2023~2024学年安徽省六安市九年级上学期期末综合数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年安徽省六安市九年级上学期期末综合数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共40分）
1. 下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由选项可知：B、C、D选项开口都是向下的，只有A选项的开口向上；
故选：A．
2. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线
C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】，
函数图象与轴的交点坐标为，，
函数图象的对称轴为直线，
故选：．
3. 若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】∵，
∴，且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
故选：D．
4. 若点、、都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，，
图像分布在一，三象限，且横坐标、纵坐标符号相同，在同一象限内，y随x的增大而减小，
∴，，
∴，
故选：．
5. 在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A. 也扩大10倍B. 缩小为原来的
C. 都不变D. 有的扩大，有的缩小
【答案】C
【解析】根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，锐角A的三角函数值不变．
故选C．
6. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是12，则四边形的面积为（ ）
A. 16B. 20C. 36D. 40
【答案】B
【解析】由题意可知：，
，，
，，，
，，
阴影部分的面积是12，
，
，
；
故选：B．
7. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连结交于点，若的面积为4，则四边形的面积等于（ ）
A. 50B. 35C. 31D. 20
【答案】C
【解析】∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
设高的公比为k，底的公比为m，
∴，，，，
∵的面积是4，
∴，即，
∴，
∴四边形的面积是：，
故选：C．
8. 如图，在中，，，点是上一点，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，，，
∴
∴
由勾股定理得，
过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，．
故选：B．
9. 如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，点A(1，1)，AB∥x轴，且AB=3，AD=2，若反比例函数y=与矩形ABCD有交点，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵A（1，1），AB=3，AD=2，
∴B（4，1），D（1，3），C（4，3）．
反比例函数y=图象经过点A时，k=1×1=1，
反比例函数y=图象经过点C时，k=4×3=12，
所以，反比例函数y=与矩形ABCD有交点，则k的取值范围是1≤k≤12；
故选：D．
10. 如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，与交于点M，与交于点N，下面说法正确的有（ ）
①； ②；③； ④若，，则．

A. ①②③B. ①②④
C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】是角平分线，
，
是高，
，
，
，
，故①正确；
是角平分线，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，故③错误；
如图，过点E作于点H，

是角平分线，，，
，
，
，
，故④正确，
综上所述正确的有：①②④，
故选：B．
二、填空题（共20分）
11. 如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝______．
【答案】17
【解析】二次函数的顶点在x轴上，

解得：
12. 如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，他在17：00时测量树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为_________m
【答案】9
【解析】设AB＝x，在Rt△ABC中，由∠ACB＝60°

在Rt△ABD中，由∠ADB＝30°

则CD＝BD－BC＝x－x＝6，


则可得树的高度AB＝9m.
13. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为______．
【答案】
【解析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：
则，
∴四边形是矩形，
，
把代入反比例函数的解析式得，
，
双曲线图像在第一象限，
，
，
，，
，
，
双曲线经过B，
整理得：，
解得：（舍），
故答案为：．
14. 在中，，是的角平分线，平分交于I，问：（1）________；（2）若，，则________．
【答案】 3
【解析】（1）∵是的角平分线，平分，
∴，，
∴
；
（2）如图，连接，
∵是的角平分线，BI平分，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
又，∴，
∴，即，∴，
∴，
故答案为：，3．
三、解答题（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分）
15. 计算：．
解：原式，
，
=1．
16. 已知，其中与成正比例，与成正比例，且当时，，当时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）求出该函数与坐标轴的交点坐标．
解：（1）根据题意可设，，
则．
∵当时，，当时，，
∴，解得：，，
∴与的函数关系式为；
（2）对于，令，则
∴该函数与轴交点坐标为，
令，则，解得：，，
∴该函数与轴交点坐标为，．
17. 已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，﹣1），C（3，0）．
（1）在图1中，画出以点O为位似中心，放大△ABC到原来的2倍的△A1B1C1；
（2）若P（a，b）是AB边上一点，平移△ABC之后，点P的对应点P'的坐标是（a+3，b﹣2），在图2中画出平移后的△A2B2C2．
解：如图：
△就是所求作的三角形，△就是所求作的三角形.
18. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点．
（1）直接写出不等式的解集；
（2）分别求出两个函数的解析式；
（3）连接，求的面积．
解：（1）由图象可知，当时，或；
（2）由过点和可得：，解得：，
故，
又由过点和可得：，解得，
故．
（3）如图，连接，
由过点，可知，
故，
．
19. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统，它极大的方便了航海时轮船的定位． 如图，灯塔B位于港口A的北偏东方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为9km． 一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，这时，D处距离港口A有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，）

解：延长交直线于点E，则，
在直角三角形中，，
∴，，
∵，
∴，
则在直角三角形中，∵，
∴，
∴km；
答：D处距离港口A32km．

20. 如图，在中，点是中点，点是射线上的一点．连接并延长交AB于点．

（1）若，则_________；
（2）求证：．
解：（1）在中，点是中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）如图所示，过点作交于点，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
21. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？
解：（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，
解得：（舍去）或．
∴当时他应该带球向正后方移动米射门，才能让足球经过点O正上方处．
22. 已知关于x的二次函数(实数b，c为常数)．
（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
（2）若，，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的取值范围．
解：（1）将点代入得：，
二次函数的对称轴为，
，解得，
则此二次函数的表达式为；
（2）∵，，
，
∴顶点的横坐标为：，
顶点的纵坐标为：，即，
∴当时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为.
（3）由（1）可知，，
由得：，即，
令，
它的对称轴是直线，且开口向上，
∴在内，随的增大而增大，
要使得当时，总有即，则只需当时，即可，
因此有，
解得．
23. 如图，在中，，，M为上一点，，D为边上一点（不与A，B重合），作，使交的边于点N．

（1）如图1，点N在上时，
①求证：；
②若，求的长；
（2）若，请直接写出的长．
解：（1）①∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②∵在中，，，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，即，
解得；
（2）如图，设交射线于点E，

∵，
∴，，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得，
∴点E在的延长线上，
设与交于点N，过D作交于F，
则，，
∴，，
∴，则，
∵，
∴，
即的长为3．