七年级下册数学期中期末专练——命题与证明（含答案）

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下列语句中，是命题的是( )
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．在一条直线上任取一点O
C．过点O作直线MN的垂线
D．过点O作直线MN的平行线
下列语句是命题的有( )
①画∠AOB的平分线；
②同位角相等吗？
③若|b|=5，则b=5；
④三角形是多边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
命题“等腰三角形两腰上的高相等”的的逆命题是 ．
命题：“若a=b，则a4=b4”，该命题的逆命题是 ．
下列语句中，是命题的有( )
(1)正数不是质数；
(2)中国加油！四川加油！
(3)对顶角相等；
(4)过直线外的一点有且只有一条直线和已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列语句中是命题的有( )
①两条直线相交，只有一个交点；
②π不是有理数；
③如果a=b，那么b=a=1；
④对顶角相等；
⑤明天会下雨吗？
⑥延长线段AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
命题“平行于同一直线的两条直线平行”的条件是 ，结论是 ．
命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是 ，结论是 ．
下列命题是假命题的是( )
A．相等的角是对顶角
B．全等三角形的对应角相等
C．垂线段最短
D．同角的余角相等
下列命题是假命题的是( )
A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
B．等角的余角相等
C．钝角三角形一定有一个角大于90°
D．同位角相等
下列命题的逆命题是真命题的有( )
(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；
(3)若ab=0，则a=0或b=0；(4)三角形中等角对等边．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列命题的逆命题是真命题的个数是( )
①若a＞b，则am＞bm；
②同位角相等，两直线平行；
③直角三角形两锐角互余；
④若ab＜0，则a、b异号．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
如图所示，AB∥CD，∠α=，∠D=∠C，则∠B=________．
如图所示，AB∥CD，∠2=∠1，∠4=100°，则∠3= ．
用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．
用反证法证明：一条线段只有一个中点．
如图(1)直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，(规定：直线上各点不属于任何区域)．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角(即∠P)的两边分别经过点A、B，当点P落在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角．
(1)如图(1)，当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD的度数；
(2)如图(2)，当点P落在第③区域时，∠PAC－∠PBD=______；
(3)如图(3)，当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD之间的等量关系．
如图，AC∥BD，点P在直线CD上．
(1)∠PAC，∠APB，∠PBD有什么关系，并说明理由．
(2)当点P移动到线段DC的延长线上时，它们之间又有什么关系？画出图形并说明理由．
期中期末串讲--命题与证明
课后练习参考答案
A．
详解：A．正确，符合命题的定义；
B、C、D错误，不属于判断语句，故不是命题．故选A．
B．
详解：③④正确，符合命题的定义；
①②错误，不属于判断语句，故不是命题．故选B．
见详解．
详解：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．故命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是“如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”．
见详解．
详解：把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．
“若a=b，则a4=b4”的条件是：a=b，结论是：a4=b4，
故其逆命题是：若a4=b4，则a=b．
C．
详解：(1)符合命题的定义，故正确；
(2)没有结论，不符合命题的定义，故错误；
(3)符合命题的定义，故正确；
(4)符合命题的定义，故正确；
综上可得(1)(3)(4)正确．故选C．
C．
详解：①正确，题设是两条直线相交，结论是只有一个交点；
②正确，题设是π，结论是不是有理数；
③正确，题设是a=b，结论是b=a=1；
④正确，题设是两个角是对顶角，结论是两个角相等；
⑤错误，是疑问句，不符合命题的定义；
⑥错误，只是对一件事情的叙述，没作出判断．故选C．
见详解．
详解：命题由题设和结论两部分组成，因此，命题“平行于同一直线的两条直线平行”的条件是：两条直线平行于同一条直线，结论是：这两条直线平行．
见详解．
详解：命题由题设和结论两部分组成，因此，命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是：一个四边形是平行四边形，结论是：这个四边形的两条对角线互相平分．
A．
详解：A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故是假命题；
B．全等三角形的对应角相等，是真命题；
C．垂线段最短是真命题；
D．同角的余角相等是真命题．故选A．
D．
详解：A．“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”是真命题；
B．“等角的余角相等”是真命题；
C．“钝角三角形一定有一个角大于90°”是真命题；
D．只有当两直线平行时，同位角相等，故“同位角相等”是假命题．故选D．
C．
详解：(1)其逆命题是：多边形是四边形，是假命题；
(2)其逆命题是：如果同旁内角互补，则两直线平行，是真命题；
(3)其逆命题是：若a=0或b=0，则ab=0，是真命题；
(4)其逆命题是：三角形中等边对等角，是真命题．
所以真命题的有三个．故选C．
D．
详解：①逆命题是：若am＞bm，则a＞b，是假命题；
②的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题；
③的逆命题是：一个三角形中两锐角互余，那么三角形是直角三角形，是真命题；
④的逆命题是：若a、b异号，则ab＜0，是真命题．故选D．
135°．
详解：∵AB∥CD，∠α=，∴∠D=∠α=，
∵∠D=∠C，∴∠C=，
∵AB∥CD，∴∠B=180°－∠C=180°－45°=135°．
140°．
详解：如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠5，
∵∠4+∠5=180°，∠4=100°，
∴∠1=∠5=80°，∴∠2=∠1=40°，
∵AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，则∠3=140°．
见详解．
详解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，
即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形的三内角和为180°相矛盾．
∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60°．
见详解．
详解：已知：一条线段AB，M为AB的中点．
求证：线段AB只有一个中点M．
证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，
又因为AM=AB=AN=AB，这与AM＜AN矛盾，
所以线段AB只有一个中点M．
见详解．
详解：(1)过点P作PQ∥GC，∴∠PAC=∠APQ，∠BPQ=∠PBD，
∴∠PAC+∠PBD=∠APQ+∠QPB，即∠PAC+∠PBD=∠P，
∵∠P=30°，∴∠PAC+∠PBD=30°．
(2)∵GC∥HD，∴∠EAC=∠EBD，
∵∠PAE=∠P+∠ABP，
∴∠PAE－∠EAC =∠P+∠ABP－∠EBD，
∴∠PAC=∠PBD+∠P，
∴∠PAC－∠PBD=∠P=30°；
(3)∵GC∥HD，∴∠1=∠PBD，
∵∠1=∠P+∠CAP，∴∠PBD=∠PAC+∠P，
即∠PBD－∠PAC=∠P．
又∵∠P=30°，∴∠PBD－∠PAC=30°．
见详解．
详解：(1)∠APB=∠PAC+∠PBD，
理由是：过P作PQ∥AC，
∵AC∥BD，∴AC∥PQ∥BD，
∴∠APQ=∠PAC，∠BPQ=∠PBD，
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠PAC+∠PBD；
(2)∠APB=∠PBD－∠PAC，
理由是：过P作PQ∥AC，
∵AC∥BD，∴AC∥PQ∥BD，
∴∠APQ=∠PAC，∠BPQ=∠PBD，
∴∠APB=∠BPQ－∠APQ=∠PBD－∠PAC．