人教版（2024）七年级下册（2024）7.3 定义、命题、定理精品精练

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知识点01 定义与命题
定义：
对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义。
命题的定义：
判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题。
命题的组成：
命题由 与 两部分组成。 是已知事项， 是由已知事项推出的事项。
命题的改写：
命题通常可以改写成 的形式。如果后面跟题设部分 ，那么后面跟结论部分。
有些题设或结论不明显的命题在改写时，需要调整顺序或者增减词语。
命题的分类：
根据命题判定的真假可以把明天分为 和 。
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
假命题：命题中题设成立时，结论不一定成立的命题。
【即学即练1】
1．下列句子中，哪些是命题？
（1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果a＝﹣b，那么a2＝b2；（4）奇数不能被2整除．
【即学即练2】
2．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①同一平面内，两条直线一定互相平行；
②有一条公共边的角叫邻补角；
③内错角相等．
④对顶角相等；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【即学即练3】
3．下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）两直线平行，同位角相等．
（2）若∠A＝∠B，∠B＝∠C，则∠A＝∠C．
（3）不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变．
【即学即练4】
4．把下列命题改成“如果…那么…”的形式．
（1）不相交的两条直线是平行线
（2）相等的两个角是对顶角
（3）经过一点有且只有一条垂线
（4）直角都相等．
知识点02 定理与证明
定理的定义：
经过推理证实得到的真命题叫做定理。
证明：
一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个过程叫做证明。
【即学即练1】
5．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
如图，已知 ，
求证：
证明：
题型01 判断命题以及判断真假命题
【典例1】下列语句中，不是命题的是（ ）
A．如果a＞b，那么b＜aB．同位角相等
C．垂线段最短D．反向延长射线OA
【变式1】下列句子中是命题的是（ ）
A．美丽的天空B．对顶角相等
C．你的作业做完了吗？D．作线段AB＝CD
【典例2】下列命题中，是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
【变式1】下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b
C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
D．两直线平行，内错角相等
【典例3】下列命题中，是假命题的是（ ）
A．三个角都是60°的三角形是等边三角形
B．两个锐角的和是钝角
C．若|a|＝3，则a＝±3
D．在同一平面内，若直线a⊥l，b⊥l，则a∥b
【变式1】下列命题中，是假命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．垂线段最短
C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
D．两点确定一条直线
题型02 对命题进行改写
【典例1】把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式 ，它是 命题（填“真”或“假”）．
【变式1】将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ．
【变式2】把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ．
【变式3】将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出它们的题设和结论，判断其真假．
（1）有理数一定是自然数；
（2）负数之和仍为负数．
题型03 对定理进行证明
【典例1】如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【变式1】如图所示，现有下列4个事项：
（1）∠1＝∠2，（2）∠3＝∠B，（3）FG⊥AB于G，（4）CD⊥AB于D．
以上述4个事项中的（1）、（2）、（3）三个作为一个命题的已知条件，（4）作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．
【变式2】如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．
（1）请按照：“∵____，____，∴____”的形式，写出所有正确的命题；
（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．
【变式3】已知如图，BC与DE相交于点O，给出下面三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；
③BC∥EF．请以其中的两个论断为条件，填入“题设”栏中；剩下的论断为结论，
填入“结论”栏中，使之成为一个真命题，并加以证明．
题设：已知：如图，BC与DE相交于点O， ， （填序号）．
结论： （填序号）．
证明：
1．下列语句，不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短
B．在同一个平面内两直线不平行就相交
C．连接A，B两点
D．对顶角相等
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．直角都相等
C．同位角相等
D．全等三角形的对应角相等
3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么这两个角相等
B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等
C．对顶角相等
D．两直线平行，同位角相等
4．以下正确的命题共有（ ）
①过一点可画无数条直线；②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条直线；③射线OA与射线AO为同一射线；④三条直线两两相交，必有3个交点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．要说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2B．a＝2，b＝1C．a＝4，b＝﹣1D．a＝﹣3，b＝﹣2
6．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c
D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c
7．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝92°，∠2＝40°B．∠1＝89°，∠2＝2°
C．∠1＝110°，∠2＝30°D．∠1＝103°，∠2＝3°
8．要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（ ）
A．1+3＝4B．﹣1+3＝2
C．0+3＝3D．﹣1+（﹣3）＝﹣4
9．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．k＝1B．k＝2C．k＝4D．k＝8
10．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．若AB∥EF，则∠4＝∠BB．若DE∥BC，则∠2＝∠4
C．若∠1＝∠B，则∠3＝∠CD．若∠1＝∠2，则∠2＝∠4
11．命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”是 命题（填“真”或“假”）．
12．命题“同位角相等”的条件是 ，结论是 ．
13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 ，那么 ．
14．用一组a，b的值说明命题：“若a2＝b2，则a＝b”是错误的，这组值可以是a＝ ，b＝ ．
15．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：
①2222是“回文数”；
②所有两位数中，有9个“回文数”；
③所有三位数中，有81个“回文数”；
④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有 ．（填序号）
16．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式： ；
（2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程．
17．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AB∥DE；③BE＝CF；④∠A＝∠D．
（1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知： ；求证： ．
②已知： ；求证： ．
（2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
18．已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点．
（1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件： ，结论： .（填序号）
证明：
（2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数．
19．如图，直线AB、CD被EF所截，∠1+∠2＝180°，EM、FN分别平分∠BEF和∠CFE，
（1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相
（3）由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线又具有怎样的位置关系？并证明你的结论；（要求作图证明结论）
20．探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；（+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8；（﹣3）※（+4）＝﹣1；（+5）※（﹣8）＝﹣3．
（1）按照上述算式的规则计算：
①（+4）※（+3）＝ ；
②（﹣2）※（﹣4）＝ ；
③（﹣4）※（+5）＝ ；
④（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]＝ .（括号的作用与有理数运算中的作用一致）
（2）我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时， ，异号两数进行※（宏）运算时 ．
（3）我们知道加法有交换律和结合律，请你分别举例、计算，通过例子判断在※（宏）运算中交换律和结合律是否成立？若不成立，只需举一个反例．
课程标准
学习目标
①定义与命题
②定理与证明
掌握命题的定义及其分类，能够熟练的判断命题，真命题，假命题。
能够对命题进行改写，准确的写出命题的题设与结论部分。
能够熟练掌握定理的定义，并对其证明。