辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，二十六指出了三角形田面积算法，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是( )
A.B.，，两两垂直
C.D.
2．直线与圆的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.与有关
3．在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作，其中甲部件的可靠度为0.9，乙、丙部件的可靠度均为0.7，而且甲、乙、丙互不影响，则系统的可靠度为( )
D.0.9
4．抛物线的准线方程是( )
A.B.C.D.
5．某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有( )
A.14种B.16种C.18种D.20种
6．已知的展开式中，常数项为135，则a的值为( )
A.2B.2或C.3D.3或
7．《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有( )
A.48种B.96种C.102种D.120种
8．已知抛物线的焦点为F，圆与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l，直线l交抛物线E于点N，则周长的取值范围是( )
A.B.C.D.
9．从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用X表示所选5人中女生的人数，用Y表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
10．如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线l与平面所成角的大小为，则( )
A.B.C.D.
11．已知点M是圆上的动点，点B为，线段的垂直平分线交直线于点P，点Q为，则下列结论正确的是( )
A.若，且圆C与圆A外切，与y轴相切，则点C的轨迹为抛物线
B.若，动点P的轨迹是双曲线的右支
C.若，D，E在圆A上运动，且，F为线段的中点，则点F的轨迹是圆
D.若，动点P的轨迹是椭圆
二、填空题
12．某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩X近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在108~140之间的人数约为________.
13．已知椭圆的焦点分别为，，过椭圆外一点和右顶点M的直线交椭圆于另一点N，若，则椭圆的离心率为________.
三、双空题
14．有一种运算，三个互异的数a，b，c运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设n个互异的数的不同运算方法共有种，则________，________.（用数字作答）.
四、解答题
15．已知抛物线与过点直线l相交于A、B两点，点O为坐标原点.
(1)求的值；
(2)若的面积等于3，求直线l的一般方程.
16．若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且.
(1)求的系数；
(2)求的值.
17．某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛.
(1)比赛共需进行多少场？
(2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为X，
（i）求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率.
18．如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为F，G，H.
(1)画出过点F，G，H的截面（不必写出证明过程）；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若M是(1)中过点F，G，H的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的M点轨迹的长度.
19．已知，，动点P满足，
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设在P点处曲线C的切线为，若M，N为l上两点，且满足，，
（i）证明：N点在定直线上，并求出定直线方程；
（ii）是否存在点P使成立，若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，，则，共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与，共面，故A错误；
对于B，因为非零向量，，两两垂直，所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故B正确；
对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误；
对于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误.
故选：B.
2．答案：A
解析：由题可得，圆心为，又点满足直线方程，
即直线经过圆心，
所以直线与圆相交.
故选：A.
3．答案：C
解析：用A，B，C分别表示甲、乙、丙能正常工作，D表示系统能正常工作.
由题意知，系统能正常工作时，可分为三个互斥事件：
甲、乙、丙都正常工作，即；甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即；
甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即.因此.
因为甲、乙、丙互不影响，所以A，B，C相互独立，
而且，，.
由互斥事件概率的加法公式以及独立事件的概率公式可知
.
故选：C.
4．答案：B
解析：的标准方程为，故准线方程为，
故选：B
5．答案：A
解析：从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况，
若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况，
故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种，
故选：A
6．答案：D
解析：展开式的通项公式为
，
令，可得，因此，展开式中的常数项为.
则，解得.
故选：D.
7．答案：B
解析：如图，设图中的六个区域分别为A，B，C，D，E，F，
按照A，E是否同色，分两类：
①A，E不同色，先给B，C涂色，有，再根据A，E是否用余下那种颜色分两种情况，
A，E不用第三种颜色，即A用C的颜色，E用B的颜色，D有种，F有种，则有种涂法；
A，E用第三种颜色，即A用第三种颜色，E用B的颜色，D有种，F有种，或E用第三种颜色，A用C的颜色，则有种涂法，
所以A，E不同色的涂法有：，
②A，E同色，先给B，C涂色，有，则A，E只能用第三种颜色，D有种，F有种，
所以A，E同色的涂法有：，
综上，不同的涂色方法有：种.
故选：B.
8．答案：C
解析：由，可得圆心，也是抛物线的焦点为F，如图，交抛物线的准线于H，根据抛物线的定义，可得，
故的周长为，
由，解得，
，且，
的取值范围为，，
的周长的取值范围为.
故选：C.
9．答案：CD
解析：由题意，从6名女生和8名男生中任选5人，
则所选5人中女生的人数X和男生的人数Y服从超几何分布，
即，，所以选项A错误，选项B错误；
又由超几何分布的均值公式，可得：
，，
所以，
，所以选项C，D正确.
