2025北京昌平初三（上）期末数学试卷和参考答案

这是一份2025北京昌平初三（上）期末数学试卷和参考答案，共15页。
数 学
2025．1
本试卷共 8 页，三道大题，28 个小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。考生务必将答案填涂或书写在答
题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请交回答题卡。
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图，在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°，那么 sinA 的值为
（A） 34
（B） 35
（C） 45
（D） 43
4 3
5A
（A）80° （B）50° （C）40° （D）60°
（A） ＝
AB DE
（B） ＝
AB DE
（C） ＝
AB BC
（D） ＝
2．如图，A，B，C 是⊙O 上的三个点，∠BOC＝100°，则∠BAC 的度数是
C
O
3．把二次函数 y  x2  2x  4 化为 y  a(x  h)2  k(a  0) 的形式，下列变形正确的是
B
AD BE
BE CF
BC EF
AC DF
DE EF已知点 A 在反比例函数图象上，过点 A 作 AB  x 轴于点 B ，若△AOB 的面积为 1，则此反比例函数的
表达式为
（A） y  2
（B） y   2
x
x
（C） y  1
（D） y   1
x
x
C
A
Fy
O B xB
O E
A
D
第 5 题图
第 6 题图
6．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，AB＝3，CE＝2，则△ABC 的周长为
（A）5 （B）7 （C）8 （D）10
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC∽△A’B’C’，且 A（1，0），B（2，0），A’（4，2），B’ （6，1），
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若△ABC 的面积为 1，则△A’B’C’的面积为
D
E
C Oy
C
A'
C'
A
B
B' x
PO A B
m
8．如图，⊙O 的半径为 23 ，AB 为直径，过 AO 中点 C 作 CD⊥AB 交⊙O 于点 D，连接 AD，BD，点 P
为半圆 AmB 上一动点，连接 PD，过点 D 作 DE⊥PD，交 PB 的延长线于点 E. 有如下描述
①∠ADB＝90°；
P 由点 A 向点 B 运动时，DE 的长增大；
E＝30°；
最长时为 6. 以上描述正确的有
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①③④
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9．函数 y  3x 的自变量 x 取值范围是 ．
10．把二次函数 y  2x2 图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位所得图象的二次函数表达式为 ． 11．某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图 1 所示，此时观测视线 与水平线的夹角为 °，若观测者与楼的距离 BN 为 10 m（如图 2），则可测算 MC 长为 m.
（结果精确到 0.1，3 ≈1.732）
O120
30
水平线
M
A
B
C
N
水平线
第 7 题 图
第 8 题 图
（A）
3
（B）3
（C）
5
（D）5
第 11 题 图 1
第 11 题 图 2
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12．精美的瓷器易碎，修补的技艺——“锔瓷”便应运而生(如图 1). 非凡的锔瓷技艺， 以巧夺天工般的神奇“魔法”使得瓷器“破镜重圆”的同时，也让器物所附属的那份特 定情感记忆得以传承，继续陪在人们身边. 如图 2 一件圆形瓷器破坏了一部分，测得圆形 瓷器的直径为 12cm，缺口 A，B 之间距离为 6 cm，则 AB 的长为 cm.B
A
图 1
图 2
13．已知二次函数 y  ax2  bx  3(a  0) 的图象经过点 A(－1，0) ，对称轴为直线 x 1 . 除点 A 外，请再 写出此函数图象经过的一个点坐标 .
C
A OA
B
-1y
x=1
x
D
C
A 45°
60° B
第 13 题 图
第 14 题
第 15 题 图

