2023-2024学年安徽省六安市九年级上学期期末综合卷数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市九年级上学期期末综合卷数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，四象限，则，一次函数经过第一，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2. 若，则锐角满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，
，
，
故选：B．
3. 若某圆弧所在圆半径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
4. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，
∴二者的取值范围相同，符合题意；
、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，
∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，
∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，
∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
故选：．
5. 抛物线过点，则一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的对称轴为，与x轴交于点，设另一交点为，
∴，得．
于是的解是；
故选：A
6. 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该抛物线的解析式为，
由题意可得，点A的坐标为，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，，
∴这两盏灯的水平距离是：（米），
故选：A．
7. 如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，，，
∴，，
∴，，即：，
∵，，，
∴，解得：，
故选：C．
8. 如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A. 4厘米B. 5厘米C. 6厘米D. 8厘米
【答案】C
【解析】设正方形的边长为x．
∵正方形得，
∴，即，
∵，
∴．
∵
∴
∴．
∵
∴，即，
∵ ，
∴，解得．
故正方形的边长是6cm．
故选C．
9. 如图，在中，，点D、E分别在上，交于F，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过作，交的延长线于，
∴，
在和中，∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）

A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①③
【答案】D
【解析】为正方形，
，，
，
，
.
,
,
，
，
.
平分，
.
，
.
，
，
垂直平分，
故①正确.
由①可知，，，
，
，
，
由①可知，
.
故③正确.
为正方形，且边长为4，
，
在中，.
由①可知，，
，
.
由图可知，和等高，设高为，
，
，
，
故④不正确.
由①可知，，
，
关于线段的对称点为，过点作，交于，交于，
最小即为，如图所示，

由④可知的高即为图中的，
.
故②不正确.
综上所述，正确的是①③.
故选：D.
二、填空题（共20分）
11. 若锐角x满足，则x为 ________．
【答案】
【解析】，
，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，的顶点都在上，点为上一点，且点不在上，则的大小为_______．
【答案】30
【解析】连接，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴三角形为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：30．

13. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则该反比例函数的表达式是_____

【答案】
【解析】过作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
设，则，
∵点在反比例函数上，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∴该反比例函数表达式，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，过E作，交边于点F，以，为邻边作矩形．
（1）当时，则的长为______________；
（2）点H在上，且，连接，则长的最小值是______________．
【答案】
【解析】（1）如图，过点E作于点M，延长交于点N，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）如图，连接并延长交的延长线于L，
根据解析（1）可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最小，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
三、解答题（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分）
15. 计算：
解：原式
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
（1）面积是______；
（2）以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴右侧画出；
（3）请用无刻度直尺在边上画一点，使得，并保留作图痕迹．
解：（1）的面积．
故答案为：4；
（2）如图，为所作；
（3）如图，构造等腰直角三角形，取格点T，连接交一点P，点即为所求．
理由：由作图可知，
17. 《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．
解：连接，设的半径为r，
∵是的直径，，∴，，
在中，根据勾股定理得，
∴，解得，∴，即直径的长为寸．
18. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）的面积为______；
（3）直接写出时x的取值范围．
解：（1）把代入反比例函数得：m=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
19. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边AB、上，交AD于点．
（1）当点恰好为AB中点时，______．
（2）若矩形的周长为，求出的长度．
解：（1）∵为中点，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
∴四边形为矩形，
∴，，
∵矩形的周长为
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴．
20. 如图，AB是的直径，C是圆上一点，，垂足为E，交于点D，点P在AB延长线上，连接、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求点B到距离．
（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：（舍去），
∴．
21. 如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空： ， ；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度．
解：（1）过点A作于点E，
由题意得：
∴，，
（2）由题意得：米，米．
在中，，
∴，
∴，∴楼的高度为米．
（3）作于点G，交于点F，
则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴米．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
22. 已知二次函数的图像与x轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．
（1）若，求的值．
（2）点，，是二次函数图像上三个不同的点．
①当时，求的值；
②当时，求的取值范围．
解：（1）令，解得，，
又点在点的左边，
点，点，
，且，
点的坐标为，
当时，，解得．
（2）①由题意，可知抛物线的对称轴为直线，
，
点，关于直线对称，
，解得，
②点关于对称轴直线对称的点为，
结合函数图像， ，
，
，且，
点在对称轴右侧，
又，且在对称轴右侧，随的增大而增大，
，即，
综上所述，当时，的取值范围是．
23. 阅读下面材料：
小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点D在边上，与相交于点P．

（1）小波发现，，过点C作，交的延长线于点F，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为______．
（2）参考小波思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在中，点D在的延长线上，，点E在上，且，求的值；
②如图4，在中，点D在的延长线上，，点E在上，且，求出的值．
解：（1）如图2，过点作，交的延长线于点，

，，
为边的中线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①如图3，过作，交延长线于点，

，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
；
②如图4，过作交于，

，
，
设，，
，
，
，
，
．