高一数学开学摸底考（北京专用，人教A版2019必修第一册全部）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 45 分）
一、选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为集合
，
所以
，
所以
.
故选：A.
2．设
，则“
”是“
”的（
）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】①当
，
时，满足
，但不满足
，
充分性不成立，
②当
时，则
，
，
必要性成立，
是
的必要不充分条件，
故选：B．
3．函数
的零点所在区间为（
）
A．
B．
C．
D．
1 / 11

【答案】B
【详解】∵函数
在
上均是增函数，
∴函数
在
上是增函数，
∵
，
，∴
，
∴函数
在区间
上有唯一零点.
故选：B．
4．若两个正实数
，
满足
，且存在这样的
，
使不等式
有解，则实数 的取值
范围是（
）
A．
或
B．
D．
C．
或
【答案】A
【详解】由已知正实数
则
，
满足
，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
解得：
故选：A.
5．若
或
，
，则下列说法正确的是（
的最小值为
）
A．
B．
D．
的最小值为
的最小值为
C．
的最小值为
【答案】A
【详解】对于 AC 选项，因为
，则
，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，即
的最小值为 ，A 对 C 错；
对于 BD 选项，因为
，则 ，
由基本不等式可得
，
2 / 11

当且仅当
所以
时，即当
时，等号成立，但
，故等号不成立，
，即
没有最小值，BD 都错.
故选：A.
6．已知
A．
，则
B．
D．
的大小关系为（
）
C．
【答案】A
【详解】
所以
，
，
，
故选：A.
7．函数
A．
的部分图像大致为（
）
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
的定义域为
，
∵
，
∴
是奇函数，图象关于原点对称，故排除 C；
时， ，故排除 A，D.
∵当
故选：B.
8．已知函数
，则下列结论
3 / 11

①若
②若
③若
④若
，则
在
上是单调递增
，则正整数ω的最小值为 2
的图象向右平移 个单位长度得到
，函数
在
的图象．则
为奇函数
上有且仅有 3 个零点，则
其中判断正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】依题意，
，
对于①
当
，
，
时，有
，则
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，故正确；
对于②，因
得
，则
是函数
图像的一条对称轴，
，整理
，
而
，即有
，
，故正确；
，
对于③，
，
依题意，函数
，
这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故不正确；
对于④，当
时，
，
依题意，
，解得
，故正确.
故选：C
9．已知函数
，则函数
的零点个数是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
4 / 11

【详解】函数
即方程
的零点，
和
的根，函数
的图象，如下图所示：
由图可得方程
和
的根，共有 4 个根，即函数
有 4 个零点．
故选：C．
第二部分（非选择题 共 105 分）
三、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10．函数
的定义域是
.
【答案】
【详解】由题意
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
故答案为：
.
11．若角 的终边经过点
，则
的值为
.
【答案】
/
【详解】由题意可得
所以，
，
.
故答案为：
.
12．幂函数
为偶函数，且在
上是减函数，则
.
【答案】3 或 4
【详解】由题意
，
，
5 / 11

又
，
，而
，所以
或 1，
所以
或 4．
故答案为：3 或 4．
13．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一
扇环形砖雕，可视为将扇形
截去同心扇形
所得图形，已知
，
，
，则该扇环形砖雕的面积为
.
【答案】
【详解】因为扇形
的院校为
，
，
又因为
，
所以，该扇环形砖雕的面积为
.
故答案为：
.
14．函数
在区间
上是减函数，则实数 的范围是
．
【答案】
【详解】对于
开口向上，对称轴为
，而
在定义域内单调递增，
由
在区间 上是减函数，则
，可得
.
故答案为：
15．已知
函数
的图像如图所示，
其中
是这两个函数共同的零点，
是其中一个函数的零点，则
=
.
6 / 11

【答案】
【详解】由
由图可知
，可知
，
，
是函数
正半轴的第一个零点，得
，解得
；
若
是函数
正半轴的第四个零点， 是函数
正半轴的第五个零点，
则
且
，此时无解，
所以
不是函数
的零点， 是函数
正半轴的第四个零点，得
，
所以，
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．计算下列各式的值：
(1)
；
(2)
．
【详解】（1）
（2）
.
17．已知
7 / 11

(1)化简
(2)若
并求
且
的值；
，求
的值；
(3)已知
，求
的值．
【详解】（1）由诱导公式可知
，
则
；
（2）由（1）得
，
即
则
，
，
解得
又
，
，则
，
，
所以
，
则
，
所以
；
（3）由已知（1）得
，所以
，
即
，
所以
.
18．已知
.
(1)求函数在 上的单调递减区间；
(2)求函数在
(3)求不等式
上的值域；
在
上的解集.
8 / 11

【详解】（1）由
则
，结合正弦函数的单调性，
且
，可得
，
，
所以函数的单调递减区间为
（2）由题设
，
；
，则
，且
，所以
，
；
（3）由题设
所以
，可得
.
所以不等式解集为
.
19．已知幂函数
为偶函数.
(1)求
的解析式；
(2)求不等式
(3)若
的解集；
上不单调，求实数 的取值范围.
在区间
【详解】（1）由
时，
为幂函数，得
，解得
或
，
为奇函数，舍去；
时，
为偶函数，符合题意，
所以
.
（2）由（1）知，原不等式化为
，即
，
当
当
时，解得
；
时，不等式为
，解得
或
；
当
当
当
时，不等式化为
时，解得
，
；
时，不等式无解；
时，解得
当
，
所以当
当
时，原不等式的解集为
时，原不等式的解集为
；
；
9 / 11

当
当
当
时，原不等式的解集为
；
时，原不等式的解集为
时，原不等式的解集为
；
.
（3）函数
在
上不单调，则有
，解得
，
所以实数 的取值范围是
.
20．设函数
（
且
），且
，
，函数
．
(1)求
和
的解析式；
，
(2)若关于 x 的方程
在区间
上有实数解，求实数 m 的取值范围；
，若对任意的
(3)设
，
，均存在
，满足
．求实数λ的取值范围．
【详解】（1）已知
，且
，即
，
因为
且
，所以，则
，即
.
，所以
，所以
又因为
对于
.
，因为
.
（2）由
，可得：
，不妨设
，
则有：
，又
，则有：
.
故当
时， 取得最小值为
；当
时， 取得最大值为
，故
故实数 的取值范围为：
（3）
，若对任意的
，则只需：
，均存在
，
满足
恒成立.
，
不妨设
，则设
在
，
，则
.
上可分如下情况讨论：
，此时 ，不满足
，此时只需：
当
当
时，
时，
恒成立.
在
上恒成立.
10 / 11

则只需：
在
上恒成立.
则需：
当
时，不等式
时，
成立.解得：
，与
矛盾；
，此时，只需保证：
.
则只需：
在
上恒成立.
当
时，只需保证：当
，解得：
时，
成立.
则有：
又
，
，故有：
，
当
时，只需保证：当
，又
时，
成立，
此时解得：
故有：
，故当
时，
.
综上所述，解得：实数 的取值范围为：
11 / 11