2025北京石景山高一上学期期末数学试卷和参考答案

这是一份2025北京石景山高一上学期期末数学试卷和参考答案，共7页。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
B 
（1）已知集合 A  {1, 2, 3, 5} ， B  {2 , 3} ，那么 A
（A）{3}（B）{2 , 3}
（C）{1, 5}（D）{1, 2, 3, 5}
已知命题 p : x  0 , ln x  0 ，那么命题 p 为
（A） x  0 , ln x ≤ 0
x  0 , ln x  0
x  0 , ln x  0
x  0 , ln x ≤ 0
某田径队有运动员100 人，其中男运动员 60 人，女运动员 40 人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，
采用分层抽样的方法获得一个容量为 20 的样本，那么应抽取男运动员的人数为
（A）16（B）12
（C）10（D） 8
已知 x  R ，则“ x  1 ”是“ x2  1 ”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
充要条件（D）既不充分也不必要条件
函数 f ( x)  lga (| x | 1),(0  a  1) 的图象可能是
（A）（B）（C）（D）
已知 a  lg0.3 ， b  0.31.1 ， c  0.31.2 ，则
c  b  a
（C） b  c  a
b  a  c
（D） a  b  c
某袋中有编号为1, 2 , 3, 4 的4 个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是
3
4
1
4
1
16
15
16
函数 f ( x)  ln x  2x  6 的零点所在的区间是
（A） (0 ,1)（B） (1, 2 )
(2 , 3)（D） (3, 4)
已知函数 f (x)  lg3 x, x  0 ，则1
的值是


3x , x ≤ 0
f ( f ( )) 9
（A） 9（B） 1
9
（C） 9
 1
9
阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势. 下列各数中与2.52025 最接近的是
（参考数据： lg2  0.301 , lg5  0.699 ）
（A）10802
（C）10810
（B）10806
（D）10814
第二部分（非选择题 共 60 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
已知幂函数 y  f ( x) 图象过点(2 , 2 2 ) ，则该幂函数的解析式是．
某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：
记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为 s2 ， s2 ，则 s2 s2 ．
甲
8.1
7.9
8.0
7.9
8.1
乙
7.9
8.0
8.1
8.5
7.5
（填“  ”，“ = ”或“  ”）．
甲乙甲乙
若 a  1 ，则 a 
1
a  1
的最小值是.
已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x  0 时， f ( x)  3x2  2x ，则当 x  0 时， f ( x)  ．
函数 f ( x) 满足 f (x)  f (x)  2x2 , f (1  x)  f (1  x)  8x , x  R ,
① f (2)  4 ；
② f (3)  f (1)  18 ；
③ f (x  2)  f ( x) ≥ 0 ．
其中所有正确结论的序号是．
给出下列三个结论：
三、解答题共 5 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 7 分）
已知集合 A  { x | a ≤ x ≤ a  3} ， B  { x | x  2 或 x  6} .
若 AB  ，求 a 的取值范围；
若 AB  B ，求 a 的取值范围．
（17）（本小题 7 分）
将一颗骰子先后抛掷两次，观察朝上的面的点数．
求两次点数之和是5 的概率；
求两次点数中至少有一个奇数的概率．
（18）（本小题 9 分）
已知函数 f ( x)  ln(3  x)  ln(3  x) ．
求函数 f ( x) 的定义域；
判断函数 f ( x) 的奇偶性；
求证： f ( x) 在(0 , 3) 是减函数．
（19）（本小题 9 分）
某学校组织高一、高二年级学生进行了“数学与生活”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了 40 名
学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图（如图1 ）和高二年级成绩的频数分布表（如表 1）．
成绩分组
频数
[75，80)
2
[80，85)
6
[85，90)
16
[90，95)
14
[95，100]
2
频率/组距
75 80 85 90 95 100 成绩/分
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
图1表 1
若成绩不低于80 分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
在抽取的学生中，从成绩为[95,100] 的学生中随机选取2 名学生，代表学校外出参加比赛，求这2 名学生来自于同一年级的概率；
记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为 X1 , X 2 ，试估计 X1 , X 2 的大小关系．（只需写出结论，不要求证明）
（20）（本小题 8 分）
已知函数 f ( x)  4x  a  2x1 , x [1, 2]．
当 a  2 时，求 f ( x) 的最小值；
记 f ( x) 的最小值为 g(a) ，求 g(a) 的解析式．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
（1）D
（2）A
（3）B
（4）A
（5）D
（6）C
（7）A
（8）C
（9）B
（10）B
3
（11） f ( x)  x 2
（12） （13） 3 （14） 3x2  2x
（15）②③
注：15 题选对一个给 2 分
三、解答题（共 6 小题，共 40 分）
（16）(本小题 7 分)
解：（Ⅰ）由集合 A  {x | a ≤ x ≤ a  3} ， B  {x | x  2 或 x  6} .
因为 AB  ，
a ≥ 2

