江苏省江阴市南菁中学2024−2025学年高一上学期 数学12月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省江阴市南菁中学2024−2025学年高一上学期 数学12月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则为（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
判断函数的零点个数至少有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．函数单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（ ）
A．10%B．30%C．60%D．90%
7．设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
8．定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ）
A．1B．C．D．0
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（ ）
A．①③B．①④C．④⑥D．②⑤
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若是第二象限角，则在第三象限
C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
D．若角的终边过点，则
11．已知的解集是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若c满足题目要求，则有成立
B．的最小值是
C．函数的值域为R，则实数的取值范围是
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，则 .
13．已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 .
14．设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，若，则不等式的解集为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，，
(1)，求的值；
(2)若且.求的值.
16．已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)设函数，若关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围.
17．已知函数，
(1)若，，求的值；
(2)若，求的值.
18．若函数同时满足：①函数在整个定义域是增函数或减函数：②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”.
(1)判断是不是R上的“闭函数”？若是，求出区间；若不是，说明理由；
(2)若是“闭函数”，求实数t的取值范围.
19．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．【答案】C
【详解】在上的函数的图象是连续不断的，
由数表知，，
因此函数在区间上分别至少有1个零点，
所以函数的零点个数至少为3个.
故选：C
3．【答案】C
【详解】是增函数，的减区间是，
因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是.
故选：C．
4．【答案】D
【详解】设，∵函数的图象过点，
∴，则，∴，
∴，
∴且，即，
则函数的定义域为.
故选：D.
5．【答案】A
【详解】由题意知的定义域为，
又，所以为奇函数，故排除C项，D项.
又当时，，，所以.故排除B项.
故选：A.
6．【答案】B
【解析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【详解】当时，，当时，，
∴，∴ 约增加了30%.
故选B.
7．【答案】C
【详解】是R的偶函数，．
，
又在上单调递减，
∴，
，
故选：C．
8．【答案】B
【详解】令，作出函数的大致图象，
当时，，
故函数的图象关于直线对称，
因为关于的方程恰有个不同的实数根，
则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，
设方程的两根分别为、，且，则，
令，解得或，又因为，不妨设，
所以，则，
因此，.
故选：B.
9．【答案】BC
【解析】根据为第二象限角判断出、、的符号，从而可得出为第二象限角的充要条件.
【详解】若为第二象限角，则，，.
所以，为第二象限角或或.
故选：BC.
【点睛】本题考查三角函数值的符号与象限角之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
10．【答案】ABC
【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”故A正确;
对于B： 因为，又因为是第二象限角， ，
所以，则在第三象限，故正确;
对于C：已知扇形的面积为4，周长为10，则
或
(舍)或者，故C正确；
对于D：角的终边过点，当时，，故D错误；
故选：ABC.
11．【答案】ABD
【详解】若的解集是，
则方程的根为，且，
可得，解得，
对A：∵，则函数在上单调递增，
所以，故A正确；
对B：∵，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值是，故B正确；
对C：函数的值域为，
则函数的值域包含，且，
可得，解得，故C错误；
对D：当时，则，，
令，解得；
令，解得或；
若在上的值域是，则或，
可得，故的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
12．【答案】
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
13．【答案】
【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式.
故答案为：
14．【答案】
【详解】不妨设，由得，
即，
故在上单调递增，
因为为R上的奇函数，所以，
的定义域为，且，
故为偶函数，在上单调递减，
当时，，
因为，所以，故，
即，解得，
当时，，
因为，所以，故，解得；
当时，，符合题意；
故不等式的解集为.
故答案为：
15．【答案】(1)5
(2)
【详解】（1）由，，
则2和3为方程的根，
则，解得.
（2）由，，
由且，则，
所以，解得或，
当时，由（1）知，，，不符合题意；
当时，，，，符合题意.
综上所述，.
16．【答案】(1)定义域为，值域为
(2)
【详解】（1）由，解得，
∴的定义域为0,+∞.
又∵，∴的值域为.
（2），，
由，∴，∴，∴，
∴，∴，∴的值域为.
∵关于的不等式恒成立，
∴，即实数t的取值范围为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，则，
又，则，
由于，
所以．
（2）由，
则，即，
则，可得，
所以．
18．【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
【详解】（1）函数为上的增函数，
若函数为"闭函数"，则存在、，使得函数在上的值域为，
则，则关于的方程至少有两个不等的实根，
因为，故方程无实根，
因此，函数不是"闭函数";
（2）因为函数为上的增函数，
若函数为上的"闭函数"，
则存在、，使得函数在上的值域为，
则，所以，关于的方程在上有两个不等的实根，
令，设，则函数在有两个零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
19．【答案】(1)8小时
(2)1.6
【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
1
2
3
4
5
6
136.1
15.6
10.9