2025年南京市九年级数学总复习模拟训练试卷解答

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1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法和完全平方公式，根据同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法和完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，
“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选B．
4． 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
【详解】解：如图，作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
已知点，，在下列某一函数图象上，当时，，
那么这个函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数的性质逐项判断即可得出正确选项．
【详解】
A、，因为，所以随的增大而减小，所以当时，，故选项A不符合题意；
B、，因为，开口向上，当时随的增大而减小，当时随的增大而增大，所以当时，无法判断的大小，故选项B不符合题意；
C、，当时，且随的增大而增大，当时，且随的增大而增大，当时，，故选项C符合题意；
D、，因为，所以随的增大而增大，所以当时，，故选项D不符合题意；
故选C．
如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，
若，，则的长为（ ）

A．2B．C．3D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易证，然后问题可求解．
【详解】解：四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
二、填空题(本大题共 10 小题，每小题2 分，共20分. 请把答案填写在答题卡相应位置上)
7．若分式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】x≠
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得2x-3≠0，解可得答案．
【详解】解：由题意得：2x-3≠0，
解得：x≠，
故答案为：x≠．
8 . 计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】解：
故答案为：．
9 . 分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用．先提取公因式，然后利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．一组数据25，29，20，，14，它的平均数是22.2，则这组数据的中位数为 ．
【答案】23
【分析】可运用求平均数公式，求出x的值，再根据中位数的定义，求出中位数即可.
【详解】解：∵数据25，29，20，，14，它的平均数是22.2，
∴ ，
解得：，
∴14,20,23,25,29的中位数为23.
故答案为：23.
11．若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
由方程有两个相等的实数根可得出，解之即可得出结论．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：2．
12 .代数式与代数式的值相等，则x ＝____________．
【答案】
【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：x=3（x+3），
解得：x=，
经检验x=是分式方程的根．
故答案为：．
如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，
以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，
连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE ＝ ．

【答案】
【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA=EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°，
根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴EA=CE=BC-BE=2-BE，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得，
∴，
解得BE=，
故答案为．
如图，的半径为6，作正六边形，点B，F在上，
若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ．

【答案】
【分析】根据正六边形的外角和，即可求得内角∠A的度数，进而根据边长等于⊙A的半径，根据弧长公式求得弧FB的长，再根据底面圆的周长就是弧FB的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为6，
∴∠A=180°-=120°，AB=6
∴弧FB的长为：
∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，
∴弧FB的长即为圆锥底面的周长，
设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=4π
解得r=2
∴圆锥的高
故答案为：
如图，平行四边形OABC的边在x轴上，顶点C在反比例函数y＝的图象上，
BC与y轴相交于点D，且D为BC的中点，若平行四边形OABC的面积为6，则k＝ ．

【答案】
【分析】由D为BC的中点，平行四边形OABC的面积为6，可得△OCD的面积为平行四边形OABC的面积的，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出答案．
【详解】解：∵D为BC的中点，平行四边形OABC的面积为6，
∴△OCD的面积为6×＝1.5，
∴|k|＝1.5，
∵k＜0，
∴．
故答案为：．
16 . 如图， 菱形纸片， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，于 F，
若， 则

【答案】/
【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
由翻折，菱形的性质，得： ， ，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点E作，
设， 则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
三、解答题(本大题共11 小题，共88分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，求的值．
【答案】
【分析】先分解因式，再代入求得答案即可．
【详解】解：
=，
将x和y代入中，
=
=
=
解不等式组， 并把解集表示在数轴上．

【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组，将解集在数轴上表示．根据题意将不等式组解出再表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
表示在数轴上为：
，
∴不等式组的解集是： ．
为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，
其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，
已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，
且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价．
【答案】A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元
【分析】本题考查的是分式方程的应用. 设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元，再利用购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，列方程，解方程即可.
【详解】解：设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元，
依题意，得，
解得，
经检验：是所列方程的解，并且符合实际问题的意义，
所以，
答：A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元．
第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，
向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，
老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，
并向大家介绍卡片上图案对应的含义．

