湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期新高考适应性考试数学试题（附参考答案）

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注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.请保持答题卡的整洁.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位,则复数的值是( )
A.1B.-1C.iD.
2.若空间中三条不同直线满足,且,则直线与直线必定( )
A.平行B.相交C.垂直D.异面
3.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点,则( )
A.B.C.D.
4.已知函数的图象如下图所示,则其导函数的图象可能是( )
5.若在区间上是增函数,则的最大值是( )
A.B.C.1D.
6.在中,.若于,则( )
A.B.
C.D.
7.已知抛物线上两点满足,若线段的中点的纵坐标的最小值为4,则( )
A.2B.4C.5D.6
8.已知函数若在存在最小值,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.为了解某种新产品的加工情况,并设定工人每天加工该产品的最少数量.相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量.现将这些观测数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),绘制出如图所示的频率分布直方图,则( )
A.样本观测数据的极差不大于50
B.样本观测数据落在区间上的频率为0.025
C.样本观测数据的平均数大于中位数
D.若将工人每天加工产品的最少数量设为55,估计80%的工人能完成任务
10.已知是等比数列的前项和,满足成等差数列,则( )
A.成等比数列B.成等差数列
C.成等比数列D.成等差数列
11.已知函数的定义域为,若存在常数与,且,使得任意,恒有,则称函数是广义周期函数.下列说法正确的有( )
A.一次函数(为常数)是广义周期函数
B.若是广义周期函数,则存在实数,使得是周期函数
C.若有两个不同的对称中心,则是广义周期函数
D.若与都是广义周期函数,则也是广义周期函数
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动,则线段的中点的轨迹方程是 .
13.如图所示,将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形,得到扇环,现将扇环围成一个圆台.若,则该圆台的体积为 .
14.在中,角所对的边分别为,且外接圆半径为,则的最大值为 .
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
甲同学计划去参观某景点,但门票需在网上预约.该同学从第一天开始,每天在规定的预约时间段开始预约,若预约成功,便停止预约；若连续预约三天都没成功,则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7,
(1)求甲同学到第三天才预约成功的概率；
(2)记为甲同学预约门票的天数,求的分布列和期望.
16.(本小题满分15分)
如图,在平行六面体中,,且,设与的交于点.
(1)证明:平面;
(2)若,且,求直线与平面所成角的正弦值.
17.(本小题满分15分)
已知函数,其中.
(1)若在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为,求的值；
(2)若是的极小值点,证明:.
18.(本小题满分17分)
已知椭圆的左顶点为,焦距为,且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点,点为的外心.
(i)若为等边三角形,求点的坐标;
(ii)若点在直线上,求点到直线的距离的取值范围.
19.(本小题满分17分)
已知无穷数列满足.对于集合,定义若,则;若,则.
(1)若,求集合;
(2)若,集合,且,求中元素个数的可能值；
(3)若,集合,对任意的,满足,且,证明:.