=24x=3yD．x+y=24y=3x
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kx(k＜0，x＜0)图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k的值为（ ）
A．3B．6C．﹣3D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）比较大小：-65 -54（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝8，则EF的长为 ．
13．（4分）李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 元．
14．（4分）如图是一种笔记本电脑支架，它有A到F共6个档位调节角度．相邻两个档位间的距离为2cm．将某型号电脑打开置于水平托架上，屏幕侧宽PM与托架侧宽OM都是24cm，D是支点且OD＝2MD．当支架调到B档时，BD⊥OM；调到F档时，托架OM绕点O旋转至OM，支点D旋转至点D′时，D′F＝OF，P′M′⊥OA．若眼睛Q的水平视线恰好经过点P．测点O的俯角为45°，则眼睛与屏幕的距离QP′为 cm．
15．（4分）已知x2﹣5x+1＝0，则2x2+2x2的值为 ．
16．（4分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：（﹣1）2+|-2|+（π﹣3）0-4．
18．（8分）解不等式组-2x≤6，①x+1＞-1，②3(x-1)＜x+1．③
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点．求证：△MAB≌△NCD．
20．（8分）先化简再求值：(x-3xx+1)÷x-2x2+2x+1，其中x满足x2+x﹣8＝0．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＞AB．
（1）在线段BC上作点P，使得点P到AB的距离与点P到AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若PA＝PC，求证：PC•BC＝AC•AB．
22．（10分）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典•庆佳节“系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣歌谣传情意，B﹣创意做灯笼，C﹣花好月圆写中秋，D﹣亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．
（1）任意转动转盘一次，选到“A﹣歌谣传情意”的概率是 ；
（2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．
23．（10分）“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．甲乙两公司出租汽车每日所需费用和租车时间成函数关系如图所示，设租车时间为x小时，租用甲公司的车每日所需费用为y1元，租用乙公司的车每日所需费用为y2元．根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出y1，y2关于x的函数表达式（x≥0）；
（2）求出当租车时间x为多少时，两公司所需费用相同？直接写出当租车时间x范围为多少时，甲公司费用便宜？
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BC，点D在直线BC上方的抛物线上，过点D作BC的垂线交BC于点E，作y轴的平行线交BC于点F．若CE＝3EF，求线段DF的长；
（3）直线y＝﹣x+m（m＜4）与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线PC与直线BQ的交点为S，△OCS的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
25．（14分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．
（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝43，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．
（i）求EN•EG的值；
（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上
2025年福建省泉州市中考数学一检预测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列等式，正确的是（ ）
A．﹣42＝16B．（﹣2）2＝﹣22C．（﹣1）3＝﹣13D．23＝6
【考点】有理数的乘方．
【分析】利用有理数的乘方运算法则计算后判断即可．
【解答】解：﹣42＝﹣16，A选项错误，不符合题意；
（﹣2）2＝22，B选项错误，不符合题意；
（﹣1）3＝﹣13，C选项正确，符合题意；
23＝8，D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则．
2．（4分）已知a-bb=25，则ab=（ ）
A．25B．35C．45D．75
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a-bb=25，
∴ab-1=25，
∴ab=75，
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（4分）2024年某省高考报考人数为337000，数据337000用科学记数法表示为（ ）
A．337×103B．3.37×105C．0.337×106D．3×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：337000＝3.37×105．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（4分）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为13，则放入口袋中的黄球总数n是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】概率公式．
