2024-2025学年广东省深圳市高二上册第一次月考数学质量监测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高二上册第一次月考数学质量监测试题（含解析），共22页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上。
2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.）
1．已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
2．向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ）
A． B．
C．D．
4．已知正方体的棱长为1，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ）
A．B．3 C．2 D．5
6．函数，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．3
8．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点与点关于z轴对称
B．点与点关于y轴对称
C．点与点关于平面对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ）

A．圆台的侧面积为B．直线与下底面所成的角的大小为
C．圆台的体积为D．异面直线和所成的角的大小为
11．已知，则（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，，则的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为 ．
13．在中，内角的对边分别为，若，则 .
14．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．(13分)（1）求经过点和点的直线的方程；
（2）求经过点且倾斜角为的直线方程.
16．(15分)已知直线的方程为．
（Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程；
（Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．
17．(15分)如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求PC与平面PBE所成角的正弦值．
18．(17分)如图，直棱柱的高为4，底面为平行四边形，，，分别为线段、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
19．(17分)如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，G为的中点，E为的中点，，点P为线段上的动点（不包括线段的端点）．
（1）若平面CFG，请确定点P的位置；
（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．
2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量
监测试题
一、单选题
1．已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
2．向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知正方体的棱长为1，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ）
A．B．3C．2D．5
6．函数，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．3
8．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点与点关于z轴对称
B．点与点关于y轴对称
C．点与点关于平面对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ）

A．圆台的侧面积为B．直线与下底面所成的角的大小为
C．圆台的体积为D．异面直线和所成的角的大小为
11．已知，则（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，，则的最大值为
三、填空题
12．过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为 ．
13．在中，内角的对边分别为，若，则 .
14．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 .
四、解答题
15．（1）求经过点和点的直线的方程；
（2）求经过点且倾斜角为的直线方程.
16．已知直线的方程为．
（Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程；
（Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求PC与平面PBE所成角的正弦值．
18．如图，直棱柱的高为4，底面为平行四边形，，，分别为线段、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
19．如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，G为的中点，E为的中点，，点P为线段上的动点（不包括线段的端点）．
（1）若平面CFG，请确定点P的位置；
（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．
答案：
1．B
【分析】根据共面向量的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】对A：设，即，因为不共面，
故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底；
对B：因为存在实数，使得，故共面，不可作为基底；
对C：设，即，因为不共面,
故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底；
对D：设，即，因为不共面，
故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底.
故选：B.
2．C
【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.
【详解】因为，所以，由题意可得，
所以，则．
故选：C.
3．A
【分析】利用空间向量的线性运算，用基底表示向量.
【详解】连接AE，如图所示，
∵E是CD的中点，，，∴＝＝．
在△ABE中，，又，
∴.
故选：A.
4．D
【分析】利用向量的线性运算及向量的坐标表示即可求解.
【详解】记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为，，，则，，，
因为
，
所以点P的坐标为．
故选：D.
5．B
【分析】根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可.
【详解】因为平面，平面，
所以，
又因为四边形是矩形，所以，
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，则，
所以，，所以．
故选：B
6．D
【分析】由的图像，即可得出时的最小值．
【详解】由的图像可知，时，，
所以，
故选：D．
7．C
【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可.
【详解】因为，，则，
点在平面内，点平面外，
平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故选：C.
8．C
【分析】求出直线的斜率的取值范围，结合倾斜角的取值范围可得结果.
【详解】直线的方程可化为，所以，，
因为，因此，直线的倾斜角的取值范围是.
故选：C.
9．BD
【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可.
【详解】点与点关于x轴对称，故错误；
点与关于y轴对称，故正确；
点与不关于平面对称，故错误；
空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故正确．
故选.
10．ABD
【分析】由圆台的侧面积公式以及体积公式即可判断AC，由线面角的定义即可判断B，由异面直线所成角的定义即可判断D.
【详解】由题意可得上底面半径为，下底面圆半径为，母线，
则圆台的侧面积为，故A正确；
做圆台的轴截面如图所示，做，

则直线与下底面所成的角为，且，
则，且，
则，所以，故B正确；
因为上底面圆的面积，圆台的高，
则圆台的体积为，故C错误；

取中点，连接，由为弧的中点，可得，
过点，作，连接，
则，且，且，
则四边形为平行四边形，所以，
则异面直线和所成的角即为与所成角，即为，
又，，
所以，
在中，，，
则为等腰直角三角形，则，故D正确；
故选：ABD.
11．BD
【分析】根据方程无解，可判定A错误；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C错误；化简，结合基本不等式，可判定D正确.
【详解】对于A中，若，可得
因为，可得，解得，
又因为时，，所以方程无解，所以A错误；
对于B中，因为，可得，所以，
又因为，所以，
则，所以B正确；
对于C中，由，
则，所以C错误；
对于D中，因为，可得，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以D正确.
故选：BD.
12．
【分析】由题意得，可求出的取值.
【详解】由题意知，
所以，即，
化简得，解得或
当时，重合，不符合题意舍去，
当时，，符合题意，
所以，
故
13．/60°
【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解.
【详解】对于，
由正弦定理得，
即，
由余弦定理得，
又，所以.
故答案为.
14．
【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．
【详解】解：点，，过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
的斜率为，的斜率为，
直线的斜率或，即，
故．
15．（1）；（2）.
【分析】（1）（2）求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】解：（1）直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即；
（2）由题意可知，所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即.
16．（1）（2）直线的方程为：或
【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点 代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程.
试题解析：（1）设直线的方程为：
直线过点（1，-3），
解得
直线的方程为：．
(2)设直线的方程为：
令x=0，得；令，得
则，得
直线的方程为：或．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面得到，根据等腰三角形的性质得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，最后利用线面垂直的性质即可得到；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角即可.
【详解】（1）证明：∵平面，平面PAD，∴，
又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴，
又∵平面，平面，，
∴平面
∵平面ABCD，∴；
（2）
解：如图，以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面ABCD内，
通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，则，，
设平面PBE的法向量为，
，取，则，
故为平面PBE的一个法向量，
设PC与平面PBE所成的角为，则，
∴与平面PBE所成角的正弦值为．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，，利用线面垂直的判定定理求解即可；
（2）利用空间直角坐标系求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，，，
因为为平行四边形，，，
所以三角形为正三角形，所以，
所以为菱形，
所以三角形为正三角形，所以,
因为四棱柱为直棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
又，，所以平面．
又，，
所以为平行四边形，所以，
平面．
（2）因为，，所以，
所以，，两两垂直，
所以以为原点，分别以，，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由方程组解得，
设平面的法向量为，，，
由方程组解得，
所以，，，
，
因为二面角为钝角，
故所求二面角的余弦值为．
19．（1）为的中点；（2）．
【分析】（1）连接，先证平面，若平面，平面与平交，必有，再由，可知为的中点；
（2）以C为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求解即可.
【详解】如图，连接，
∵，，∴，
∴，
∵，∴，
∴．∴，
∵平面，平面，∴平面，
若平面，又由，平面，
平面与平交，必有，
又∵，∴为的中点；
（2）因为，，两两垂直，
我们可以以C为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，可得各点坐标如下：
，，，，，．
设（），有，
又由，有，
设平面的法向量为，
由，，有，
取，，，可得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
由，
，，
有，
设，有，
，
由二次函数的性质可知，当时，，
时，的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
B
D
C
C
BD
ABD
题号
11









答案
BD