2024年数学高考一轮复习函数的性质试卷

这是一份2024年数学高考一轮复习函数的性质试卷，共28页。试卷主要包含了单调函数的定义，单调区间的定义，复合函数的单调性，性质法等内容，欢迎下载使用。

一．函数单调性的定义
1.单调函数的定义
2.单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3.复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
二．函数的最值
三．函数的奇偶性
四．函数的周期性
1.周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
函数的对称性
1.对称性：若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2.对称中心：f(－x＋b)＋f(x＋b)＝2a，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,a)中心对称．
一．判断函数单调性常用的方法
1.定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论．
2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间)．
4.性质法：
①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)的增减性进行判断；
②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断．
5．在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．
6．复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．
易错点：求函数的单调区间,首先需要求函数的定义域.
二．利用单调性求参数的范围(或值)
1.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
2.若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小．
3.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
4.求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
5.利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
三．判断函数的奇偶性
1，定义法
2.图象法
3.性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
四．函数奇偶性的应用
1.求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式区间上的函数值．
2.求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
3.求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
4画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
5.求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
考法一 具体函数的单调区间
【例1-1】（2023云南）下列函数在R上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误；
在R上为增函数，选项B正确；
在上单调递减，故选项C错误；
在单调递减，在单调递减，故选项D错误.故选：B.
【例1-2】（2023·云南·校联考二模）函数的单调递增区间为____________．
【答案】/
【解析】由题得函数定义域为，
所以在上单调递增，又，所以当时，，
故的单调递增区间为（或）．故答案为：
【例1-3】（1）（2023·江西）函数的单调增区间是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
（2）（2022·广东）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
（3）（2022秋·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）B（3）D
【解析】（1）由，
则为偶函数，的图像关于轴对称.
当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；
则当时，在递增，在递减，
则有的递增区间为.
故选：C
（2）如图所示：
函数的单调递增区间是和．故选：B.
（3）因为，所以的增区间为，故选：D.
【例1-4】（2022·全国·高三专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】要满足，解得：或，又是增函数，所以只需求出的单调递增区间，的对称轴为，且开口向上，结合函数的定义域可得：的单调递增区间为故选：D
【一隅三反】
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，则，
令，解得，故函数的单调递增区间为.故答案为：.
2．（2023·西藏林芝）函数的单调递增区间是
【答案】
【解析】函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增。
3．（2023·江西）函数的单调减区间为______.
【答案】
【解析】函数中，，解得或，即函数的定义域为，
在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为.
故答案为：
4．（2023北京）已知函数，则下列结论正确的是
①递增区间是 ②递减区间是③递增区间是 ④递增区间是
【答案】④
【解析】因为函数，作出函数的图象，
如图所示：由图可知，递增区间是，递减区间是和．．
5（2022·山东）函数的单调减区间是_______．
【答案】
【解析】令，则
∵，∴在上单调递减
作出的图象
由图象可以在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减故答案为：.
考法二 函数单调性的应用
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“函数在为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由题意可得为减函数，则，解得.
因为推不出，，
所以“”是“函数在为减函数”的必要不充分条件，故选：B
【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．（1，3）；B．（2，3）；
C．；D．；
【答案】D
【解析】在上为严格增函数，，解得.
即实数的取值范围是.故选：D
【例2-3】（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数在上是减函数，
当时，恒成立，
而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，
因此，并且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【一隅三反】
1．（2023·广西）已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）B．（-∞，1]C．[-1，+∞）D．（-∞，-1]
【答案】A
【解析】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以.
故选：A
2．（2023·北京）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函数在区间上单调递减，得在区间上单调递减，
所以，解得.结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.故选：C.
3．（2023·湖南）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】显然当时，为单调减函数，
当时，，则对称轴为，
若是上减函数，则 解得，
故选：A.
