2024-2025学年广东省惠州市高二上册10月月考数学阶段性检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省惠州市高二上册10月月考数学阶段性检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】
本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.
【详解】解：因为点关于平面对称的点的坐标是，
所以点关于平面对称的点的坐标是，
故选：B.
本题考查求点关于坐标平面对称的点的坐标，是基础题.
2. 已知空间向量，，若，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据数量积求得，再根据向量的夹角公式求得答案.
【详解】由得，，解得，
则，，
所以，
故选：A．
3. 经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】求出圆的圆心坐标，根据所求直线与垂直，求其斜率，根据点斜式写出直线方程.
【详解】圆圆心的坐标为，
设所求直线斜率为，
因为所求直线与直线垂直，
所以，故，
所以直线方程为，即
故选：D.
4. 若直线的斜率大于，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】化一般式为斜截式得到直线的斜率，进而列出不等式求解即可.
【详解】直线，即，
则直线的斜率为，
即，解得.
所以的取值范围为.
故选：A.
5. ，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：直线的斜率，直线的斜率，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．
故选：．
本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题．
6. 已知直线的斜率是方程的两个根，则（ ）
A. B.
C. 与相交但不垂直D. 与的位置关系不确定
【正确答案】C
【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论.
【详解】设直线的斜率为，则，
，不垂直，A错误；
若，则，与矛盾，，不平行，B错误；
不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误.
故选：C.
7. 二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得 ，由此能求出的长．
【详解】因为二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，
所以，，
又
所以
.
所以的长为.
故选：D.
本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
8. 已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（ ）
B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】设正方体的棱长为1，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可设，从而得到，，再根据向量的夹角公式即可求出，求函数值域即可．
【详解】设正方体的棱长为1，如图所示，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有．
设，则，，
所以．
又因，所以．
故选：A．
本题主要考查利用向量解决直线与直线所成角问题，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题中正确提（ ）
A. 空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B. 若为空间向量的一组基底，则，，全不是零向量
C. 纵坐标为0的向量都共面
D. 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
【正确答案】BC
【分析】根据空间向量的基底的定义：任何三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基底，逐次分析A、B、D三个选项，可得出结论，纵坐标为0的向量都在平面中，可以判断C．
【详解】空间的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示，
A中忽略了基底必须为三个“不共面的向量”这个限制条件，故A错误；
若为空间向量的一组基底，则三者中任意两个都不共线，
故任何一个都不能为零向量，选项B正确；
纵坐标为0的向量都在平面中，所以都共面，故选项C正确；
任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，三个向量不共线时可能共面，
故D错误．
故选：BC．
10. 下列说法错误是（ ）
A. 平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示
B. 直线与y轴的交点到原点的距离为
C. 在x轴、y轴上截距分别为a，b的直线方程为
D. 两条直线中，斜率越大则倾斜角越大
【正确答案】ACD
【分析】对于A选项，利用垂直于x轴的直线；对于B选项，根据直线与y轴的交点坐标为判断；对于C选项，利用直线过坐标原点时不满足判断；对于D选项，举例两条直线的倾斜角分别为判断.
【详解】解：对于A选项，垂直于x轴的直线不能用斜截式表示，故错误；
对于B选项，由于直线与y轴的交点坐标为，故原点的距离为，故正确；
对于C选项，当直线过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距均为0，不能用方程表示，故错误.
对于D选项，若两条直线的倾斜角分别为， 则斜率分别为，显然不满足，故错误.
故选：ACD
11. 已知圆心为的圆与点，则（ ）
A. 圆的半径为2
B. 点在圆外
C. 点与圆上任一点距离的最大值为
D. 点与圆上任一点距离的最小值为
【正确答案】BCD
【分析】把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答.
【详解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；
因点，则，点在圆外，B正确；
因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；
在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 点到直线的距离为______．
【正确答案】
【分析】利用点到直线的距离公式计算得解.
【详解】点到直线的距离为.
故
13. 已知平面的法向量，直线l的方向向量，若，则________．
【正确答案】12##0.5
【分析】由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解.
【详解】∵．则，即，解得．
答案：
14. 若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解.
【详解】圆：化为标准方程，得，
因为，
所以点在圆的内部，且，
所以的取值范围为.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）求直线与的交点的坐标；
（2）求两条直线与间的距离.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）联立直线方程求解即可得交点；
（2）将方程化为，由平行直线间的距离公式求解.
【详解】（1）联立，得，
故直线与的交点的坐标为．
（2）方程可化为，
所以两条直线与间的距离.
16. 已知空间中三点，，.设，.
（1）求；
（2）若与互相垂直，求实数的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可；
（2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可.
【小问1详解】
，，，，，
，，
于是，
.
【小问2详解】
，
，
又与互相垂直，，
即，
，解得.
17. 圆C过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.
（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.
【详解】（1）直线的斜率，
所以的垂直平分线m的斜率为1.
的中点的横坐标和纵坐标分别为，.
因此，直线m的方程为.即.
又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组
，
解得
所以圆心坐标，又半径，
则所求圆的方程是.
（2）设线段的中点，
M为线段的中点，则，
解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为.
本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.
18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，.
（1）求点到直线的距离
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）根据给定条件，求出等腰三角形腰上的高即可求出点到直线的距离.
（2）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；
（3）利用向量法可求出点P到平面的距离．
【小问1详解】
三棱锥中，平面，平面，则，
又，，，则，
，，
于是等腰腰上的高，
由，分别是棱，的中点，得，是的中位线，
所以点到直线的距离为.
【小问2详解】
依题意：以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
又，，分别是棱，，的中点，，
得，
则，设平面的法向量为n=x,y,z，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
由（2）知，，
点P到平面的距离，
所以点P到平面的距离为.
19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，Q为的中点，M是棱上的点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点M，使二面角大小为？若存在，请指出点M的位置，若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，点M位于靠近点C的四等分处
【分析】（1）由面面垂直证平面，再证平面平面；
（2）以Q为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由向量法求线线角；
（3）设，，由向量法利用二面角建立方程求解.
【小问1详解】
证明：因为，，Q为的中点，所以四边形为平行四边形，所以．
所以，即．
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．
平面，所以平面平面．
【小问2详解】
由（1）知平面，且平面，平面，
则，．
又，Q为的中点，所以．
以Q为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
，，
由，
，
设异面直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦．
【小问3详解】
假设存在点M，
设且，得，所以，
又，设平面法向量为，
所以，令，则，，则．
由（2）知平面的法向量为，
因为二面角为，所以，解得，
故线段上存在点M使二面角大小为，且点M位于靠近点C的四等分处