2025届广东省河源市五校高三上学期12月联合考试数学试卷（解析版）

这是一份2025届广东省河源市五校高三上学期12月联合考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，，，，则（ ）
A. p和q都是真命题
B. p和都是真命题
C. 和q都是真命题
D. 和都真命题
【答案】B
【解析】当x=1时，命题成立，所以命题p是真命题，命题是假命题；
当x=0时，命题不成立，所以命题q是真命题，命题是真命题.
故选：B.
2. 已知集合，，若且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为且，
所以，解得.
故选：A．
3. 已知点到抛物线的准线的距离为3，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为，
由题意可知，解得，
所以的焦点坐标为，
故选：B．
4. 已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，
所以，即，所以与的夹角为，
故选：A．
5. 记为非零数列的前项和，若，，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】在非零数列中，，由，，
得数列是等比数列，，
因此，所以.
故选：C
6. 已知过作与圆相切的两条直线，，切点分别为，，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】圆化为，
则圆心，半径，

由题意，知，解得（负值舍去），
在中，且，所以，解得，
故选：D
7. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
过作于，如图所示：

则由题可得，
设平面截得球的截面圆的半径为，
当EF在底面圆周上运动时，
到平面的距离
所以
所以平面截得球的截面面积最小值为，
故D正确；
故选：D.
8. 已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图像关于直线对称，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由为奇函数，知的图像关于点对称，则，
由，得．
由的图像关于直线对称，则的图像关于直线对称，
所以，，
综上，，
由上，，得，
所以，则4为的一个周期，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则的最小值为3
D. 若且，则，均为纯虚数
【答案】AC
【解析】对于A，由得，又，，
所以，A正确；
对于B，当，时，满足，但，B错误；
对于C，由，，得，C正确；
对于D，当，时，满足，但，均不为纯虚数，D错误．
故选：AC
10. 记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 满足的的最大值为
【答案】ABC
【解析】由，得，
即①，则，
又，所以，又，
若，则，，不合题意，
所以，则，，A正确；
结合①知，，所以，则，
又，所以，B正确；
由，得，所以，
由，所以，
由，所以，
所以，C正确；
由，得，所以，
由C知，，所以的最大值为，D错误.
故选：ABC
11. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（ ）（参考数据：）

A. 若，则的方程为
B. 若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上
C. 若，点在上，则
D. 当时，上第一象限内点满足的面积为，
则
【答案】ACD
【解析】已知原点在上，则，
设为上任意一点，
则有，
整理得．
若，则的方程为，故A正确；
若，则，代入方程得，显然点不在此曲线上，故B错误；
若，点在上，有，
整理得，所以，故C正确；
因，，可得，
所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点，
联立方程，解得，，即，所以，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是________．
【答案】125
【解析】将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98，
因为，所以这7人成绩的上四分位数是97，极差为，
故上四分位数与极差之和是．
故答案为：125
13. 在函数的图像与直线的交点中，任取两点与原点组成三角形，这些三角形的面积的最小值为，则________．
【答案】
【解析】原点到直线的距离为，
设交点，，且，
由，即，
点，相邻，且在的一条对称轴两侧时，，
此时，，，
两式相减，得，
所以．
故答案为：
14. 已知函数的最小值为0，则________．
【答案】
【解析】依题意，对于恒成立，且能取得等号，
即对于恒成立，且能取得等号，
函数在上单调递增，不等式为，
则，即，因此在上恒成立，且能取得等号，
设，于是是函数在上的最小值，
求导得，当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，且，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的内角，，所对的边分别是，，，
且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
解：（1）在中，，
又，所以，
由余弦定理得， 又，则.
（2）在中，，，
由余弦定理，得，即，解得或．
当，，时，可构成三角形，
此时的面积为；
当，，时，可构成三角形，
此时的面积为．
16. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
(1)证明：因为为等边三角形，为的中点，
所以．
过作，垂足为，
因为底面为直角梯形，，，，，
所以，则，
由得，所以
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．
因平面，所以．
又，平面，所以平面．
（2）解：由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，
令，则，
由（1）可知，轴⊥平面，
不妨取平面的法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．
（1）求E的方程；
（2）若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．
解：（1）设双曲线的半焦距为()，
，
由题可知，
，即，
又，
故E的方程为.
（2）如图，

由题可知，且直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
将方程和联立，得，
，
，
，,
直线与右支有交点，，
当时，取得最小值，且最小值为.
18. 已知函数，为的导函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若的两个极值点分别，
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
解：（1）当时，，
则，，
求导得，则，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）（i），依题意，是方程的两根，
即，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在0,+∞上单调递增，
则，
而当时，，且，方程有两根，
即直线与函数的图像有两个交点，
则，所以实数的取值范围为.
（ii）由（i）不妨设，
由图像知，当时，直线恒在曲线的下方．
下面证明：令，求导得，
设，求导得，
当时，φ'x