4．（2023·河北）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以，则的取值范围为.故选：B
考法三 判断函数的奇偶性
【例3】（2023安徽）判断下列函数的奇偶性：
； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【答案】（1）是奇函数．（2）既是奇函数又是偶函数．（3）是偶函数（4）是奇函数．（5）是偶函数
【解析】（1）对一切恒成立，
且，即，
∴是奇函数．
（2）由题意，得即．函数的定义域为，此时．所以既是奇函数又是偶函数．
（3），
，所以为偶函数．
（4），即，此时．原函数可化为，
为奇函数．
（5）∵，
∴．所以为偶函数．
【一隅三反】
（2023·广东潮州）判断下列函数的奇偶性．
(1)； (2)； (3) (4)； (5)． (6)；
(7)； (8)．
【答案】(1)非奇非偶函数(2)奇函数(3)偶函数(4)既是奇函数又是偶函数(5)奇函数(6)奇函数
(7)既不是奇函数也不是偶函数(8)偶函数
【解析】（1）函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．
（2）f(x)的定义域为，关于原点对称．，所以为奇函数．
（3）的定义域为，且关于原点对称，
当时，，则；
当时，，则，故是偶函数．
（4）由得x2=3，解得x=±，即函数f(x)的定义域为，
从而f(x)=＋=0.因此f(－x)=－f(x)且f(－x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(5)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)=lg2[－x＋]=lg2(－x)=lg2(＋x)－1=－lg2(＋x)=－f(x)，故f(x)为奇函数．
（6）的定义域为.因为，所以是奇函数.
（7）的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（8）的定义域为.
因为,
且，所以，
所以，所以，所以是偶函数.
考法四 函数奇偶性的应用
【例4-1】（1）（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知为奇函数，当时，，则当时，
（2）（2023山西）已知是偶函数，当时，，则当时，_________
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，，因为当时，，所以①，
又因为为奇函数，所以②，结合①，②得，，则.
（2）由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
【例4-2】（1）（2022·广东深圳 ）若是奇函数，则实数___________.
（2）（2023·江西·校联考二模）设，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（3）（2022·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，则______．
【答案】（1）（2）A（3）1
【解析】（1）定义域为，且为奇函数，，解得：；
当时，，，
为上的奇函数，满足题意；综上所述：.故答案为：.
（2）若为奇函数，则，，
解得，经检验，符合题意，“”是“为奇函数”的充分不必要条件.故选：A．
（3）函数为偶函数，则有，
即恒成立则恒成立
即恒成立则，经检验符合题意.故答案为：1
【例4-3】（1）（2023·吉林）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
（2）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
（3）（2023·全国·模拟预测）定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）D（3）D
【解析】因为，所以是奇函数，
当时，是增函数，此时，又，
所以在R上是增函数．又因为，，
所以可化为所以，解得．故选：B
（2）由得，即函数的定义域为．
因为，
所以为上的偶函数，
当时，，
因为函数在上单调递减,所以在上单调递减，
又都是在上单调递减，
根据单调性的性质，可知函数在上单调递减，
又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增，
又，所以，可得，
所以，且，解得或，
所以不等式的解集为.故选：D
（3）设，，则，
因为所以在上是奇函数，
因为，所以在上是增函数，
因为，所以，即，
由在上是增函数得，，解得，故选：D．
【例4-4】（2022·江苏 ）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，即，
所以，又，
所以，而递增，
故故选：D
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．
【答案】
【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，，
设，则，则，所以.
综上所述，.故答案为：
2．（2023·广东·高三统考学业考试）函数是偶函数，当时，，则________.
【答案】
【解析】因为当时，，所以当时，，所以，函数是偶函数，所以，所以，故答案为：.
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，则“”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】函数的定义域为R，关于原点对称，
当函数为偶函数时，，即，整理，得，
由，解得.又，得，所以“”是“函数为偶函数”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知偶函数在上单调递增，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由偶函数的对称性知：在上递增，则在上递减，
所以，故，可得，所以不等式解集为.故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，
，
所以函数为上的奇函数，
又，仅当x = 0时等号成立，
所以函数为上的增函数，
又，即，则，
所以，则，即，解得或，
实数的取值范围是.
故选：A
6．（2023·陕西·统考一模）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，且在上单调递增，所以函数在上也单调递增，
又因为，所以，不等式等价于或，
即或，得到．故选：D．
7．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，
由得，故 为偶函数，
当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得,故选：C
8（2022·江苏 ）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，即，
所以，又，
所以，而递增，
故故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，定义域关于原点对称，
，所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递增，所以,
所以在上单调递增，又因为为偶函数,
所以在上单调递减，
又因为,所以,
又因为,因为,，所以,
所以，即,所以,所以,即.故选：A.
考法五 函数的周期性和对称性
【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）奇函数满足，当时，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知奇函数满足，是以4为周期的奇函数，
又当时，，， 故选：A.