14．如图，在△ABC 中，∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝3 2 ，则 AB 的长为 .
如图一块矩形铁板 ABCD，其中 AD＝8m，AB＝2m，现需要将此铁板裁剪为直角三角形形状，且需要 以 AD 为斜边，直角顶点 E 在 BC 上，则 BE 长为 m.
某区域的快递网点位于 P 处，负责区域内 A、B、C、D、E 五个小区的配送业务，小区间有道路相连，
道路长度如图所示. 快递员每次配送任务都是从 P 处出发，所有快件配送完毕即完成任务，不用返回网点 P
处，此过程希望快递员的总路程尽可能短. 若某次配送任务只包含 B、C 小区，则配送的最短路程为
. 若某次配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为 .
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三、解答题（本题共 12 道小题，第 17~22 题，每小题 5 分，第 23~26 题，每小题 6 分，第 27~28 题，每小
题 7 分，共 68 分）
计算： 2sin 45(4 π)0 (12)1 1.
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D.
（1）求证：△ACD∽△CBD；
C

（2）若 CD＝ 3 ，BD＝1，求 AD.
DA
B
19．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(2，－3)，B(－1，n).
（1）若反比例函数 y  kx 的图象经过点 A 和点 B，求 k 和 n 的值；
（2）若反比例函数 y  mx 的图象与线段 OA 有交点，直接写出 m 的取值范围 .
A B
20．如图，⊙O 是边长为 4 的正方形 ABCD 的外接圆.
（1）求⊙O 的半径；
（2）求图中阴影部分的扇形 面积.
D C
O
–1
–5
5
4
y
x
已知二次函数 y＝x²－4x＋3.
（1）求该二次函数图象的顶点坐标，并在平面直角坐标系 xOy 中画出函数图象；
（2）若 1＜x＜4，直接写出 y 的取值范围.
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B
N
22. 如图，在△ABC 中.
求作：正方形 DEFG，两个顶点在 AB 上，另两个顶点分别在 BC 和 AC 上.
AM MQ
∴ ＝ （ ）（填写依据）.
作法：
AB 上任取一点 P，作 PQ⊥AB，交 AC 于点 Q；
AB 上截取 PN＝PQ，过点 N 和 Q 分别作 PN 和 PQ 的垂线，交于点 M；
AM 交 BC 于点 D；
D 作 DE∥MQ 交 AC 于点 E，过点 D 作 DG∥MN 交 AB 于点 G，
E 作 EF⊥AB 于点 F. 则正方形 DEFG 为所求作正方形.
（1）补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵∠QPN＝∠MQP＝∠PNM＝90°，
∴四边形 MNPQ 是矩形.
∵PN＝PQ，
∴矩形 MNPQ 是正方形.
∵DE∥MQ，
∴△AMQ ∽△ADE.
AD DE
AD DG
∴ ＝ .
∵MN＝MQ.
∴DE＝DG.
同理可得：四边形 DEFG 为正方形.
AM MN
同理可得： ＝ .
A
P
C
Q M
炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度 h（单位：米）与时间 t （单位：秒）满足二次函数表达式： h  at2  bt  c a(  0) ，具体数据如下表：
t
0
1
3
5
…
h
2
27
47
27
…
（1）结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为 米；
（2）若炮弹高度为 42 米时，求炮弹的飞行时间.
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如图，⊙O 直径为 AB，点 C，D 为⊙O 上的两个点，OC⊥OD，过点 C 的直线交 AB 延长线于点 E，且A E
D
C
1
5 ，tan∠BCE＝ ，求 BD 的长.
2
∠BCE＝ 12 ∠BOC.
（1）求证：CE 为⊙O 的切线；
（2）连接 BD，若 BC＝ 2
O B
25.如图，现有 8 m 长篱笆和一段墙，围成区域为等腰△ABC 时面积为 y1 m²，围成区域为矩形 PQST 时面积 为 y2 m²，其中 BC ＝ TS ＝x m，统计数据如下表所示：
CB
P
T
S
Q
A
x/m
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y/m²
（1）表格中 n＝ ；
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，已经绘制 y2 的图象和 y1 图象上的部分点，补全 y1 的图象；
（3）根据图象，完成下列填空：
①当 x≈ 时， S△ABC ＝ S矩形PQST ；
②当 x≈ 时， S△ABC ＝ 2S矩形PQST .
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x
…
0.5
1
2
3
4
4.5
5
7
7.5
…
y1
…
0.998
1.984
3.873
5.562
6.928
7.441
7.806
6.778
5.220
…
y2
…
1.875
3.5
6
7.5
8
7.875
7.5
n
1.875
…
在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2－bx＋1（a≠0）过点（1，2a2＋a＋1）.
（1）求抛物线的对称轴（用含 a 的式子表示）；
（2）若对于抛物线上的两个点（a－2，y1），（2a－1，y2），都有 y1＜y2．求 a 的取值范围.
已知，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D，E 分别是BC，AC 的中点，点F 是线段BD 上的动点， 连接 EF，点 D 关于 EF 的对称点是 G.
（1）如图 1，若 α＝60°，且点 G 恰好在线段 BE 上，求 ；
（2）①如图 2，当 60°＜α＜180°时，依题意补全图形；
AG，DG，恰好 AG＝DG，用等式表示线段 BF，AC，BC 之间的数图 1 系，并证明.量
关
A
A
EE
G
B C
FB
C
D
F D
在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1，对于平面上的点 N 和 M 给出如下定义：若在⊙O 上能找到 一点 P，使得 NM＝k•NP(k 为常数)，且∠PNM＝α（0＜α≤180°），则称点 M 是⊙O 关于点 N 的（k，α） 关联点.
（1）已知点 A（3，3）.
B（4，0），C（6，1），D（1，6）中，是⊙O 关于点 A（1，90°）关联点的是 ；
E（a，b）是⊙O 关于点 A 的（2，90°）关联点，则 b 的取值范围是 ；
（2）点 F（ x1 ， y1 ）是直线 y＝x 上一点，点 G 的是⊙O 关于点 F 的（ 2 ，45°）关联点，若存在

