2025年中考数学一轮复习学案：1.4 二次根式（学生版+教师版）

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1.4 二次根式
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
夯实基础
考点1. 二次根式的有关概念及性质
1.二次根式的概念
我们把形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做_______．注意：a可以是数，也可以是式.
2.二次根式有意义的条件
要使二次根式eq \r(a)在实数范围内有意义，即需满足被开方数_____，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为_____。
3. 最简二次根式：_______所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4. 同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数______的几个二次根式，叫做同类二次根式．
5．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）(二次根式双重______)；
【解读】二次根式eq \r(a)中,a≥0且eq \r(a) ≥0, 即为二次根式的双重非负性。
1）正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2，(a≥0)．
2）若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
如：若a2+|b|+=0，则a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．中考经常出现利用这个性质来解决问题。
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【方法总结】归纳总结二次根式问题考点类型及解题方法（十分重要）
【类型1】判断根式是否是二次根式。判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“eq \r( )”；(2)被开方数是非负数．
【类型2】 根据二次根式有意义求字母的取值范围。含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【类型3】 利用二次根式的非负性求解。二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
【类型4】和二次根式有关的规律探究性问题。解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．
考点2. 二次根式的运算
1.二次根式的加减
（1）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为_____的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。
（2）二次根式的混合运算
1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
2.二次根式的乘除
乘法法则：；
除法法则：．
3.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
【补充拓展】分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的______化去，叫做分母有理化。
2.常见类型：
常见类型一：．
常见类型二：．
其中，我们称是的“有理化因子”，是的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。
4.熟记一些常见的有理化因式：
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是。
5.分母有理化十法
分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。
通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。
【二次根式加减乘除运算方法总结】
【类型1】被开方数相同的最简二次根式。根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．
【类型2】 二次根式的加减运算。二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．
【类型3】 二次根式的化简求值。化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．
【类型4】 二次根式加减运算在实际生活中的应用。利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．
【二次根式的乘法类型题及解题方法总结】
【类型1】 二次根式的乘法法则成立的条件。运用二次根式的乘法法则：eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．
【类型2】 二次根式的乘法运算。在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．
【类型3】积的算术平方根的性质。利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．
主要运用公式eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)和eq \r(a2)＝a(a≥0)对二次根式进行化简．
【类型4】二次根式乘法的综合应用。把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．
【二次根式的除法问题类型及解题方法总结】
【类型1】 二次根式的除法运算。利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．
【类型2】 二次根式的乘除混合运算。二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．
【类型3】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围。运用商的算术平方根的性质：eq \r(\f(b,a))＝eq \f(\r(b),\r(a))(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．
【类型4】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．
【类型5】最简二次根式。解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【类型6】二次根式除法的综合运用。解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．
考点3. 二次根式的估值
1．比较二次根式的大小方法
比较两个二次根式大小的方法：可_____为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
2.用有理数估算二次根式的大致范围
用有理数估算二次根式的大致范围时,一般采用“______”法,即用两个相邻数的平方与被开方数比较,若被开方数介于这两个相邻数的平方之间,则这个二次根式的值就在这两个相邻数之间,估算的精确度可由相邻数的精确度来确定.
3.二次根式估值一般步骤
（1）一般先对根式进行平方，如；
（2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4