福建省莆田市重点中学2021-2022学年高一下学期期末考试——数学试卷

这是一份福建省莆田市重点中学2021-2022学年高一下学期期末考试——数学试卷，共14页。
1. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3. 在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是
A. B. 1 C. D.
【答案】C
5. 在中，内角，，对应的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
6. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下面命题不正确的是（ ）
A. 与是异面直线；
B. 与平行
C. 与成角；
D. 与平行
【答案】D
7. 圆锥的底面半径为，高为，在此圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 如图，正方体的棱长为2，、、分别是棱、和的中点，过点、、作正方体的截面，则以该截面为底面，为顶点的几何体体积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每道题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设向量，，则（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D.
【答案】BC
10. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）
A. 底面边长为6米B. 侧棱与底面所成角的余弦值为
C. 侧面积为平方米D. 体积为立方米
【答案】AD
11. 函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图像关于直线对称
C. 的图像关于点对称
D. 在上单调递增
【答案】BC
12. 如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则（ ）
A. 直线AB与CD所成角的余弦值为45°
B. 二面角的大小为60°
C. 三棱锥的体积为
D. 直线CD与平面所成角的正弦值为
【答案】ABD
三．填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______．
【答案】．
14. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，对下列命题：
①若，则．
②若，则且．
③若，则．
④若，则．
其中正确的命题是__________．（填序号）．
【答案】④
15. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________．
【答案】
16. 在正四棱台中，，，，则该四棱台的表面积为_________；该四棱台外接球的体积为__________．
【答案】 ①. ②.
四．解答题（本大题共6大题，共70.0分）
17. 如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若点为上的中点，证明平面．
【小问1详解】
证明：连接，
∵为的中点，
∴为等腰直角三角形，由此可得，同理，
∴，即，
又∵平面，且平面，
∴，
又∵，，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴．
【小问2详解】
证明：取、的中点、，连接、、．
∵、是，的中点，中，
可得且，
又∵是的中点，且四边形为矩形，
∴且，
∴、平行且相等，可得四边形是平行四边形．
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1). (2)
（1）
（2）
当时，
即
又恒成立 ，解得：
实数的取值范围为：
19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
20. 如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.
【答案】（1）证明见解析；
（2）点G为BD的中点时.
【小问1详解】
(1)因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，
又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，
所以AE平面BCD，
又因为CD平面BCD，所以CDAE，
因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，
又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，
AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，
又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.
【小问2详解】
在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,
设BC=4，则，DF=FC=l，.
以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,
则,
设，则,，
设平面AEG的法向量为,
由，得，令，故，
设平面ACD的法向量为，
则,即，令，则,
设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,
则，
当最大，此时锐二面角最小，
故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.
21. 如图①，一条宽为1的两平行河岸有村庄和供电站，村庄与的直线距离都是2， 与河岸垂直，垂足为．现要修建电缆，从供电站向村庄供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元、4万元．
（1）已知村庄与原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值；
（2）如图②，点在线段上，且铺设电缆的线路为．若，试用表示出总施工费用 (万元)的解析式，并求的最小值．
【答案】（1）万元；（2），万元.
（1）由已知可得为等边三角形.因为，所以水下电缆的最短线路为.过作于，如图所示，
可知地下电缆的最短线路为、. 又,，
故该方案的总费用为
（万元）
（2）因
所以.
则， ·
令则，
因为，所以，记
当，即时，
当，即时，，
所以，从而，·
此时，
因此施工总费用的最小值为万元，其中.
22. 如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2.
（1）若点在线段上，且，证明：；
（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析，（2）
证明：（1）先在图1中连结DP，在Rt△ADE中，由AD，DE，
得tan∠DAE，在Rt△PCD中，由DC＝AB，PC＝BC-BP，
得tan∠PDC，∴tan∠PDC＝tan∠DAE，则∠PDC＝∠DAE，
∴∠DOE＝90°，从而有AE⊥OD，AE⊥OP，
即在图2中有AE⊥OD'，AE⊥OP，
∴AE⊥平面POD'，则AE⊥PD'；
解：（2）延长AE，BC交于点Q，连接D'Q，根据公理3得到直线D'Q即为l，
再根据二面角定义得到．
在平面POD'内过点O作底面垂线，
以O为原点，分别为OA，OP，及所作垂线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D′（0，﹣1，），E（﹣1，0，0），Q（﹣11，0，0），C（﹣3，4，0），
（﹣11，1，），（﹣2，4，0），（1，﹣1，），
设平面D′EC的一个法向量为，
由，取y＝1，得．
∴l与平面D'CE所成角的正弦值为|cs|．