【分析】此题首先计算红球、黑球的比例，再根据红球、黑球总数求得口袋中球的总数，进而求得黄球数目．
【解答】解：根据题意：从口袋中摸出一个恰好是黄球的概率为13；
∴口袋中摸出红球、黑球的概率为1-13=23；
又∵红球、黑球总数为：6+2＝8个，
∴口袋中球的总数为：8÷23=12个．
因此，黄球的个数为：12﹣8＝4个．
故选：B．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（4分）如图是由两个正方体组合而成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，上面是一个小正方形且在右面，下面是一大正方形．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
6．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．﹣a2•a＝a3B．a8÷a2＝a4
C．（﹣a3）2＝a6D．（5a）2＝10a2
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】A、根据同底数幂的乘法运算法则计算判断即可；B、根据同底数幂的除法运算法则计算判断即可；C、根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算判断即可；D、根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算判断即可．
【解答】解：A、﹣a2•a＝﹣a3，原计算错误，不符合题意；
B、a8÷a2＝a6，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣a3）2＝a6，计算正确，符合题意；
D、（5a）2＝25a2，原计算错误，符不合题意，
故选：C．
【点评】此题考查的是同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键．
7．（4分）在同一坐标系中，若直线y＝﹣x+b与直线y＝kx﹣4的交点在第一象限，则下列关于k、b的判断正确的是（ ）
A．k＜0，b＜0B．k＜0，b＞0C．k＞0，b＜0D．k＞0，b＞0
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】利用一次函数平移的性质得出b＞0，再根据交点在第一象限确定k＞0．
【解答】解：此题可通过观察图象求解，如图所示，
（1）y＝﹣x只有向上平移时，图象才会经过第一象限，即b＞0；
（2）y＝kx﹣4（k≠0），
①k＜0时，图象不经过第一象限，不合题意，
②k＞0时，图象经过第一象限，和y＝﹣x+b的交点在第一象限，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数的图象位置与系数的关系，以及点在每一个象限的符号，关键是对一次函数知识的认识和运用．
8．（4分）如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝2∠COD，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，AB=BC，BC=CD，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴AB=BC，BC=CD，
∴AC=2CD，故①正确；
连接AB，
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
∴BC=CD，
∴OC⊥BD，故③正确；
∵AB=BC=CD，
∴∠AOD＝3∠BOC，故④不正确；
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（4分）某班有24人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的3倍，设有x人挑水，y人植树，则下列方程组中正确的是（ ）
A．3x+y=24x=3yB．x+3y=24y=3x
C．x+y=24x=3yD．x+y=24y=3x
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据此题的等量关系：①挑水人数与植树人数之和为24人；②挑水人数是植树人数的3倍列出方程组即可．
【解答】解：设有x人挑水，y人植树，
由题意，可得：x+y=24x=3y，
故选：C．
【点评】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kx(k＜0，x＜0)图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k的值为（ ）
A．3B．6C．﹣3D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，于是得到四边形AEOB的面积＝AB•AE，由于S平行四边形ABCD＝AB•AE＝3，得到四边形AEOB的面积＝3，即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形AEOB的面积＝AB•AE，
∵S平行四边形ABCD＝AB•AE＝3，
∴四边形AEOB的面积＝3，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确四边形AEOB的面积＝S平行四边形ABCD是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）比较大小：-65 ＞ -54（填“＞”“＜”或“＝”）．
【考点】有理数大小比较．
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，先比较它们的绝对值，再比较它们的大小．
【解答】解：∵|-65|=65=2420，|-54|=54=2520，
∴2420＜2520，
∴-65＞-54，
故答案为：＞．