点 G 在直线 x＝－2 上，求点 F 横坐标 x1 的取值范围.
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y
x
O
–1
–5
x
–5
y
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参考答案∴ CDBD 
AD .
CD
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
2
二、填空题（本题共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）
y  2(x  2)2 1
3  3
三、解答题4  2 3 4  2 3
17. 解：  2 22 1 2  2 1 ……………………………………………………….4 分

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
A
A
D
D
C
题号
9
10
11
12
答案
x≠0
60°，17.3
题号
13
14
15
16
答案
(3，0)或(0，－3) 不唯一
和
10，20
2 2
……………………………………………………….5 分
18.（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°. 又∵CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠CAD＝90°.
∴∠BCD＝∠CAD. .………………………………………………….2 分
且∠ADC＝∠CDB，
∴△ACD∽△CBD.………………………………………………….3 分
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴AD =3 .
………………………………………………….4 分
………………………………………………….5 分
解：（1）∵反比例函数 y  kx 图象经过点 A(2，－3)，
∴k = -6.
………………………………………………….2 分
又∵B(－1，n)在反比例函数 y  −6x 图象上，
∴n = 6.
（2）-6≤m < 0. 20. 解：（1）∵正方形 ABCD，
………………………………………………….3 分
………………………………………………….5 分
∴∠COD＝ 360°4 ＝90 °.…………………………………………………1 分
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又∵OD=OC，
∴在 Rt△ODC 中，OC 2  OD2  CD2. …………………………….2 分
∴OC = 2 2 . ………………………………………………….3 分