请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 ；
(2) 若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．
请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据简单的概率公式计算即可得出结果；
（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果，两人抽到的卡片上是相同名称的结果，然后求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算及利用树状图或列表法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
【详解】（1）∵共有四张卡片，且每张卡片被抽到可能性相同，
∴随机抽去一张卡片，上面写有“菊”的概率为；
故答案为：；
（2）把写有“梅、兰、竹、菊”的四张卡片分别记为A、B、C、D，画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同的结果有4种，
∴．
故两人抽到的卡片上是相同名称的概率为．
21 . 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，
随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）．
【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如统计图：

【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
______，______，并补全条形统计图；
(2) 如果规定男生引体向上6次及6次以上，读项目成绩良好，若该校八年级有男生400人，
估计该校男生该项目成绩良好的约有______人；
从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
【答案】(1)6，5，条形统计图见解析；
(2)220；
(3)见解析
【分析】（1）根据中位数与众数的定义即可求解，先利用引体向上为8次的所占百分比乘以总的调查人数得到引体向上为8次的人数，即可补全条形图；
（2）引体向上6次及6次以上的人数所占比例乘以400即可得出结果；
（3）根据平均数、中位数、众数的概念说明即可．
【详解】（1）解：将调查的数据从小到大排列，位于第20和21的数据都是6，调查的数据中，引体向上个数为5个的人数最多，
∴，；
引体向上为8次的人数为：（人），补图如图所示．
（2）解：（人）
故答案为：220（人）
（3）解：从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均次数是5.8；
从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上次数不少于6次；
从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5次的人数最多．
22．如图，在中，，分别是的中点．

求证：四边形是菱形．
若，，则菱形的面积为 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证；
（）过点作于，由可得为等腰直角三角形，即得，又由可得，即可得到，再根据菱形的面积公式即可求解；
本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵分别是的中点，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于，则，

∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，
方便居民使用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为、
且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．
（结果精确到0.1米：参考数据：，，，．）

【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质，作于，于，在中，解直角三角形得出米，米，证明四边形为矩形，得出米，米，在中，解直角三角形得出米，即可得解．
【详解】解：如图：作于，于，
由题意得，米，米，，，
∴在中，，米，
则米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∴在中，，
∴米，
∴米．
24．如图，在中，，平分交于点E，点D在上，．

求证：是的外接圆的切线；
(2) 若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质．
（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端直线是圆的切线，连接，只要得出即可得出；
（2）先证明，得到，把，，代入得到，由此得解．
【详解】（1）证明：连接，

∵平分交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
∵，
∴，
∴是的外接圆，
∴是的外接圆的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
∴的长是．
25 . 为了拓宽学生视野，丰富学生社会实践经验，某校计划组织师生共550人前往苗木种植基地参观学习，
现有甲、乙两种型号的客车可供选择，一辆甲种客车载客量为60座，租金为500元，
一辆乙种客车载客量为45座，租金为400元．该校计划租用甲、乙两种型号客车共10辆，
设租用甲种客车辆，租车总费用为元．
求与之间的函数表达式；
(2) 该校应如何安排租用甲、乙两种型号的客车数量，既能保障所有师生都有座位，
又能使租车费用最少？并求最少租车费用．
【答案】(1)
(2)租用60座客车7辆，45座客车3辆，租车费用最少，最少租车费用是4700元
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式．
（1）根据“总费用60座费用45座费用“可得答案；
（2）由所有师生都有座位，可得，可知最小取7，再由一次函数性质可得时，取最小值，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意得，
∴与之间的函数表达式为；
（2）∵所有师生都有座位，
∴，
解得，
∵为整数，
∴最小取7，
在中，
∵，
∴随的增大而增大，
∴时，取最小值，最小值为（元），
此时（辆），
答：租用60座客车7辆，45座客车3辆，租车费用最少，最少租车费用是4700元．
26．已知二次函数与轴只有一个交点，且系数、满足条件．