【点评】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较方法是解决问题的关键．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝8，则EF的长为 4 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
∴DE∥CF，
又∵DC∥EF，
∴四边形EDCF为平行四边形，
∴EF＝DC，
又∵DC为直角三角形斜边中线，
∴DC=12AB＝4，
∴EF＝DC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握以上知识是解题关键．
13．（4分）李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 45 元．
【考点】百分数的应用．
【分析】根据题意得应扣税部分为（5000﹣3500）元，再乘以3%即可．
【解答】解：（5000﹣3500）×3%＝45（元），
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了百分比的应用，正确理解题意是解题关键．
14．（4分）如图是一种笔记本电脑支架，它有A到F共6个档位调节角度．相邻两个档位间的距离为2cm．将某型号电脑打开置于水平托架上，屏幕侧宽PM与托架侧宽OM都是24cm，D是支点且OD＝2MD．当支架调到B档时，BD⊥OM；调到F档时，托架OM绕点O旋转至OM，支点D旋转至点D′时，D′F＝OF，P′M′⊥OA．若眼睛Q的水平视线恰好经过点P．测点O的俯角为45°，则眼睛与屏幕的距离QP′为 （40+85） cm．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；旋转的性质．
【分析】延长P′M′交AO于点N，作OH⊥P′Q于点H，可得矩形P′NOH．从档位B到F一共5个档位，之间有4个间隔，所以BF＝8cm；OD＝OD′=23OM＝16cm．设OF＝x cm，则D′F＝BD＝x cm，根据勾股定理可得x的长．作FT⊥OD′于点T，根据勾股定理可得FT的长，进而可得∠FOT的正弦值和余弦值．根据∠FOT的正弦值和余弦值及OM′的长可得ON的长和M′N的长，即可求得P′N的长；那么就求得了OH和P′H的长，易得△OHQ是等腰直角三角形，那么HQ＝OH，即可求得P′Q的长度．
【解答】解：（1）延长P′M′交AO于点N，作OH⊥P′Q于点H，可得矩形P′NOH，
∴∠OHQ＝90°，OH＝P′N，P′H＝ON．
∵OD＝2MD，OM＝24cm，
∴OD=23OM＝16cm．
∵A到F共6个档位调节，相邻两个档位间的距离为2cm．
∴AF＝2×5＝10cm．B到F共5个档位．
∴BF＝2×4＝8cm．
设OF＝x cm，则D′F＝BD＝x cm．
∵BD⊥OM，
∴∠BDO＝90°．
∴BD2+OD2＝OB2．
∴x2+162＝（x+8）2．
解得：x＝12．
作FT⊥OD′于点T，
∴∠OTF＝90°．
∵D′F＝OF，
∴OT＝8．
∴FT=122-82=45（cm）．
∴sin∠FOT=4512=53，
cs∠FOT=812=23．
∵OM′＝OM＝24cm，
∴ON＝OM′•cs∠FOT＝24×23=16（cm），
M′N＝OM′•sin∠FOT＝24×53=85（cm），
∴P′H＝16（cm）．
∵P′M′＝PM＝24cm
∴P′N＝P′M′+M′N＝（24+85）cm．
∴OH＝P′N＝（24+85）cm．
由题意得：∠Q＝45°，
∴∠HOQ＝45°．
∴∠Q＝∠HOQ，
∴HQ＝OH＝（24+85）cm．
∴QP′＝P′H+HQ＝16+（24+85）＝（40+85）cm．
故答案为：（40+85）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所求的线段合理分割，整理成直角三角形中相关的边是解决本题的关键．
15．（4分）已知x2﹣5x+1＝0，则2x2+2x2的值为 46 ．
【考点】分式的值．
【分析】将方程两边同时除以x，得到x+1x的值，再将x+1x平方得到：x2+1x2的值，即可得解．
【解答】解：方程两边同时除以x，得：x-5+1x=0，
∴x+1x=5，
∴(x+1x)2=25，
∴x2+1x2+2=25，
∴x2+1x2=23，
∴2x2+2x2=2(x2+1x2)=46；
故答案为：46．
【点评】本题考查求分式的值．解题的关键是将已知变形，求出x+1x的值．
16．（4分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 0＜n＜2 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向下，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x=--2a2a=1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵y1＜y2，
若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：2n+3＜1n-1＞11-(2n+3)＞n-1-1，
不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：2n+3＞1n-1＜11-(n-1)＜2n+3-1，
解得：0＜n＜2，
∴n的取值范围为：0＜n＜2，
故答案为：0＜n＜2．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：（﹣1）2+|-2|+（π﹣3）0-4．
【考点】实数的运算；零指数幂；绝对值．
【分析】原式先计算乘方运算，再算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（﹣1）2+|-2|+（π﹣3）0-4=1+2+1﹣2=2．
【点评】此题考查了实数的运算，绝对值、零指数幂、熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）解不等式组-2x≤6，①x+1＞-1，②3(x-1)＜x+1．③
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣3，
解不等式②，得：x＞﹣2，
解不等式③，得：x＜2，
∴该不等式组的解集为﹣2＜x＜2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点．求证：△MAB≌△NCD．