2
360
360
21. 解：（1）顶点坐标(2，－1)，图象略. ………………………………………………….3 分
n r2 90(2 )
（2）解： S扇形  
2 .
.……………………………….5 分
（2）－1≤y＜3. 22.补全图形略.
………………………………………………….5 分
.………………………………………………….2 分
相似三角形的对应边成比例.
……………………………………………….4 分
……………………………………………….5 分MQ
.
DE
23.解：（1）炮弹飞行的最高高度为 47m. .………………………………………….2 分
（2）∵抛物线的顶点(3，47)，
2∴设抛物线表达式为： h  a t( 3)  47 .
…………………………….3 分
∵抛物线过点(1，27)，
∴ 27  a(13)2  47 .
∴a＝－5.
…………………………..4 分
∴ h  5(t 3)2  47 .
当 h＝42 时， 42  5(t  3)  47 ，2
………………………………….6 分∴t＝2 或 4 .
答：炮弹高度为 42 米时，炮弹的飞行时间为 2 或 4 秒.
24.解：（1）方法一： 连接 AC.
∵AB 是直径， BC
D
A E
O
∴∠ACB=90°. ………………………….1 分
∴∠BAC+∠ABC=90°.
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB.
. .………………………………………………….2 分
∵∠BAC= 12 ∠BOC=∠BCE，
∴∠BCE ＋∠OCB =90°=∠OCE.
∴OC⊥CE.
.………………………………………………………….3 分
∴CE 是⊙O 的切线.
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方法二：
∵OC=OB，
180BOC 1
∴∠OBC=∠OCB= =90°－ ∠BOC.
2 2
∵∠BCE＝ 12 ∠BOC，
∴∠OCB=90°－ 12 ∠BOC=90°－∠BCE.
∴∠OCB＋∠BCE =90°.
∴OC⊥CE.
∴CE 是⊙O 的切线.
（2）方法一：
连接 CD，过点 C 作 CF⊥BD 于点 F.
A
C
∵∠COD =90°，
E
F O
D
B
∴在 Rt△BCF 中，BC² = BF²＋CF²=2BF²=20.
. .…………………………………….5 分
∴∠CBD =45°. ……………………….4 分

∴BF= CF=
1 BC BG
方法二：
AC CG
∴AC = 4 5 ，AB=10，CG =2BG =4，OG =3.
tan∠BCE = tan∠CAB = tan∠BCG = = = .
1 CF
∴tan∠CDF = tan∠BCE = = .
10 .
∵∠CDB = 12 ∠BOC =∠BCE，
2 DF

∴DF=2
10 .
∴BD=BF＋DF=3 10 .
过点 C，D 作 AB 的垂线段 CG，DH，连接 AC.
. .…………………………………………….6 分
C
B
G
O
A
E
D
H
∴在△COG 和△ODH 中，
CGO  OHD,
COG  DOH,
OC  OD,
∴△COG≌△ODH.
∴DH＝OG＝3，OH＝CG＝4.
10 .
∴在 Rt△BDH 中，BD＝3
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方法三：A E
∵tan∠CAB = tan∠BCE = = ，
连接 AC，BD 交于点 K，连接 AD.
C
1 BC
2 AC
D K
又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
O
B
∴AC = 4 5 .
∵∠COD＝90°，
∴∠CBD＝∠CAD＝45°.
∴CK＝BC＝AK＝ 2 5 ，BK＝2 10 ，DK＝ 10 .
∴BD＝BK＋DK＝3 10 .
25.解：（1）表格中的 n＝3.5；
（2）图象如下：
...………………………………………….2 分
...………………………………………….4 分
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
（3） ①x≈4.7（根据函数图象的变化趋势分析，图象的交叉点应在 4.5 到 5 之间）；
②x≈7.1（根据函数表格或图象分析，可知应大于 7，且一定小 7.5） . ..……………….6 分
26.解：（1）x＝－a
………………………………………………………2 分
（2）代数法：
∵抛物线 y＝ax2－bx＋1（a≠0）过点(a－2，y1)，(2a－1，y2)，由（1）知 b＝－2a2，抛物线的 对称轴为 x＝－a ，
∴y1＝a(a－2)2＋b(a－2)＋1，y2＝a(2a－1)2＋b(2a－1)＋1.
∵y1＜y2 ，
∴y1－y2＜0 .
∴[a(a－2)2－b(a－2)＋1]－[a(2a－1)2－b(2a-1)＋1)]＜0.
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∴a [(a－2)－(2a－1)][ (a－2)＋(2a－1)]＋b [(2a－1)－(a－2)]＜0.
∴[(a－2)－(2a－1)]·[a (a－2) ＋a (2a－1)－b]＜0.a 1  0，

