2025北京房山高一上学期期末数学试卷和参考答案

这是一份2025北京房山高一上学期期末数学试卷和参考答案，共7页。
数 学
本试卷共 4 页，150 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知lg2 3  a ，lg2 5  b ，则lg 152
（B） ba（A） ab
（C） a b
（D） a b
（2）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件 M  “点数为奇数”，事件 N  “点数为3 的整数倍”，若 P M( ) ， P N( ) 分别表示事件 M ， N 发生的概率，则
（A） P M( )  1 ， P N( )  1
（C） P M( )  P N( )  1
（B） P M( )  1 ， P N( )  1
32
（3）下列函数中，既是奇函数又在区间( , ) 上单调递增的是
1
（B） f (x)  2x
（C） f x( )  x3
（D） f x( )  lg x
2x
x2
（5）供电部门对某社区1 000 位居民 2024 年12 月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位： 度）分为[0,10) ，[10,20) ，[20,30) ，[30,40) ，[40,50] 五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下 列说法错误的是
（A）在这1 000 位居民中，12 月份人均用电量人数最多的一组有 400 人 （B）在这1 000 位居民中，12 月份人均用电量不低于 20 度的有500 人 （C）在这1 000 位居民中，12 月份人均用电量为 25 度
（D）从这1 000 位居民中，任选1 位担任安全用电宣传员，选到 居民人均用电量在[30,40) 一组的概
1率为
10
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（4）函数 f (x)
的零点个数是
（A）0
（B）1
（C） 2
（D）3
（6）已知向量 m  (a,2) ， n  (8,a) ，则“ a  4 ”是“ m n ”的 2 a
（C）
（D）
（B） 2 a  1 b
3
b
3 3
3 3 3
3 3
（A）充分而不必要条件 （C）充要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件b
a
（7）如图，在平行四边形 ABCD 中， M 是 AB 的中点， DM 与 AC 交于点 N ，设 AB  ， AD  ，则
BN
D
NC
B
A
M
（A）
 1 b
1a  2
1 a  2 b
f (x )  f (x ) x  x 2 2（8）若函数 f (x) 满足：对定义域内任意的 x1, x2 (x1  x2 ) ，都有
f ( ) ，则称函数 f (x)
2
1
2
1
3
（D） f x( )  (x  0)
具有性质 H .下列函数中不具有性质 H 的是
（C） f x( )  x3 (x ≥0)
（9）已知函数 f x( )=|lga x a|( > 0 且 a  1) ，那么下列命题中的假命题是
（B）若0  m  n ，且 f m( )= ( )f n ，则 mn  1
1
x
（A） f ( )x  ( ) （B） f x( )  lg2 x
1
x
（A）若 f (2)=1 ，则 a  12 或 a 2
（C）存在正数 k ，使得函数 g x( )= (f x)  kx 1 恰有1 个零点
（D）不存在实数 a 1，使得函数 g x( )= (f x)  ax 恰有3 个零点
（10）已知函数 f (x)  且 ，给出下列四个结论:ax 1
a  1)
(a  0
x
a 1
f (x) 在其定义域内单调递减；
f (x) 的值域为(0,1) ；
f (x) 的图象是中心对称图形；
f (x) 的图象过定点(0,0) .
其中正确结论的个数是
（A）1
（B） 2
（C）3
（D） 4
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
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（11）函数 f (x)   lg(5  x) 的定义域为 .1
（12）某单位共有80 名职工，其中35 岁以下的有 20 人，35 — 45 岁的有35 人， 45 岁及以上的有 25 人.现 用分层抽样的方法，从中抽取16 名职工进行问卷调查，则抽取的 45 岁及以上的职工人数为 .

（13）向量a ， b ， c 在正方形网格中的位置如图所示.若c = a + b ( ,   R) ，则 = .

