2025衡阳衡阳县四中高三上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2025衡阳衡阳县四中高三上学期1月期末考试数学含解析，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知F1,F2为椭圆C，已知MN是圆O等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．设集合A=x|lg2x−10的左右焦点，F1F2=4，点Q2,2在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则PQ⋅PF1的最大值为（ ）
A．4B．92C．5D．4+2
6．将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种.
A．4B．5C．6D．8
7．已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为3，高为23，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．32π3B．43πC．6πD．8π3
8．已知MN是圆O:x2+y2=4的一条弦，∠MON=60°，P是MN的中点.当弦MN在圆O上运动时，直线l:y=x−4上总存在两点A,B，使得∠APB为钝角，则AB的取值范围是（ ）
A．0,42−23B．42−23,+∞
C．0,42+23D．42+23,+∞
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0，fπ=−πb>0)，且c=3，
又△PF1F2的周长为2a+2c=4+23，即a=2，
所以b=a2−c2=1，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
（2）证明：（i）设P(x1,y1)(x1≠±2)，Q(x2,y2)，T(4,m)，
由（1）可知A(−2,0)，B(2,0)，
所以kAP=y1x1+2，kAQ=kAT=m6，
因为kBP=kBT，即y1x1−2=m2，所以m=2y1x1−2，
所以kAP⋅kAQ=y1x1+2×m6=y1x1+2×y13(x1−2)=y123(x12−4)，
又x124+y12=1，所以y12=14(4−x12)，
所以kAP⋅kAQ=−14(4−x12)3(4−x12)=−112；
（ii）因为直线PQ的方程为x=ty+n(n≠−2)，P(x1,y1)(x1≠±2)，Q(x2,y2)，
联立x=ty+nx24+y2=1，得(t2+4)y2+2tny+n2−4=0，
所以y1+y2=−2tnt2+4y1y2=n2−4t2+4，Δ=16(t2−n2+4)>0，
由（i）可知，kAP⋅kAQ=−112，即y1x1+2×y2x2+2=y1y2(ty1+n+2)(ty2+n+2)=−112，
所以y1y2t2y1y2+t(n+2)(y1+y2)+(n+2)2=−112，
即n2−4t2+4t2⋅n2−4t2+4+t(n+2)⋅(−2tnt2+4)+(n+2)2=−112，
化简得n2−44n2+16n+16=−112，解得n=1或n=−2（舍去），
所以直线PQ的方程为x=ty+1，
所以直线PQ经过x轴上的定点，定点坐标为(1,0)．