所以a  3 ≤ 6 ，[ 2 分]
解得2 ≤ a ≤ 3 .
所以 a 的取值范围是[2，3] ；[ 3 分]
（Ⅱ）因为 AB  B ，所以 A  B ，[ 4 分]所以 a  6 或 a  3  2 ，[ 6 分]
即 a  6 或 a  5 .[ 7 分]
所以 a 的取值范围是(, 5)(6, ) .
（17）(本小题 7 分)
解：用数对(x, y) 表示掷两次骰子朝上面的点数，则样本空间包括：
(1,1) , (2,1),(3,1) , (4,1),(5,1),(6,1)
(1, 2),(2, 2),(3, 2),(4, 2),(5, 2),(6, 2)
(1,3), (2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)
(1, 4),(2, 4),(3, 4),(4, 4),(5, 4),(6, 4)
(1,5), (2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)
(1, 6),(2, 6),(3, 6),(4, 6),(5, 6),(6, 6)
共36 个样本点．
[ 1 分]
记“两次点数之和是5 ”为事件 A ，[ 2 分]则事件 A 中含有4 个样本点，分别为(1, 4),(2, 3),(3, 2),(4,1) ， [ 3 分]
所以 P ( A) 
4  1 .
369
所以，两次点数之和是5 的概率是 1 .[ 4 分]
9
记“两次点数中至少有一个奇数”为事件 B ，[ 5 分] 事件 B 与“两次点数均为偶数”为对立事件，而事件“两次点数均为偶数”含有9 个样本点．[ 6 分]
所以 P (B)  1  9  3 .
364
所以两次点数中至少有一个奇数的概率是 3 .[ 7 分]
4
（18）(本小题 9 分)

解：（Ⅰ）由题意知: 3  x  0 ，解得3  x  3 ，
3  x  0
所以 f (x) 的定义域为(3, 3) .[ 2 分]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x) 的定义域为(3 , 3) ，
x (3 , 3), x (3 , 3) .[ 3 分]
f (x)  ln(3  x)  ln(3  x)  f (x)
所以 f (x) 是偶函数.[ 5 分]
（Ⅲ）对于 0  x1  x2  3 ，
f (x1 )  f (x2 )  ln(3  x1 )  ln(3  x1 ) [ln(3  x2 )  ln(3  x2 )]
229  x2
 ln(9  x1 )  ln(9  x2 )  ln 1
2
9  x2
[ 7 分]
因为0  x  x  3 ，所以0  x2  x2  9 ，
1212
229  x2
所以9  x1  9  x2  0 ，即 1  1，[ 8 分]
2
9  x2
9  x2
所以ln 1  0 ，即 f (x1 )  f (x2 )  0 ， f (x1 )  f (x2 ) ，
2
9  x2
所以函数 f (x) 在(0, 3) 单调递减.[ 9 分]
（19）(本小题 9 分)
解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为
1  0.03  5  0.85 .[ 2 分]
（Ⅱ）高一年级成绩为[95,100] 的有0.02  5  40  4 名， 记为 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ，[ 3 分]
高二年级成绩为[95,100] 的有2 名，记为 B1 ， B2 .[ 4 分]
选取2 名学生的所有可能为：
A1 A2 ， A1 A3 ， A1 A4 ， A1B1 ， A1B2 ， A2 A3 ， A2 A4 ， A2 B1 ， A2 B2 ，
A3 A4 ， A3 B1 ， A3 B2 ， A4 B1 ， A4 B2 ， B1B2 ，共 15 种；[ 5 分]
其中2 名学生来自于同一年级的有 A1 A2 ， A1 A3 ， A1 A4 ， A2 A3 ， A2 A4 ，
A3 A4 ， B1B2 ，共7 种；[ 6 分]设2 名学生来自于同一年级为事件 A ，
所以 P( A)  7
15
.[ 7 分]
（Ⅲ） X1  X 2 ．[ 9 分]
（20）(本小题 8 分)
解：（Ⅰ）设t  2x ，因为 x [1, 2] ，则t 
1
[, 4]
2
，[ 1 分]
则 h(t)  t 2  2at ， t 
1
[, 4]
2
，[ 2 分]
当 a  2 时， h(t)  t 2  4t  (t  2)2  4 ， t 
1
[, 4]
2
，[ 3 分]
所以t  2 时， h(t)min  h(2)  4 ，即当 x  1 时， f ( x)min  4 .[ 4 分]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 h(t)  t 2  2at ， t 
1
[, 4] ，
2
其图象的对称轴为t  a ．[5 分]
[, 4]
①当 a ≤ 1 时， h(t) 在 1上单调递增，所以 h(t)
1  1  a ；
2
②当 1  a  4 时， h(t)
2
2
min
 h(a)  a2 ，
min
h()
24
[, 4]
③当 a ≥ 4 时， h(t) 在 1
2
上单调递减，所以 h(t)
min
 h(4)  16  8a .


11
 a , a ≤ ;
 42
综上， g(a)  a2 , 1  a  4 ;
[ 8 分]
2


16  8a , a ≥ 4 .



（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）