故选：CD
10．答案：AC
解析：因为，分别是平面，的一个法向量，
设，所成角的大小为，所以，相等或互补，
所以，故A正确；所以，故B错误；
因为以为方向向量的直线l与平面所成角的大小为，
所以，故D错误，
因为，故C正确.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于A，由于圆C与圆A外切，与y轴相切，
故，其中d为圆心C到y轴的距离，因此圆心C到A的距离与到直线的距离相等，且圆心C不经过直线，故点C的轨迹为以A为焦点，以为准线在抛物线，A正确，
对于B，当时，，
由垂直平分线的性质可得，
如图，当M靠近左半圆时，，
当M靠近右半圆时，，
因此点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线，B错误，
对于C，连接，，，由于F为线段的中点，
故，又，故，
设，由，
即，化简可得，
即，故点F的轨迹是圆，C正确，
对于D，时，B在圆内，如图，此时，由垂直平分线的性质可得，故，因此点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，D正确，
故选：ACD
12．答案：900
解析：由题意可知，，
因为成绩X服从正态分布，
所以
所以跳绳成绩X在108~140之间的人数约为.
故答案为：900.
13．答案：/
解析：因为，，，可得为的中点，
又，所以N也是中点，
因为，则，代入椭圆方程可得，
所以，所以，
则离心率.
故答案为：.
14．答案：12；120
解析：此种运算方法是在排列的基础上加上括号的选择（括号内至少两个数）.
首先，（对一个排列，括号只有2种乘法），
对于，考查一个给定的排列如，共有如下几种此种运算方法，
，，，，，
共5种相乘方法，
又4个数的排列有，所以.
故答案为：12；120.
15．答案：(1)2；
(2)或
解析：（1）设，，由题意l的斜率不为0，
设直线l的方程为，
代入抛物线方程可得，，
由根与系数的关系可得，，
所以.
（2）记为点C，
由（1）有，
所以，
所以，解得：，
所以直线l的方程为：或.
16．答案：(1)180；
(2)
解析：（1）第3项与第9项的二项式系数相等，
则，解得，所以.
所以的展开式中项为：，所以.
（2）由（1）知，的展开式中，当时，，
由二项展开式可得：
所以，，，，，都是正数，，，，，都是负数，
所以
当时，，
所以.
17．答案：(1)14；
(2)（i）分布列见解析，；（ii）
解析：（1）第一轮，轮空一个队，其余14个队，共7个组比赛7场，第二轮8个队比赛4场，第三轮半决赛2场，第4轮决赛1场，故共有场比赛；
（2）（i）随机变量X的取值为1，2，3，4，
当，
，
，
，
所以X的分布列为：
；
（ii）设一号队参加比赛的场数为3为事件A，一号队获得冠军为事件B，
则，
由（i）知，，则，
即一号队在的条件下获得冠军的概率为.
18．答案：(1)答案见解析；
(2)
(3)
解析：（1）取，中点M，K，连接，，，则五边形为过F，G，H的截面，
理由，因为，，的中点分别为F，G，H.
所以，，
又平面，平面，
所以平面，平面，
又，且平面，所以平面平面，
由平面平面，所以，又的中点H.
所以K为的中点，同理可得M为的中点.
（2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，由题意可得，，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
由，，可得，又，
所以，又，所以，
所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）以D为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
又平面，所以平面的一个法向量为，
又因为二面角的余弦值为，
所以，
所以，两边平方得，
所以，解得或（舍去），
当时，，当，，
所以满足题意的M点轨迹的长度为.
19．答案：(1)；
(2)（i）证明见解析；
（ii）存在点P使成立，P点横坐标为4，理由见解析
解析：（1）因为，所以点P的轨迹是以，F为焦点的双曲线中靠近F点的一支，
且，，解得，，所以，
所以双曲线的方程为；
（2）（i）联立方程组，消去y，得，
整理可得①，
因为直线与曲线C相切，所以，
所以，所以，
将，代入①可得：，
解得，代入直线可得，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以直线的方程为，
联立方程组，所以，
所以，解得；
所以N点在定直线上，该定直线方程为；
（ii）存在点P使成立，P点横坐标为4，理由如下：
设直线l的倾斜角为，且，
因为，，且，
所以，，
由（i）可知，所以，
所以，
所以，所以，
整理得，又，，
所以，所以，
所以，解得或（舍去），
所以P点横坐标为4.
X
1
2
3
4
P