（14）若幂函数 f (x) 同时具有以下三个性质：① f (x) 的定义域为(,0) (0,) ；② f (x) 是奇函数；③ 当 x  0 时， f (x)  0 .则 f (x) 的一个解析式是 ．

x2 , x ≤1,
（16）已知函数 f ( )x  
若 f ( )x  2 ，则 x  ；若 f x( )  m 有三个不同的实根 x1, x2 , x3 ，
lg2 x x >, 1.
且满足 x1  x2  x3 ，则(x1  x2 )m2024  x3 的取值范围是 ．
（16）据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘的第1 个格子 里放上1 颗麦粒，在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒，在第3 个格子里放上 22 颗麦粒，在第 4 个格子里放上 23 颗 麦粒，，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子，国王欣然同意. 通过计算，该发明者所要求的麦粒数为 264 1 .你认为1010 ，1015 ，1020 ，1025 四个数中与 264 1 最接近的是
．（参考数据：lg2  0.3010 ）
三、解答题共 5 小题，每小题 14 分，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题14 分）
2
甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目 概率是 ，乙解出这道题目的概率是 45 .
3
（Ⅰ）求甲、乙两人都解出这道题目的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； （Ⅲ）求这道题目被甲、乙两人解出的概率.
（18）（本小题14 分）
1 1已知向量a  (1,2) ，b  ( , ) ．
2 4
（Ⅰ）求| a + 4b | ；
（Ⅱ）若向量 c 满足 2a  3c  8b ，求向量c ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若a  mc  2nb ，求实数 m n, 的值.
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（19）（本小题14 分）
已知函数 f x( )  lg (2 x2  2x  a) 的定义域是 R ．
（Ⅰ）求实数 a 的取值范围；3x11
（Ⅱ）解关于 x 的不等式 a  1a2 ．
（20）（本小题14 分）
随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app ）获取新闻资讯，手机应用 程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活 提供了极大的便利.为了解用户对某款 app 的满意度，随机调研了3 000 名用户，调研结果如下表（单位： 人）：
（Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取1 人，求此人“不满意”的概率；600
550
250
700
250
50
x y
100
（Ⅱ）若用频率估计概率，从使用该款 app 的青年人和中年人中各随机选取1 人，估计恰有1 人“满意”的 概率；
（Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择 9 人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中 各选取3 人，这种抽样是否合理？说明理由．
（21）（本小题14 分）
已知函数 f (x) 的定义域为 R ，对任意实数 m n,  R ，都有 f m(  n)  f m( )  f n( ) ，且当 x  0 时，
0  f ( )x 1. （Ⅰ）求 f (0) ；
（Ⅱ）证明：当 x  0 时， f (x) 1 ；
（Ⅲ）当 f (lg(a2  2a  3)) 1 时，求实数 a 的取值范围.
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青年人
中年人
老年人
满意
一般
不满意
参考答案3 5 3 5 15 5
一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
（D）
（B）
（C）
（D）
（C）
（A）
（A）
（B）
（D）
（B）
（11）(3,5) （12）5
（13）4

（14） y  x1 （答案不唯一） （15）  2,4 ；(1,2]
（16）填写1010 或1025 ，得0 分；填写1020 得3 分；填写1015 ，得5 分.
三、解答题（共 5 小题， 共 70 分）
解：（Ⅰ）设事件 A “甲、乙两人都解出这道题目”，则
P A( )  2  4  8 分
3 5 15
（Ⅱ）设事件 B “甲、乙两人恰有一人解出这道题目”，则
2
1
2
1
6
4
P B( )       .
分
（Ⅲ）设事件C  “这道题目被甲、乙两人解出”，则
P C( )  2  4  2  1  1  4  14 .
分3 5
15
3 5
3 5
（18）（本小题满分14 分）
解：（Ⅰ）因为向量a  (1,2) ，b(1 ,1) ，
2 4

所以a + 4b  (1,2)  4(1 , 1)  (1,1) .
2 4

分
（Ⅱ）因为 2a  3c  8b ，所以3c  2a  8b = 2(1,2) 8(1,1)  (6,6) .
2 4
所以c  (2,2) .
分
（Ⅲ）因为a  mc  2nb ，由（Ⅱ）知，c  (2,2) .
所以| 4 |
2m 1  n, m  3 ,
2m  2   2 , n  2.
所以  n 即  2
2 4
a + b  2 .
所以(1,2)  m(2,2)  2n(1,1) .
所以 x2  2x  a  0 恒成立.
分
（19）（本小题满分14 分）
解：（Ⅰ）因为函数 f x( )  lg (2 x2  2x  a) 的定义域是 R ，
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11
所以  4  4a  0 .，
a2

