2024~2025学年陕西省安康市高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年陕西省安康市高二上学期12月月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了1节， 已知向量，向量，若，则的值为， 双曲线的渐近线方程是， 下列命题中正确的是， 已知直线，下列说法正确的是， 已知圆与圆交于，两点，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1考查范围：选择性必修第一册及选择性必修第二册4.1节.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，向量，若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，且，
则，解得.
故选：C.
2. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；
故选：D
3. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在双曲线中，，，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
4. 若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】B
【解析】根据题意，椭圆焦点在轴，
所以，所以.
故选：B
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
【答案】D
【解析】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B ，已知为空间任意一点四点共面，且任意三点不共线，若，
则，B选项错误；
对于C，若直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，
所以，则或，C选项错误；
对于D，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，
则直线与平面所成的角为，D选项正确；
故选：D.
6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值等于
.
故选：B
7. 抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设抛物线上的点到其准线的距离为，点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，
则，
其最小值为焦点到直线的距离，距离，
即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.
故选：D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，所以，
又，所以，，
，所以，
所以椭圆的离心率为.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与直线垂直，则
C. 当点到直线的距离取到最大时，此时
D. 直线与圆所截得的最短弦长为1
【答案】BC
【解析】对于A，由，
令，即直线恒过定点，故A错误；
对于B，若直线与直线垂直，
则有，所以，故B正确；
对于C，易知点到直线的距离
，即，
解之得，故C正确；
对于D，，
即该圆圆心为，半径为，
则到的距离为，
所以直线与圆所截得的弦长为，
即越大，弦长越小，则弦长最小为，故D错误.
故选：BC.
10. 已知圆与圆交于，两点，则（ ）
A. 两圆的公切线有2条
B. 直线方程为
C.
D. 动点在圆上，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】由题意可知，，
故，故两圆相交，公切线有2条，A正确，
与圆相减可得，
故直线方程为，B正确，
到直线的距离为，故，故C错误，
可看作是圆上的一个点到点的距离的平方，
故最大值为，D正确，
故选：ABD
11. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 过点直线与椭圆交于两点，则的周长为8
B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为
C. 若为上一点，，则最小值为
D. 若上存在点，使得，则的取值范围为
【答案】CD
【解析】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为
，
但焦点不一定在轴上，故A错误；
对于选项B：因为直线过定点，则，即，
又因为，且，所以的取值范围为，故B错误；
对于选项C：若，即椭圆，
设，可得，
当时，，故C正确；
对于选项D：若，则，
当位于短轴顶点时，最大，此时，
可知，即，
当时，由，解得；
当时，由，解得；
综上所述：的取值范围为，故D正确；
故选：CD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________.
【答案】
【解析】由题意时，，
又也满足上式，所以．
故答案为：.
13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________.
【答案】
【解析】如图，由可知，
由对称性不妨设，由定义，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以的面积为.
故答案为：3.
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由为圆上一动点，得，
由为圆上一动点，得，
又.因为，所以，
于是.
当共线且时取得最小值，即.
所以，
当共线时等号成立.
故答案为：9．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知点，线段是圆的一条直径.
（1）求圆的标准方程；
（2）点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离.
解：（1）因为，线段是为圆的直径，
所以圆心为线段的中点，圆心坐标为，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为：
（2）圆心到直线的距离，
所以圆与直线相离
所以圆上任意一点Px,y到直线的距离的最大值为：
16. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点.
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
解：（1）取中点，连接，
由是的中点，得，且，
由是的中点，得，且，
则有，四边形是平行四边形，于是，
又平面平面，
所以平面.
（2）四棱柱中，平面，，
则直线两两垂直，
以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
有，
则有，
设平面与平面的法向量分别为，
则有，令，得，
，令，得，
因此.
所以平面与平面的夹角余弦值为.
17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
（1）求的方程；
（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求点的轨迹方程.
解：（1）由抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故，
所以的方程为；
（2）由（1）知，设，
则，
因为，所以，可得，
又点在抛物线上，所以，即，
化简得，则点的轨迹方程为．
18. 已知是双曲线的一条渐近线，点在上.
（1）求的方程.
（2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上.
（i）证明：的斜率为定值.
（ii）若的面积为，求的方程.
解：（1）由题可得，
所以的方程为.
（2）（i）设，
由得，
由题意得，
设中点的坐标为，则
所以.
因为的中点在直线上，所以，即，
因为，所以，故的斜率为定值.
（ii）由（i）得的方程为，
且，
又点到的距离，
所以，
解得，所以的方程为.
19. 极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点Px0,y0（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）.
（1）求极线的方程；
（2）求证：；
（3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
解：（1）由椭圆的长轴长为，
则，
解得，
又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，
所以，解得
所以椭圆的方程为.
由题意可知，对于椭圆，
极点对应的极线的方程为，即.
（2）设，由题意知过的直线的斜率必存在，
故设直线，，
联立方程，消去得，
，
，即，
所以，，
则
.又，所以，得证.

（3）当中有横坐标为时，纵坐标为，
则或，
直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在.
由（2）得，，又，
所以，所以是和的交点.
因，所以，设，
则，所以，直线的方程为，
即，
令得，所以恒过定点.