【考点】全等三角形的判定；矩形的性质．
【分析】由矩形的性质求得AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，由点M，N分别是AD，BC的中点，推出AM＝CN，利用SAS即可证明△MAB≌△NCD．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，
∵点M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝CN，
在MAB和NCD中，
AB=CD∠A=∠CAM=CN，
∴△MAB≌△NCD（SAS）．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是证明△MAB≌△NCD．
20．（8分）先化简再求值：(x-3xx+1)÷x-2x2+2x+1，其中x满足x2+x﹣8＝0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】括号内先通分后计算，再将除法转化为乘法计算，最后根据x2+x﹣8＝0得x2+x＝8，整体代入求值即可．
【解答】解：原式=[x(x+1)x+1-3xx+1]⋅(x+1)2x-2
=x2+x-3xx+1⋅(x+1)2x-2
=x(x-2)x+1⋅(x+1)2x-2
＝x（x+1）
＝x2+x，
∵x2+x﹣8＝0，
∴x2+x＝8，
∴原式＝8．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并对分式准确化简．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＞AB．
（1）在线段BC上作点P，使得点P到AB的距离与点P到AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若PA＝PC，求证：PC•BC＝AC•AB．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）因为点P在BC上，且点P到AB、AC的距离相等，所以点P为∠BAC的平分线与BC的交点，作出∠BAC的平分线与BC的交点P即可；
（2）由AP平分∠BAC，PA＝PC，得∠BAP＝∠C＝∠CAP，而∠B＝∠B，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△PBA∽△ABC，得PAAC=ABBC，即可证明PC•BC＝AC•AB．
【解答】（1）解：作法：作∠BAC的平分线交BC于点P，
点P就是所求的图形．
证明：∵点P在BC上，且点P在∠BAC的平分线上，
∴点P到AB、AC的距离相等，
∴点P就是所求的图形．
（2）证明：∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PA＝PC，
∴∠C＝∠CAP，
∴∠BAP＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△PBA∽△ABC，
∴PAAC=ABBC，
∴PA•BC＝AC•AB，
∴PC•BC＝AC•AB．
【点评】此题重点考查尺规作图、作已知角的平分线、角平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出∠BAC的平分线是解题的关键．
22．（10分）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典•庆佳节“系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣歌谣传情意，B﹣创意做灯笼，C﹣花好月圆写中秋，D﹣亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．
（1）任意转动转盘一次，选到“A﹣歌谣传情意”的概率是 14 ；
（2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．
【考点】概率公式；列表法与树状图法．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能结果，其中甲和乙选到不同深程的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，
∴任意转动转盘一次，选到“A﹣歌谣传情意”的概率是14；
故答案为：14；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种，
∴甲和乙选到不同活动项目的概率为1216=34．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．甲乙两公司出租汽车每日所需费用和租车时间成函数关系如图所示，设租车时间为x小时，租用甲公司的车每日所需费用为y1元，租用乙公司的车每日所需费用为y2元．根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出y1，y2关于x的函数表达式（x≥0）；
（2）求出当租车时间x为多少时，两公司所需费用相同？直接写出当租车时间x范围为多少时，甲公司费用便宜？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）用待定系数法可得y1＝10x+100；由图象可知乙公司租车每小时30元，即可得y2＝30x（x≥0）；
（2）结合（1）列出方程可得两公司所需费用相同时x的值，再结合图象可得甲公司费用便宜时x的范围．
【解答】解：（1）设y1＝kx+b，
把（0，100），（10，200）代入得：
b=10010k+b=200，
解得k=10b=100，
∴y1＝10x+100；
由图象可知，y2=30010x＝30x；
∴y1＝10x+100（x≥0），y2＝30x（x≥0）；
（2）由10x+100＝30x得x＝5，
∴当租车时间x为5时，两公司所需费用相同；
由图象可知，租车时间x范围为x＞5时，甲公司费用便宜．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BC，点D在直线BC上方的抛物线上，过点D作BC的垂线交BC于点E，作y轴的平行线交BC于点F．若CE＝3EF，求线段DF的长；