或 
或 
a 1 0，

5a 3  0.
a 1  0，
∵b＝－2a2，
∴(－a－1) (5a2－3a)＜0.
∴a(a＋1)(5a－3)＞0 .
当 a＞0 时，有
5a 3  0.
5a 3  0.
解得： a  35. ……………………………………………………………………4 分
当 a＜0 时，有
a 1 0，
5a 3  0.解得：1  a  0 . .………………………………………………………………6 分
综上所述，a 的取值范围是：a  35 或－1＜a＜0 .
几何法：
抛物线的对称轴为 x＝－a， 当 a＞0 时，有
x＞－a 时， y 随 x 的增大而增大；当 x≤－a 时， y 随 x 的增大而减小.
∵2a－1－(a－2)＝a＋1＞0，即 2a－1＞a－2，则点(a－2，y1)在点(2a－1，y2)左边
∴①当两点都在对称轴左侧时，y1＞y2，舍；
由 y1＜y2，有
a  2  a，
a  2  2a 1.
解得：a＞1
(a－2，y1)关于抛物线对称轴 x=－a 的对称点为
(－3a＋2，y1)，由 y1＜y2，有
2a 1  a，
3a  2  2a 1.
解得：a  35 .
∴当 a >0 时，a  35 . …………………………………………………………………4 分
当 a＜0 时，a－2＜－a ，点(a－2，y1)在抛物线对称轴 x＝－a 的左侧
①点(2a－1，y2)在对称轴左侧时，有
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a  0，
2a 1  a，
a  2  2a 1.
解得：－1＜a＜0.
(2a－1，y2)在对称轴右侧时，点(a－2，y1)关于抛物线对称轴 x＝－a 的对 称点为(－3a＋2，y1)，由 y1＜y2，有
a  0，
2a 1  a，
3a  2  2a 1.
此不等式组无解
∴当 a＜0 时，－1＜a＜0. …………………………………………………6 分
综上所述，a 的取值范围是：a  35 或－1＜a＜0 .
27. （1） ∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC 是等边三角形.
∴∠ABC＝∠A＝60°.
……………………………………………1 分
点 D，E 分别是 BC，AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，∠EBF＝30°.
∴DE∥AB.
∴∠EDC＝∠ABC＝60°.
∴∠EDF＝120°.
∵点 D 关于 EF 的对称点是 G，
∴△EDF≌△EGF.
∴FD＝GF，∠EGF＝∠EDF＝120°.
∴∠BGF＝60°.
……………………………………………2 分
∴∠BFG＝90°.
在 Rt△BGF 中，tan∠BGF＝ BF  .
GF
∴ BFDF  .
（2）∵AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC.
又∵E 是 AC 中点，
∴在 Rt△ADC 中，
ED＝AE＝ 12 AC .
……………………………3 分
……………………4 分
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又∵AG＝DG，
∴EG 垂直平分 AD.
即 AD⊥EG 且 AD⊥BC.
∴GE∥FD.……………………………………………5 分
∴∠1＝∠2.
∵点 D 关于 EF 的对称点是 G，
∴GE＝ED，DM＝MG.
∴△GEM≌△DFM.
∴DF＝EG 且 GE∥FD.
∴四边形 GFDE 是平行四边形，且 EG＝ED.
∴平行四边形 GFDE 是菱形.
……………………………………………6 分
∴DE＝DF.
DF＝ 1 AC .
2
1 1
又∵BF＋DF＝BF＋ AC ＝ BC ，
2 2
即 2BF＋AC＝BC.
（1）①C 和 D.
……………………………………………7 分
……………………………………………2 分
7≤b≤11，－5≤b≤－1.
……………………………………………4 分
（2）∴ 2  2  x  2  2 或2  2  x  2  2 ……………………………7 分
注：所有题选取其他思路酌情给分.
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