2025届云南省昆明市高三上学期12月大联考数学试卷（解析版）

这是一份2025届云南省昆明市高三上学期12月大联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
，
所以.
故选：D.
2. 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为与在复平面内对应的点关于实轴对称，在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点为，
所以，所以.
故选：B.
3. 苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，知该圆锥底面圆的半径为，设该圆锥的母线长为，高为.
由，得，，所以该圆锥的体积.
故选：A.
4. 已知，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
又，所以，
所以
故选：C.
5. 已知向量，，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】设，，点在直线上运动，点在函数的图象上运动.作出直线与函数的图象，
函数，令，当x=2时，即，
，当时取最小值.
故选：B.
6. 下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数，，都有”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，令，，则，，不满足条件，故A错误；
对于B，令，则，，不满足条件，故B错误；
对于C，因为，求导得，
当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在单调递减，
所以，即，所以
即，所以，满足条件, 故C正确；
对于D，令，，则，不满足条件，故D错误.
故选：C.
7. 已知函数，若在区间上单调，在处取得最大值，且.将曲线向左平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】设函数最小正周期为，
因为在区间0,1上单调，在处取得最大值，且.
所以，所以.
又，
所以，.
又，所以，，
所以.
求函数在区间上的零点个数，
当时，；
当时，问题转化为求曲线y=gx与曲线的交点个数.
当时，取，得，，
所以曲线y=gx与曲线区间0,2上有2个交点，区间上无交点；
当时，取，得，结合图象，
知曲线y=gx与曲线在上有2个交点，
所以函数在区间上的零点个数为4.
故选：A.
8. 已知函数，，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数，得当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为.
当时，，，
所以在上单调递减.
又，，，
所以，所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据、、、、的第百分位数是
B. 若随机变量服从正态分布，，
则
C. 张彩票中只有张能中奖，现从中一次性抽取张，若其中至少有一张中奖的概率大于，则的最小值为
D. 已知数据、、、的平均数为，方差为，现加入和两个数，则这个数的方差
【答案】ACD
【解析】对于A，由，知数据、、、、的第百分位数为，故A正确；
对于B，由正态曲线的对称性知，
所以，故B错误；
对于C，由，得，可得，
解得，又因为，所以，的最小值为，故C正确；
对于D，新数据的平均数为，则新数据的平均数仍为，
由方差公式，得，解得，
则新数据的方差，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是
B. 有3个零点
C. 在上的最小值为
D. 在R上恒成立
【答案】BC
【解析】由，得.
由，得，经检验，满足题意，
所以，，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
对于A，由或得或，故A错误；
对于B，令，
得，，，故B正确；
对于C，结合的单调性及，，
得当时，，故C正确；
对于D，由，
得，，
所以，不满足在上恒成立，故D错误.
故选:BC.
11. 如图，已知圆，过原点作射线交圆于点（异于点），交直线于点（异于点），再以为圆心、线段的长为半径作圆与射线交于点，记点的轨迹为曲线.设，，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线上所有点的横坐标的取值范围是
B.
C. 曲线的方程为
D. 过点且与垂直的直线必与抛物线相切
【答案】ABD
【解析】对于A，当射线与轴非负半轴重合时，点与原点重合，此时，但A，B两点不重合，所以等号取不到.
当射线的倾斜角从0逐渐趋近于时，点位于直线左侧且无限趋近于该直线，即，故A正确；
对于B，由题图，知，，
所以，故B正确；
对于C，设Mx,y，则，，代入，得.
又，代入整理，得，故C错误；
对于，设，，则①，
设过点且与直线垂直的直线方程为，
即，
与联立，得，
结合①，得，
所以过点且与垂直的直线必与抛物线相切，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为______.
【答案】
【解析】由，得，
则.
又，所以所求切线方程为.
又切线与轴、轴分别交于点，，
所以所求的三角形面积.
故答案为：.
13. 甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为，没有平局，各局比赛的结果互不影响.约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束.设最终比赛局数为，则______.
【答案】
【解析】由题意，得若比赛局数为6，最终比分为4：2，则前两局双方各胜一局，
第3，4局双方各胜一局，最后两局甲全胜或乙全胜，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 过双曲线的左焦点作轴的垂线，为上一动点，已知，，若的最大值为，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】由题意及，得.
由已知可得，.
设，由对称性，不妨设，则，，

，
当且仅当时等号成立，
所以，所以，即，
解得，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知，.
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积.
解：（1）由题意及余弦定理，得，所以.
由，得.
又B∈0,π，所以.
（2）由（1），得，
所以.
又，所以，，，
所以的面积.
16. 如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.
（1）解：
由题意，得解得
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：由（1），知F1-1,0，延长交椭圆于点，
由及对称性，知，
所以.
当直线的斜率不存在时，易得，则.
当直线斜率存在且不为零时，设其方程为，
由得，，
设Ax1,y1，Bx2,y2，根据根与系数关系，得，
所以
，，
所以.
综上，为定值.
17. 已知函数.
（1）若，求证：；
（2）若且在上恒成立，求的最大值.
（1）证明：的定义域为，
当时，，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以.
（2）解：令，
则在上恒成立.
求导，得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增.
又，不符合题意，舍去.
当时，若，可得，所以在上单调递增，
若，可得，所以在上单调递减，
所以，
只需即可.
设，则，
所以在上单调递增.
又，所以当时，恒成立，所以.
又，所以的最大值为.
18. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接.

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若点，分别是直线，上的动点，求的最小值.
（1）证明：因为，，，是的中点，
所以，两边平方，得，
即，得，
所以.

又平面，所以，，两两垂直.,
如图，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，，，.
所以，，
所以，
所以.
（2）解：由题意，知平面的一个法向量是.
易得，.
设平面的法向量是n=x,y,z，则即
令，得，所以平面的一个法向量是，
所以，
由图，知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
（3）解：因为点N，Q分别是直线，上的动点，
设，，则，
所以.
设，，则，
所以，
所以
所以当，时，取得最小值，为.
19. 设数列是一个无限数列，若对于一个给定的正整数，不等式对每一个大于的正整数都成立，则称是阶友好数列.
（1）若，证明：是2阶友好数列，但不是1阶友好数列.
（2）若是1阶友好数列，为数列的前项和.
（1）证明： 因为，
所以要证是2阶友好数列，
只需证不等式对每一个大于2的正整数都成立，
只需证
对每一个大于2的正整数都成立，
只需证，即对每一个大于2的正整数都成立，
这是显然成立的，所以是2阶友好数列.
又，，，所以，所以不是1阶友好数列.
（2）解：因为是1阶友好数列，
所以对每一个大于1的正整数都成立，
即对每一个大于1的正整数都成立.
令.
①由上述过程，知，所以，
所以.
②要证，
只需证，
只需证
，
即证（*）.
当为奇数时，即证，
由，得，，，，
此时（*）式显然成立.
当为偶数时，即证，
由，得，，，，
此时（*）式也显然成立，
所以.