2024-2025学年黑龙江省牡丹江市宁安市高一上学期11月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省牡丹江市宁安市高一上学期11月月考数学检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，若，则，已知函数的图象经过点，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第四章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，，则
4．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．如果函数和都是指数函数，则（ ）
A．B．1C．9D．8
6．若，则（ ）
A．5B．7C．D．
7．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．，
B．至少有个，使能同时被和整除
C．，
D．每个平行四边形都是中心对称图形
10．已知函数的图象经过点，则（ ）
A．的图象经过点B．的图象关于y轴对称
C．在定义域上单调递减D．在内的值域为
11．下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为2
C．的最小值为4
D．的最小值为2
12．已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，若，则a的值为 ．
14．函数的定义域为 .
15．某单位建造一个长方体无盖水池，其容积为，深3m.若池底每平米的造价为150元，池壁每平米的造价为120元，则最低总造价为 元.
16．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
18．已知命题，，命题，.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
19．已知，，且.
(1)求ab的最小值；
(2)求的最小值.
20．已知幂函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)试判断是否存在正数，使得函数在区间上的最大值为5，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
21．已知函数（且）.
(1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
(2)解关于x的不等式.
22．已知函数为常数．
(1)当时，判断在上的单调性，并用定义法证明
(2)讨论零点的个数并说明理由．
1．C
【分析】根据题意直接可得集合中只有元素2，由交集的定义可得答案.
【详解】由集合
则.
故选：C
2．B
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，即，因此，.
故选：B.
3．D
【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断.
【详解】当，时，，故A错误；
当时，，故B错误；
∵，，显然不能得到，
例如当，时，，故C错误；
若，，则，故D正确.
故选：D.
4．A
【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.
【详解】由且，必有且；
当且时，如，不满足，故不一定有且．
所以“且”是“且”的充分不必要条件．
故选：A．
5．D
【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可.
【详解】根据题意可得，，则.
故选：D
6．C
【分析】对两边平方化简可求出的值，然后对变形，分子分母同除以，再代值可得答案.
【详解】因为，两边平方得，即，
所以原式.
故选：C.
7．A
【分析】首先不等式的解集是,可知，且且,然后将不等式化为,则可得出不等式解集.
【详解】因为的解集是，所以且，由，得，即，解得，即关于的不等式的解集是.
故选：A.
8．B
【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加
【详解】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次，
则对的所有非空子集中元素执行乘再求和，
则这些和的总和是．
故选：B.
9．AB
【分析】AB选项，可举出实例；
C选项，根据所有实数的平方非负，得到C为假命题；
D选项为全称量词命题，不合要求.
【详解】中，当时，满足，所以A是真命题
B中，能同时被和整除，所以B是真命题
C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题
D是全称量词命题，所以不符合题意.
故选：AB．
10．AD
【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．
【详解】将点的坐标代入，可得，
则，
所以的图象经过点，A正确；
根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，
函数在内的值域为，故BC错误，D正确，
故选：AD．
11．AC
【分析】对A考虑运用算术平均数大于等于几何平均数验证；对于BCD，运用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原则判断即可.
【详解】，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
当时，，故B错误；
，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误.
故选：AC.
12．CD
【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.
【详解】函数的图象图所示：
设，因为，
所以，
当时，，时，，
所以，即.
故选：CD
13．
【分析】利用集合的包含关系列方程即可求解.
【详解】当时，即.当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意.
当时，，不合题意，舍去.
故．
故-2.
14．
【分析】根据分式函数和根式函数，由求解.
【详解】解：由，
解得，
所以函数的定义域为.
故
15．8160
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】设长，宽，∴，
∴，
总造价.
当且仅当时取得等号.
故8160
16．
【分析】根据函数为幂函数及其单调性可求得的值，求出函数在上的值域，以及函数在上的值域，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是幂函数，则，，
在上单调递减，则，可得，
，在上的值域为，
在上的值域为，
根据题意有，的范围为.
故答案为.
17．(1)
(2)4
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；
（2）利用对数运算性质计算出答案.
【详解】（1）原式=；
（2）原式.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为对恒成立，即可求的取值范围；
（2）求命题q为真命题时的取值范围，再求两个集合的并集.
【详解】（1）若命题p为真命题，则对恒成立，因此，解得.
因此，实数m的取值范围是.
（2）若命题q为真命题，则，即，解得或.
因此，实数m的取值范围是或；
若命题p，q至少有一个为真命题，
可得或或.
所以实数的取值范围或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.
【详解】（1）因为，所以，所以，
所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为；
（2），
当且仅当即即时，等号成立，
所以的最小值为.
20．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据函数是幂函数，则，并检验，即可；
（2）化简得，求出对称轴，分，两种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.
【详解】（1）由题知，，解得或，
当时，，满足，
当时，，不满足，
所以.
（2）.
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，
解得，不合题意；
当时，在区间上递增，
所以，解得.
综上所述，存在正数，使得在区间上的最大值为5.
21．(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；
（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集.
【详解】（1）因为在上为单调函数，
且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，
所以，解得或.
（2）因为函数是上的减函数，
所以，即，
当时，，原不等式解集为；
当时，，原不等式解集为.
22．(1)单调递减，证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由单调性的定义证明，
（2）由换元法与二次函数性质分类讨论求解，
【详解】（1）当，且时，是单调递减的．
证明：设任意，则，
，，，，
，，故当时，在上是单调递减的
（2）令，可得，令，，则，
记易知在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，，此时，无零点，故无零点
当时，恰有一个零点，故有一个零点
当时，若，令，解得，若，又，
此时由二次函数性质可知，在上有一个零点，
因此，当时，有个零点，有个零点
当时，若，则，即在无零点，若，又，
此时由二次函数性质可知，在上有一个零点，
因此，当时，有一个零点，即有一个零点．
综上所述，当时，无零点当或时，有1个零点当时，有个零点．