求解析式；
将向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数，
该函数交轴于点，交轴于、（点在点的右侧），点是该抛物线上一动点，
从点沿抛物线向点运动（点与不重合），过点作轴，交于点，
当是直角三角形时，求点的坐标；
在问题（）的结论下，若点在轴上，点在抛物线上，
问是否存在以、、、为顶点的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点坐标为，；
(3)点的坐标为，．
【分析】（）先根据非负数的性质求出，，再由二次函数与轴只有一个交点，得出一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式，从而求出的值；
（）先根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出，再分情况讨论是直角三角形时，可能点为直角顶点，也可能点为直角顶点，当点为直角顶点时，点与点重合，将代入抛物线的解析式，可求出点的坐标；当点为直角顶点时，根据等腰三角形的性质得出、关于轴对称，再由在抛物线上，在直线上可求出点的坐标；
（）由题（）知，当点P的坐标为时，由于三点都在抛物线上，所以不能构成平行四边形；当点的坐标为抛物线的顶点时，平移直线交轴于点，交抛物线于点，当时，四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可知对角线AE的中点与的中点重合，由可设，再根据点在抛物线上列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴，，
∵与轴只有一个交点，
∴，解得，
∴所求抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数即，
当是直角三角形时，分两种情况：
如图，
如果点为直角顶点时，点与点重合，则令，得，
解得，，
∵点在点的右侧，
∴，，，
如果点为直角顶点时，，
∵，，轴，，
∴，关于轴对称，
设直线的函数关系式为将，代入得：
，
解得，
∴直线的函数关系式为，
∵在上，在上，
∴设，，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴当时，，的坐标为（即为抛物线顶点），
∴点坐标为，；
在问题（）的结论下，若点在轴上，点在抛物线上，
存在以为顶点的平行四边形，此时点的坐标为，，理由如下：
如图，
当点的坐标为时，因为点三个点在一条直线上，所以不能构成平行四边形；
当点的坐标为时，平移直线交轴于点，交抛物线于点，
只能为对角线，否则点在过点的横线上，无法构成平行四边形，
此时时，
∴与互相平分，对角线的中点与的中点重合，
∵，可知点的纵坐标的为1，可设，
∴
解得，，
∴点的坐标为，．
27．综合与实践
【问题初探】
（1）如图1，是的中线，交于点E，交于点F，且，

则下面是小明、小红的部分思路和方法，
小明的思路和方法：
如图2，延长到点G，使，连接，构造…．

小红的思路和方法：
如图3，过点B作交延长线于点G，于是得到…；
根据小明或小红的方法，可以得到线段与的数量关系是______．
【变式拓展】
如图4，在中，，交于点E，交于点F，且，
判断线段与的数量关系，请说明理由

【迁移应用】
请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图5的线段上作一点P，使．
（要求：不写作法，保留作图痕迹）

【综合提升】
如图，平面直角坐标系中，，，，过B、C点分别作平行线，
交x轴于E、F两点，若，直线、之间距离的最大值为_____．

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）见解析；（4）
【分析】（1）证明，得出，，得出，根据等腰三角形判定得出，求出结果即可；
（2）延长，过点B作，交的延长线于点G，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，根据，得出，即可得出答案；
（3）过点E作任意一条线段，作线段的垂直平分线，交于点B，作，在上截取，连接，交于点P，即可得出答案；
（4）过点C作延长线的垂线，垂足为点M，过点C作于点M，根据，，得出与间距离为， 与间距离为，从而得出与间的距离为，设，，证明，得出，求出，，求出，得出，证明，得出，即可得出，求出的最大值为，得出的最大值为，从而得出与间的距离最大值．
【详解】解：（1）小明的方法：延长到点G，使，连接，如图所示：

∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小红的方法：过点B作交延长线于点G，如图所示：
则，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
延长，过点B作，交的延长线于点G，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）点P即为所求作的点，如图所示：
过点E作任意一条线段，作线段的垂直平分线，交于点B，作，在上截取，连接，交于点P，即可得出答案，
根据作图可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（4）过点C作延长线的垂线，垂足为点M，过点C作于点M，如图所示：
则，
∵，，
∴与间距离为，与间距离为，
∴与间的距离为，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
，
∵，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
∵，
∴的最大值为，
∴与间的距离最大为：
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，尺规作角和垂直平分线，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
平均数
中位数
众数
5.8
a
b