所以 a 1 .
所以实数 a 的取值范围为(1,) ．
分
（Ⅱ）因为
a
3x
1
所以 a3x11  a2 .
由（Ⅰ）知， a 1，
所以3x3x11  2 ，即3x  9 ，解得 x  3 .
不等式 a  1a2 的解集为 . 分(3,)
（本小题满分14 分）
解:（Ⅰ）所有参与调研的人共有3000 人，不满意的人数是 250  50 100  400 .
记事件 D  “从所有参与调研的人中随机选取1人，此人不满意”，则所求概率为
P D( )= 400 = 2 分
3000 15
（Ⅱ）参与调研的青年人共有1400 人，满意的是600 人.
记事件 M  “从使用该款app 的青年人中随机选取1 人，此人满意”，
600 3则 P M( ) 的估计值为 = .
1400 7
参与调研的中年人共有1000 人，满意的是700 人.
记事件 N  “从使用该款app 的中年人中随机选取1 人，此人满意”，
700 7则 P N( ) 的估计值为 = .
1000 10
则从使用该款app 的青年人和中年人中各随机选取1 人，恰有1 人“满意”的概率估计为

P M N(  M N)  P M( )  P N( )  P M( )  P N( )
= 3 (1 7) (1 3)  7  分
7 10 7 10 70
（Ⅲ）这种抽样不合理.
理由：参与调研的 600 名老年人中不满意的人数为100 ，满意和一般的总人数为 x  y  500 ，说 明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各选取 3 人不合理.合理的抽样方法是采
用分层抽样，根据 x ， y ，100 的具体数值来确定抽样数值.
分
（本小题满分14 分）
解:（Ⅰ）因为函数 f (x) 的定义域为 R ,对任意实数 m n, 都有 f m(  n)  f m( )  f n( ) ， 且当 x  0 时，0  f ( )x 1.
所以当 m  1， n  0 时， f (1 0)  f (1)  f (0) ，即 f (1)  f (1)  f (0) . 所以 f (0)  分
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（Ⅱ）证明：因为当 x  0 时，x  0 ，所以 f (x  x)  f (x)  f x( ) . 即 f (x)  f x( )  f (0) ，由（Ⅰ）知， f (0) 1.
所以 f (x)  f x( ) 1 .
所以 .f (x) 
f (x)
1
因为x  0 ，所以0  f (x) 1.
所以 .f (x)  1
f (x)
1
分
（Ⅲ）任取 x1, x2  R ，且 1x < x2 ，则
f x(1 )  f x(2 )  f ((x1  x2 )  x2 )  f x(2 )  f x(1  x2 ) f x(2 )  f x(2 )
 [ f x(1  x2 ) 1] f x(2 )
由已知条件及（Ⅰ），（Ⅱ）可知， f (x2 )  0 .
又因为 1x < x2 ，所以 x1  x2 < 0 .所以 f x(1  x2 ) 1 . 所以 f x(1  x2 ) 1  0 .所以[ f x(1  x2 ) 1] f x(2 )  0 . 所以 f x(1 )  f x(2 ) .
所以函数 f (x) 的是 R 上的减函数.
当 f (lg(a2  2a  3)) 1 时，不等式转化为 f (lg(a2  2a  3))  f (0) . 因为函数 f (x) 的是 R 上的减函数，
所以不等式 f (lg(a2  2a  3))  f (0) 转化为
2 2
lg(a  2a  3)  0, 即 a  2a  3 1, 即 1 5  a 1 5,
a2  2a  3  0. a2  2a  3  0. a  1或a  3.

所以实数 a 的取值范围是1 5  a  1或3  a 1+ 5 . 分
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