陕西省安康市2024-2025学年高三第一次质量联考数学试卷

这是一份陕西省安康市2024-2025学年高三第一次质量联考数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．不可能把直线作为切线的曲线是（ ）
A．B．
C．D．
4．设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．15B．18C．31D．63
5．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.根据该公式可知，级地震的最大振幅是级地震最大振幅的（ ）
A．10倍B．倍C．倍D．100倍
6．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．设的内角，，的对边分别为，，已知，在边上，平分，且，则的最小值为（ ）
A．9B．18C．24D．36
8．已知函数是的零点，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．集合，若，则的值为0或3
C．集合，若，则实数的取值集合为
D．若集合，则满足的集合的个数为16
10．已知，函数在区间上单调，则的值可以是（ ）
A．2B．4C．8D．16
11．已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知等差数列满足，，则 .
13．若正数，满足，则的最小值是 .
14．已知不等式对任意的都成立，则正实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的解析式和的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
16．已知函数，且.
(1)证明：的图象关于点中心对称.
(2)对任意的，且，都有，若，求实数的取值范围.
17．的内角，，的对边分别为，，已知，.
(1)求，；
(2)若，求的面积.
18．若正项无穷数列满足（是不为0的常数），则称数列为平方等差数列.
(1)判断通项公式为和的无穷数列是否为平方等差数列，并说明理由；
(2)设数列bn是平方等差数列，且，求数列的前项和；
(3)若数列是平方等差数列，记，证明：中存在小于1的项.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当时，，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】先分别求出集合，再根据补集和交集的定义求解即可.
【详解】或或，
，
所以，
所以.
故选：D.
2．A
【分析】利用二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可得答案.
【详解】.
故选：A
3．C
【分析】利用基本初等函数的导数公式分别求出对应的导数，设出切点，利用导数的几何意义求出切线的斜率，令其等于，解方程即可判断.
【详解】对于A，，令，解得，故曲线能；
对于B，，令，解得，故曲线能；
对于C，，所以曲线不能；
对于D，，令，解得，故曲线能.
故选：C.
4．C
【分析】根据等比数列的通项公式结合，求得，根据，可求出公比和首项，再利用等比数列前项和公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，
因为，所以，又，所以，
因为，解得，
所以.
故选：C
5．D
【分析】根据题意设级地震的最大振幅为，级地震的最大振幅为，得到，，两式相减，再利用对数的运算公式即可求解.
【详解】因为，根据题意设级地震的最大振幅为，级地震的最大振幅为，
所以①，②，①②有：，
所以，解得.
故选：D
6．B
【分析】根据x的定义，结合已知条件，从充分性和必要性判断即可.
【详解】若，则，，故，
则，则，所以，“”“”；
若，取，，满足，但，，
所以，“”“”.
因此，“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
7．B
【分析】根据已知条件和余弦定理求得，再根据平分，且和三角形面积公式求得，化为，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，由余弦定理得：，
整理得：，所以，则，
因为平分，所以，
根据题意有：，，
所以，
即，
整理有：，即，
所以，
因为，，所以，，
所以，
即，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
8．A
【分析】易得是直线y=fx与曲线的一个交点，再根据导数的几何意义可得曲线在点的切线方程即为直线y=fx，在同一直角坐标系中作出函数y=fx和的图象，结合图象即可得解.
【详解】由，
得，
则是直线y=fx与曲线的一个交点，
又，得，
则，
所以曲线在点的切线方程为，
即，
所以曲线在点的切线方程即为y=fx，
又，所以，
则，所以函数y=fx是增函数，
因为，且，
所以是直线y=fx与曲线的另一个交点，
故既是曲线的一个对称中心，又是直线y=fx的对称中心，
在同一直角坐标系中作出函数y=fx和的图象，
由图可知，当时，，满足；
当时，满足的只有，
所以不等式的解集为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：说明是直线y=fx与曲线的一个交点，曲线在点的切线方程即为直线y=fx，是解决本题的关键.
9．BD
【分析】对于A，写出命题的否定即可；对于B，根据，则，再分类讨论即可；对于C; 当时即可排除；对于D，根据则，然后根据子集公式计算即可.
【详解】命题“”的否定是“”，故A错误；
因为，则，因为，
当时，即或，
若时，成立；
若时，不成立，
当时，成立，所以的值为0或3，故B对；
因为，则，因为，
当时，成立，故C错；
因为，则，因为，
所以集合M的子集个数为，即集合的个数为16，故D对；
故选：BD
10．ABC
【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】令，
因为在区间上单调递增，
所以在区间单调且在区间的函数值恒为正，
当时，在区间上单调递增，且，故A对；
当时，在区间上单调递增，且，故B对
当时，在区间上单调递减，且，故C对；
当时，在区间上单调递减，但，故D错；
故选：ABC
11．BCD
【分析】令，即可判断A；令，可求出，再令，即可判断B；令，得，等式两边同时求导，进而可判断CD.
【详解】对于A，令，则，所以，故A错误；
对于B，令，得，所以f−1=2，
令，则，故B正确；
对于C，令，则，
则，
令，则，故C正确；
对于D，由，得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是对复合函数求导，并采用赋值法结合已知条件求解.
12．
【分析】根据下标和性质即可得到结果.
【详解】.
故答案为：.
13．
【分析】根据已知条件换元有：，化为利用基本不等式即可求解.
【详解】由，，可得：，
又因为、均为正数，所以，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为：.
故答案为：.
14．
【分析】先将原不等式化为对任意的都成立，由于在上单调递增，故得，分离参数得，利用导函数求解的最大值即可
【详解】由题意知，，
所以原不等式可化为，
即，
设，
所以，即，
因为在恒成立，
所以在上单调递增，所以，
又，所以在上恒成立，
设，
设，
所以，
所以hx在上单调递减，
故，
又，
所以hx