2024-2025学年北京市朝阳区高一上册12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年北京市朝阳区高一上册12月月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，未知，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（ ）
A．B．C．D．
4．在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列各组角中，终边相同的角是（ ）
A．与
B．
C．与
D．与
二、未知（本大题共1小题）
7．已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
三、单选题（本大题共3小题）
8．已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（ ）
A．B．C．1D．
10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A．B．
C．D．
四、填空题（本大题共5小题）
11．已知，且则 .
12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ．
13．若扇形所在圆半径为2cm，圆心角为1弧度，则该扇形面积 ，周长为 .
14．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围为 .
15．已知函数，为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论：
①当时，在区间上单调递增；
②当时，是偶函数；
③当时，有3个零点；
④当时，对任意，都有．
其中所有正确结论的序号是 ．
五、解答题（本大题共5小题）
16．已知集合.
(1)求；
(2)记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
17．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是，空气温度是，则经过时间分钟后物体温度可以由公式求得.若把温度是的物体放在的空气中冷却到，大概需要多少分钟？（精确到0.01）（参考数据：）
18．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若任意，不等式恒 成立，求实数的取值范围.
19．已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．
条件①：;
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．
(1)求实数k的值；
(2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；
(3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由．
20．已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为.
(1)对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合及，；
(2)求证：不可能为18；
(3)求的最大值以及的最小值.
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据补集概念求解出结果.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
2．【正确答案】C
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及特例法，结合指数函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，例如，此时满足，但，所以A错误；
对于B中，当时，，所以B不正确；
对于C中，由指数函数为单调递增函数，因为，可得，所以C正确；
对于D中，例如，此时满足，但，所以D不正确.
故选：C.
3．【正确答案】A
【详解】.
故选：A.
4．【正确答案】C
【详解】在同一坐标系中，函数，的单调性一定相反，
且图象均不过原点，故排除AD；
在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，
所以单调递减，单调递增，故排除B，故C符合题意.
故选：C.
5．【正确答案】B
【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断.
【详解】对A、C：由，定义域为，所以不是奇函数，故A错误；
定义域为，，所以是偶函数，故C错误；
对B、D：，定义域为，，所以为奇函数，
当时，，且在上单调递减，故B正确；
，定义域为，且，所以为奇函数，且在定义域上为增函数，故D错误；
故选：B.
6．【正确答案】D
【详解】对于A，当时，表示终边在轴上的角，表示终边在坐标轴上的角，故A错误；
对于B，当时，因为表示终边在所在直线上的角；表示终边在所在直线上的角以及轴上的角，故B错误；
对于C，当时，表示终边在这条直线上的角，表示终边在所在直线上的角，故C错误；
对于D，当时，表示终边在轴负半轴上的角，表示终边在轴负半轴上的角，故D正确.
故选：D.
7．【正确答案】D
【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解.
【详解】因为，
由在上单调递增，可得，即；
由在内单调递增，可得，即；
由在内单调递增，可得，即；
综上所述.
故选：D.
8．【正确答案】C
【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件.
【详解】当时，，定义域为且关于原点对称，
所以，
所以为奇函数；
当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以，
所以，
所以，
由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件，
故选：C.
9．【正确答案】D
【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，
因为，即，则，
所以分形维数是.
故选：D.
10．【正确答案】A
【分析】
计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.
【详解】
单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
11．【正确答案】
【详解】由可得，
由于，故，
故，
故答案为.
12．【正确答案】
【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解.
【详解】对空：由点在角的终边上，所以，.
对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以.
故；.
13．【正确答案】
【详解】由题意可得，故扇形面积为，
弧长为，故周长为，
故
14．【正确答案】
【详解】令，而为增函数，
要使函数在区间上是增函数，
即在上是增函数且恒大于0，
所以，解得，
则的取值范围为.
故答案为.
15．【正确答案】①③
【分析】根据题意，结合函数的解析式，利用函数的新定义，结合函数的图象、函数的零点的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】因为为偶函数，且当时，，
当时，可得，所以，
对于①中，当时，，
令，解得，
如图所示，，
结合图象，可得函数在区间上单调递增，所以①正确；
对于②中，当时，可得，
令，即，解得或，
当时，可得；当时，可得；
当时，可得，
即，其中，所以，
所以当时，函数不是偶函数，所以②不正确；
对于③中，当时，令，即，解得，
当时，令，即，解得，
当时，令，即，解得或，
若时，函数有三个零点，分别为，和；
若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；
若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；
综上可得，当时，函数有三个零点，所以③正确；
对于④中，当时，令，即，解得，
将点代入函数，可得，解得，
如图所示，当时，函数，所以④不正确.
故①③.
16．【正确答案】(1)或x≥4，
(2)
【详解】（1）解：因为即，
所以，所以；
由，可得或，
所以或x≥4，进而可得，
所以或x≥4，.
（2）解：因为，
所以，所以，
所以；
又或x≥4，
若，则，所以，
所以实数的取值范围是
17．【正确答案】2.77
【详解】由题知代入，
得，即，
，
解得，
即把温度是的物体放在的空气中冷却到，大概需要2.77分钟.
18．【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用函数奇函数的性质求的值；（2）利用函数是奇函数，求的解析式，即得函数的解析式；（3）利用函数是奇函数，变形为，再利用函数的单调性，解抽象不等式，利用不等式恒成立，求参数的取值范围.
【详解】
解：（1）因为定义域为的函数是奇函数，
所以.
（2）因为当时，，所以，
又因为函数是奇函数，所以，所以，
综上，
（3）由，得，
因为是奇函数，所以，
又在上是减函数，所以，
即对任意恒成立，
令，则，
由，解得，
故实数的取值范围为.
19．【正确答案】(1)答案见解析
(2)在区间上单调递减，证明见解析
(3)在内有且仅有一个零点，理由见解析
【详解】（1）令，解得，所以函数的定义域为−1,1，
若选①：因为，即为奇函数，
则，
整理得，
注意到对任意x∈−1,1上式均成立，可得，解得；
若选②：因为，即为偶函数，
则，
整理得，
注意到对任意x∈−1,1上式均成立，可得，解得.
（2）若选①：则，可得，
可知函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，且，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上单调递减；
若选②：则，可得，
可知函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，且，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上单调递减.
（3）若选①：则，则，
由（2）可知在0,1内单调递减，且在定义域内单调递增，
可知在0,1内单调递减，
又因为为奇函数，则在内单调递减，
且在内单调递减，可知在内单调递减，
结合，，
可知在内有且仅有一个零点；
若选②：则，则，
由（2）可知在0,1内单调递减，且在定义域内单调递增，
可知在0,1内单调递减，
又因为为偶函数，则在内单调递增，
且在内单调递增，可知在内单调递增，
结合，，
可知在内有且仅有一个零点.
20．【正确答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)的最大值为17，的最小值为16.
【详解】（1）数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，
对任意的，若，则，且，
设集合，
集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为，
因为，
，
所以，，.
（2）假设，
设，
则，
即，因为，所以，
同理，设，可以推出，
中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，
故，
所以不可能为18.
（3）的最大值为，的最小值为16.
①首先求，由（2）知，而是可能的.
当时，
设
则即，
又
得，即.
同理可得.
对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4
此时，，，满足题意.
所以的最大值为17；
②现证明：的最小值为16.
先证明为不可能的，假设.
设，
可得，即，元素最大值为10，所以.
又，
同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以.
数列为：7，6，2，8，3，4，9，1，5，10时，
，，，中元素的最大值为16.
所以的最小值为16.