（3）直线y＝﹣x+m（m＜4）与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线PC与直线BQ的交点为S，△OCS的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出CE=2xE=24x2，EF=2（xF﹣xE）=2（x-14x2），即可求解；
（3）由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式中的k值为：-12（m+n）+1＝﹣1，则m+n＝4，再求出直线PC的表达式为：y＝（-12m+1）x+4，BQ的表达式为：y=-12（n+2）（x﹣4），求出xS=2n-12m+12n+2，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：x=1=-b2a4a-2b+4=0，
解得：a=-12b=1，
则抛物线的表达式为：y=-12x2+x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点B（4，0）、C（0，4），
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
设点D（x，-12x2+x+4），则点F（x，﹣x+4），
则DF＝（-12x2+x+4）﹣（﹣x+4）=-12x2+2x，
由题意知，△DEF为等腰直角三角形，
则xD﹣xE=12DF=-14x2+x，
则xE=14x2，
由直线CE的表达式知，其和x轴的夹角为45°，
则CE=2xE=24x2，
同理可得：EF=2（xF﹣xE）=2（x-14x2），
∵CE＝3EF，
则24x2＝3×2（x-14x2），
解得：x＝0（舍去）或3，
当x＝3时，则DF=-12x2+2x=32；
（3）△OCS的面积是定值，理由：
设点P、Q的坐标分别为：（m，-12m2+m+4）、（n，-12n2+n+4），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式中的k值为：-12（m+n）+1＝﹣1，
则m+n＝4，
由点P、C的坐标得，直线PC的表达式为：y＝（-12m+1）x+4，
同理可得，BQ的表达式为：y=-12（n+2）（x﹣4），
联立上述两式得：（-12m+1）x+4=-12（n+2）（x﹣4），
解得：xS=2n-12m+12n+2，
∵m+n＝4，
则xS=2n12n-2+12n+2=2，
则△OCS的面积=12×CO×12×xS=12×4×2＝4为定值．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、面积的计算、定值问题，运算能力是解题的关键．
25．（14分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．
（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝43，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．
（i）求EN•EG的值；
（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）先证四边形AEDF是平行四边形，再证AE＝DE，即可得出四边形AEDF是菱形；
（2）（i）连接EF交AD于点Q，证△AEG≌△EFH（SAS），得出∠AEG＝∠EFH，证∠ENH＝∠EAG，证明△AEG∽△NEH，得出EHEG=ENAE，即可得出结论；
（ii）连接FM'，证△EDM≌△FDM'，得出∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，得出∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，证出∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝180°，即可得出结论．
【解答】（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：
∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，
∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵AD＝43，
∴AQ＝23，
在Rt△AQE中，cs∠EAQ=AQAE，即cs30°=23AE，
∴AE=23cs30°=2332=4，
∴AE＝AF＝EF＝4，
在△AEG和△EFH中，AE=EF∠EAG=∠FEH=60°AG=EH，
∴△AEG≌△EFH（SAS），
∴∠AEG＝∠EFH，
∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，
∴∠ENH＝∠EAG，
∵∠AEG＝∠NEH，
∴△AEG∽△NEH，
∴EHEG=ENAE，
∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；
（ii）证明：如图3，连接FM'，
∵DE∥AC，
∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，
由（1）得：△EDF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，
由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，
∴∠EDM＝∠FDM'，
在△EDM和△FDM'中，DM=DM'∠EDM=∠FDM'DE=DF，
∴△EDM≌△FDM'（SAS），
∴∠MED＝∠DFM'，
由（i）知，∠AEG＝∠EFH，
∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，
∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，
∴H，F，M′三点在同一条直线上．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、解直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
B
B
C
D
B
C
C