高一数学人教B版寒假作业（18）平面向量线性运算的应用

这是一份高一数学人教B版寒假作业（18）平面向量线性运算的应用，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．[2024春·高一·云南曲靖·期中校考]如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A.B.C.D.
1．答案：A
解析：依题意，，，所以.故选A.
2．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间t（单位：）为( )
A.7.2B.7.8C.120D.130
2．答案：B
解析：若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，作，，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示.
由题意可知，，，且，，由勾股定理可得.因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为，则.故选B.
3．已知满足（其中k是非零常数），则的形状一定是( )
A.等边三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形
3．答案：C
解析：因为在中，（其中k是非零常数），
所以，即，所以.又，不共线，所以，所以，即一定是等腰三角形.故选C.
4．[2023秋·高二·四川宜宾·开学考试校考]在平面上有及其内一点O满足关系式：，即称为经典的“奔驰定理”.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则O为的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
4．答案：B
解析：记点O到AB，BC，CA的距离分别为，，，则，，.因为，则，即，又因为，所以，所以点O是的内心.故选B.
5．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为( )
A.B.6C.D.4
5．答案：B
解析：如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，.
因为，，所以，，，
即，，，
则，，
故当，即时，取得最小值6.故选B.
6．已知平面向量a，b，c满足，且，，则的最小值为( )
A.B.C.D.
6．答案：B
解析：设，，，
则，又，
所以点C在以为圆心，2为半径的圆上.
如图，取，则，，又，
所以，即.
又因为，，
所以.故选B.
7．设点O在内部，且有，则的面积与的面积的比值为( )
A.2B.C.D.3
7．答案：A
解析：设，，，如图所示.
根据题意得，即点O是的重心，取的中点E，连接OE，则，O，E三点共线，且，所以边上的高是边上的高的3倍，
所以，即，
同理可得，，
所以.又因为，，
所以，，故的面积与的面积的比值为.故选A.
8．已知中，，，，，，则的最小值为( )
A.3B.5C.D.
8．答案：C
解析：设点O为BC上的一点，令，即，当时，取最小值3，此时根据勾股定理可得，由此可知为等边三角形，当点O为BC的中点时建立如图所示的平面直角坐标系，
则有，，，所以，，所以，，所以，故.
因为，所以，则，
.
因为，所以当时取最小值，.故选C.
二、多项选择题
9．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半.”这就是著名的欧拉线定理.设在中，点O，H，G分别是其外心、垂心和重心，则下列四个选项错误的是( )
A.
B.
C.设BC边的中点为D，则有
D.
9．答案：CD
解析：如图，根据欧拉线定理得，故A正确；根据三角形重心的性质可知B正确；因为点D为BC的中点，点G为的重心，所以，又，，所以，即，故C错误；向量，，的模相等，方向不同，故D错误.
10．若的三个内角均小于，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点.根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量b，c满足，且，则的取值可以是( )
A.10B.C.3D.
10．答案：AB
解析：因为，，所以可设，，，则，即为点到，，三点的距离之和，则是等腰锐角三角形.如图，由费马点的性质可知，当点M满足时，点M到三角形三个顶点的距离之和最小，因为，所以，故，则的最小值是.故选AB.
三、填空题
11．一个所受重力大小为的物体从倾斜角为，斜面长的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________.
11．答案：
解析：因为物体的重力为，物体在重力方向上的位移大小是，所以重力做的功为.
12．如图，在中，，，是正三角形，点M是的中心.若，则__________.
12．答案：-4
解析：如图，设MC交AB于点E.，，点M是的中心，
，设，则，.
是的平分线，，.
设，E，A，B三点共线，，
，.
由，得，
，，.
四、双空题
13．某人骑车以每小时的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，则实际风速为__________，方向为__________.
13．答案：；西北方向吹来
解析：设a表示此人以的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为.
设，，，因为，所以，这就是感到由正北方向吹来的风速.
因为，所以，
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意，，，，
从而，为等腰直角三角形，所以，
即，
所以实际风速为，方向为西北方向.
五、解答题
14．已知，向量，.
（1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；
（2）若点P为线段AB上靠近点B的三等分点，求点P的坐标.
14．答案：（1）
（2）
解析：（1）设点C的坐标为，
因为，，，
可得，，则，
若四边形OACB为平行四边形，可得，
则解得故点C的坐标为.
（2）设点P的坐标为，由（1）可知，，
则，.
若点P为线段AB上靠近点B的三等分点，
则，则解得
故点P的坐标为.
15．已知四边形ABCD的顶点坐标为，，，且.
（1）若点C在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若点M为直线AC外一点，且，问实数为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，所以.
设点C的坐标为，，，则.
由，得解得
因为点C在第一象限，所以，，解得.
故实数的取值范围是.
（2）由得，
即，所以.
因为，所以，
又点P恰为四边形ABCD对角线的交点，
所以，则，又，
所以.