【例5-2】（2022·安徽蚌埠·一模）已知定义在上的偶函数满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意, 函数满足, 则,
又由为偶函数，则有,则有, 即函数是周期为4的周期函数,，令可得.
，，所以故选：B
【例5-3】（2022·吉林·梅河口市第五中学）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵为偶函数，∴，即函数关于对称，
又函数在上单调递增，∴函数在上单调递减，由，可得，整理得，，解得或.故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·江西南昌·统考二模）是以2为周期的函数，若时，，则________．
【答案】
【解析】因为是以2为周期的函数，若时，，所以.故答案为：.
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）请写出一个图像关于点对称的函数的解析式_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】的图象关于原点对称，则的图象关于点对称．同样如函数也满足题意．
故答案为：（答案不唯一）．
3．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【解析】因为是定义在R上的奇函数，则，且，
又为偶函数，则，即，
于是，则，即是以为周期的周期函数，
由，得，，
，，
所以.
故选：D
4．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）（多选）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（ ）
A．为奇函数B．C．D．
【答案】BCD
【解析】因为为奇函数，所以，故
又，所以，故，
所以，为偶函数，A错误；
为奇函数，所以，，所以，B正确；
，又的图象关于点对称，所以，所以，C正确；
又，所以是以4为周期的函数，
，D正确．故选：BCD．
考法六 函数性质的综合运用
【例6-1】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）（多选）已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（ ）
A．B．周期
C．在单调递减D．满足
【答案】AC
【解析】由，可得的对称轴为，所以
又由知：，
因为函数图像关于对称，即，故，
所以，即，
所以，所以的周期为,所以，所以，故A正确，B错误；
因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，
又图像关于对称，所以在上单调递增，
因为关于对称，所以在上单调递减，
又因为关于对称，可得函数在单调递减，故C正确；
根据的周期为，可得，
因为关于对称，所以且，
即，
由函数在上单调递减，且关于对称，可得在上单调递增，
确定的单调区间内均不包含，若，
所以不正确.故选：AC.
【例6-2】（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，得的图象关于直线对称，
且，由得，
所以，即，则，
所以函数的一个周期为6，则，
当时，，又的图象关于直线对称，
所以，
由得，的图象关于点对称，
又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又，
所以，
所以.
故选：A
【例6-3】（2023·四川成都·校考三模）已知函数,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数，
所以，令， 可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上单调递增，
又由，
所以函数为偶函数，则在上单调递减，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知偶函数与奇函数的定义域均为R，且满足，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．f（1）=3
C．g（x）=-g（x+3）D．
【答案】AD
【解析】由，将换为知，故A对；
，奇函数中，
则，，由为偶函数，，故B错；
，，
又，，
，，故C错，
，则，即.
，，
，即，
为偶函数，，
①，②
由①②知，故D对.
故选：AD.
2．（2023·贵州黔西·校考一模）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）
A．3B．2C．0D．50
【答案】C
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，且，
又的图象关于对称，则，
即①，则，，
在①中，令，得，
则，所以函数的周期为，即，
则有，
所以
，
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则､､的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称，
所以函数为上的偶函数，
又因为对任意恒成立，则函数的周期为4，
又因为对于互不相等的任意，都有，
且当时，，所以对任意，则，
故有，所以函数在上单调递增，
则有，，，因为函数在上单调递增，
则，即，
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．的一个周期为3
C．在上单调递增D．
【答案】ABD
【解析】对于A项，因为当时，，所以，
又因为，所以令，则，所以，故A项正确；
对于B项，根据得，
所以，
所以，所以该函数的一个周期为3，故B项正确；
对于C项，因为，所以，
当时，则，又因为当时，，所以，
所以，，
又因为在上单调递减，
所以由单调性性质可得在上单调递减，故C项错误；
对于D项，由A项知，，，
因为，
所以令得，解得：，
由B项可得，
所以，
又因为，
所以结合周期性可得，故D项正确．
故选：ABD.条件
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有f(x1)f(x2)
结论
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增
那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数
图示
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M
(2)∃x∈I，使得f(x)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
(2)∃x∈I，使得f(x)＝M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且
f(－x)＝f(x)
关于y轴对称
奇函数
f(－x)＝－f(x)
关于原点对称
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
f(x)g(x)
f(g(x))
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
同性加减不变性，异性加减非奇偶
同性乘除为偶
异性乘除为奇
复合函数有偶为偶，两奇为奇